【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1課時(shí)作業(yè)：3.1.4

3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算課時(shí)目標(biāo)把握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會依據(jù)向量的坐標(biāo)推斷兩個(gè)向量共線或垂直，把握向量長度、兩向量夾角和兩點(diǎn)間距離公式．1．建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i，j，k，則{i，j，k}叫做________________．單位向量i，j，k都叫做______________．2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量a，依據(jù)________________定理，存在唯一實(shí)數(shù)組(a1，a2，a3)使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分別為向量a在i，j，k方向上的__________，有序?qū)崝?shù)組________________叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，可記作a＝________________.3．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝________________________________，a－b＝________________________________，λa＝________________________，a·b＝________________________.a∥b(b≠0)?________________________，或當(dāng)b與三個(gè)坐標(biāo)平面都不平行時(shí)，a∥b?________________________________________；a⊥b?________________________.4．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝________________________.5．設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則|a|＝________________，|b|＝______________，a·b＝________________，從而有cos〈a，b〉＝____________________________.6．設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝______________________________.一、選擇題1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,2,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3,4)，則()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2,1)C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,4)B.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,3)D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，－3)2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則A．x＝eq\f(1,3)，y＝1B．x＝eq\f(1,2)，y＝－4C．x＝2，y＝－eq\f(1,4)D．x＝1，y＝－13．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)是a∥b的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為()A.eq\r(65)B.eq\f(\r(65),2)C．4D．86．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(11,5)題號123456答案二、填空題7．已知三個(gè)力f1＝(1,2,3)，f2＝(－1,3，－1)，f3＝(3，－4,5)，若f1，f2，f3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1(1，－2，1)移動到點(diǎn)M2(3,1,2)，則合力所做的功是________．8．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，點(diǎn)P(x，－1,3)在平面ABC內(nèi)，則x＝______.9.已知A（1，-1,2），B（5，-6,2），C（1,3，-1），則eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影為______．三、解答題10．設(shè)a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,并取A1B1、A1A的中點(diǎn)分別為P、（1）求向量eq\o(BQ,\s\up6(→))的長；（2）cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，并比較〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉與〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的大小；(3)求證：AB1⊥C1P.力氣提升12．在長方體OABC—O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，(1)求直線AO1與B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離．13．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，在棱BB1上是否存在點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB1．空間向量在幾何中的應(yīng)用有了向量的坐標(biāo)表示，利用向量的平行、垂直判定幾何中線線、線面的平行與垂直，利用向量長度公式、夾角公式求兩點(diǎn)間的距離和兩異面直線所成的角，只需通過簡潔運(yùn)算即可．在此處，要認(rèn)真體會向量的工具性作用．2．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的建立建系時(shí)，要依據(jù)圖形特點(diǎn)，充分利用圖形中的垂直關(guān)系確定原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸．同時(shí)，使盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi)．這樣可以較便利的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．1.4空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)問梳理1．單位正交基底坐標(biāo)向量2．空間向量分解分向量(a1，a2，a3)(a1，a2，a3)3．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)(b1≠0，b2≠0，b3≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．(x2－x1，y2－y1，z2－z1)5.eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))eq\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))a1b1＋a2b2＋a3b3eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))6.作業(yè)設(shè)計(jì)1．C2．B[∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－4.]3．A[設(shè)eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)＝k，易知a∥b，即條件具有充分性．又若b＝0時(shí)，b＝(0,0,0)，雖有a∥b，但條件eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)明顯不成立，所以條件不具有必要性，故選A.]4．D[∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝eq\f(7,5).]5．A[設(shè)向量a、b的夾角為θ，于是cosθ＝eq\f(4－2＋2,3×3)＝eq\f(4,9)，由此可得sinθ＝eq\f(\r(65),9).所以以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為S＝2×eq\f(1,2)×3×3×eq\f(\r(65),9)＝eq\r(65).]6．C7．16解析合力f＝f1＋f2＋f3＝(3,1,7)，位移s＝eq\o(M1M2,\s\up6(→))＝(2,3,1)，∴功w＝f·s＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．11解析∵點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，∴存在實(shí)數(shù)k1，k2，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝k1eq\o(AB,\s\up6(→))＋k2eq\o(AC,\s\up6(→))，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k1＋6k2＝－2，,k1＋4k2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝－4，,k2＝1.))∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.9．－4解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝＝－eq\f(20,5\r(41))，eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影為|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(20,5\r(41))))＝－4.10．解ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，則eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，則(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq\f(106,3).11．解以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．∴eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－1,1,2)，eq\o(C1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).(1)|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝＝eq\r(12＋－12＋12)＝eq\r(3).(2)∵eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋2＝1，|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋12＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).又eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝0－1＋4＝3，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,\r(30))＝eq\f(\r(30),10).又0<eq\f(\r(15),15)<eq\f(\r(30),10)<1，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).又y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)單調(diào)遞減，∴〈eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉>〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉．(3)證明∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(C1P,\s\up6(→))＝(－1,1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(C1P,\s\up6(→)).12．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．(1)由題意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．∴eq\o(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，∴cos〈eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(－2,2\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，∴AO1與B1E所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).(2)由題意得eq\o(O1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∵C(0,3,0)，設(shè)D(x，y,0)，∴eq\o(O1D,\s\up6(→))＝(x，y，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13).))∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))，∴O1D＝|eq\o(O1D,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a