【全程復習方略】2020-2021學年高中數(shù)學(人教A版選修2-2)練習：全冊綜合質量評估

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。綜合質量評估第一至第三章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.(2022·東莞高二檢測)若復數(shù)z=a+i的實部與虛部相等，則實數(shù)a=()A.-1 B.1 C.-2 【解析】選B.復數(shù)z=a+i的實部為a，虛部為1，則a=1.2.(2022·泉州高二檢測)函數(shù)y=2x2，則自變量從2變到2+Δx時函數(shù)值的增量Δy為()A.8 B.8+2ΔxC.2(Δx)2+8Δx D.4Δx+2(Δx)2【解析】選C.Δy=2(2+Δx)2-2×22=2(Δx)2+8Δx.3.觀看下圖，可推斷出“x”應當填的數(shù)字是()A.171 B.183 C.205 D.268【解析】選B.由前兩個圖形發(fā)覺：中間數(shù)等于四周四個數(shù)的平方和，即12+32+42+62=62，22+42+52+82=109，所以“x”處該填的數(shù)字是32+52+72+102=183.4.(2022·銀川高二檢測)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)=2xf′(1)+lnx，則f′(1)=()A.-e B.-1 C.1 D.e【解析】選B.f′(x)=2f′(1)+1x，令x=1得，f′(1)=2f′(1)+1，所以f′5.(2022·山東高考)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若a-i與2+bi互為共軛復數(shù),則a+biA.5-4i B.5+4iC.3-4i D.3+4i【解析】選D.由于a-i與2+bi互為共軛復數(shù),所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.【變式訓練】設復數(shù)z1=1-i，z2=3+i，其中i為虛數(shù)單位，則z1zA.1+34i C.3-14i 【解析】選D.z1z2=1+i3+i=虛部為3-16.由直線x=0，x=2π3，A.3 B.32 C.1 D.【解析】選A.02π32sinxdx=-2cosx【變式訓練】(2022·贛州高二檢測)在平面直角坐標系xOy中，由直線x=0，x=1，y=0與曲線y=ex圍成的封閉圖形的面積S是多少?【解析】由積分的幾何意義可得S=01exdx=7.(2022·鄭州高二檢測)下面幾種推理過程是演繹推理的是()A.兩條直線平行，同旁內角互補，假如∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內角，則∠A+∠B=180°B.由平面三角形的性質，推想空間四周體的性質C.某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推想各班都超過50人D.在數(shù)列an中，a1=1，an=12an-1【解析】選A.演繹推理由大前提——小前提——結論組成，而A滿足這一結構，B為類比推理，C，D為歸納推理.8.函數(shù)f(x)=sinx+cosx在點(0，f(0))處的切線方程為()A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=0【解析】選A.由f′(x)=cosx-sinx得f′(0)=1.又f(0)=1，所以切線方程為x-y+1=0.9.(2022·福州高二檢測)已知數(shù)列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…，則數(shù)列的第k項是()A.ak+ak+1+…+a2kB.ak-1+ak+…+a2k-1C.ak-1+ak+…+a2kD.ak-1+ak+…+a2k-2【解析】選D.由前幾項觀看得第1項1個數(shù)，第2項2個數(shù)相加，第3項3個數(shù)相加，則第k項有k個數(shù)相加，且首項為ak-1，故選D.10.在區(qū)間12,2上函數(shù)f(x)=x2+px+q和函數(shù)g(x)=2x+1x2在同一點取得相同的最小值，A.134 B.54 C.8【解析】選D.由g(x)=2x+1x2得g′(x)=2-2x-3，令g′(x)=0?x=1，易得x=1為函數(shù)g(x)=2x+1x2在1211.(2022·天津高二檢測)若在曲線f(x，y)=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y)=0的“自公切線”.下列方程：①x2-y2=1；②y=x2-|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=4-y2對應的曲線中存在“自公切線A.①② B.②③ C.①④ D.③④【解題指南】演繹推理的主要出題模式，不是演繹推理本身，而一般是給出一個一般原理，然后應用這一原理，如本題主要先理解什么叫自公切線，然后分別推斷所給方程對應曲線是否滿足這一原理，進而選擇出正確的結論.【解析】選B.①x2-y2=1是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；②y=x2-|x|=x在x=12和x=-12處的切線都是y=-14③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，cosφ=35，sinφ=4④由于|x|+1=4-y2，即x2【拓展延長】演繹推理(1)演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)演繹推理的一般模式是三段論，它包括：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所爭辯的特殊狀況；③結論—依據一般原理，對特殊狀況的推斷.(3)在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結論必定是正確的.假如大前提是錯誤的，所得的結論也是錯誤的.(4)在應用三段論解決問題時，首先應明確什么是大前提和小前提，有時為了敘述簡潔，而大前提又是明顯的，這時大前提可以省略.12.(2022·惠州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x3-ln(x2+1-x)，則對于任意實數(shù)a，b(a+b≠0)，則fA.恒正 B.恒等于0 C.恒負 D.【解析】選A.可知函數(shù)f(x)+f(-x)=x3-ln(x2+1-x)+(-x)3-ln(所以函數(shù)為奇函數(shù)，同時，f′(x)=3x2+1x2+1>0，f(x)是遞增函數(shù)，f(a)+f(b)a+b二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.(2022·湖南高考)復數(shù)3+ii2【解析】由于3+ii2答案:-314.若a=02x2dx，b=02x3dx，c=02sinxdx，則a【解析】由于02x2dx=13x3QUOTE|

20|=83，02x3dx=14x4QUOTE|

20|=4，故c<a<b.答案：c<a<b15.(2022·牡丹江高二檢測)復數(shù)z=x+1+(y-2)i(x，y∈R)，且|z|=3，則點Z(x，y)的軌跡是______.【解析】由于|z|=3，所以(x+1即(x+1)2+(y-2)2=32.故點Z(x，y)的軌跡是以(-1，2)為圓心，3為半徑的圓.答案：以(-1，2)為圓心，3為半徑的圓16.(2022·泰安高二檢測)若集合A1，A2，…，An滿足A1∪A2∪…∪An=A，則稱A1，A2，…，An為集合A的一種拆分.已知：①當A1∪A2={a1，a2，a3}時，有33種拆分；②當A1∪A2∪A3={a1，a2，a3，a4}時，有74種拆分；③當A1∪A2∪A3∪A4={a1，a2，a3，a4，a5}時，有155種拆分；…由以上結論，推想出一般結論：當A1∪A2∪…∪An={a1，a2，a3，…，a

n+1}有【解題指南】抓住題中關鍵可避開煩瑣計算，主要觀看數(shù)字33，74，155，…的規(guī)律.【解析】由于當有兩個集合時，33=(4-1)2+1=(22-1)2+1；當有三個集合時，74=(8-1)3+1=(23-1)3+1；當有四個集合時，155=(16-1)4+1=(24-1)4+1；由此可以歸納當有n個集合時，有(2n-1)n+1種拆分.答案：(2n-1)n+1【變式訓練】已知2+23=2·23，3+38=3·38若8+at=8·at(a，t均為正實數(shù))，類比以上等式，可推想a，t的值【解析】由于2+23=23+38=3·38，4由類比推理得：5+524=5·524，7+748=7748，答案：71三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知復數(shù)z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i，ω=z+ai(a∈R)，當ωz≤【解析】z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i=(2+4i)-(1+3i)i由于ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i，所以ωz=1+(a-1)i1-i=[所以ωz=(2-a)所以a2-2a-2≤0，所以1-3≤a≤1+3.故a的取值范圍是[1-3，1+3].18.(12分)(2022·安徽高考)設函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)爭辯f(x)在其定義域上的單調性.(2)當x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時x的值.【解析】(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2,令f′(x)=0得x1=-1-x2=-1+4+3a3,x1所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2),當x<x1或x>x2時f′(x)<0;當x1<x<x2時f′(x)>0.所以f(x)在-∞-1+在-1-(2)由于a>0,所以x1<0,x2>0.①當a≥4時,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上單調遞增,所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.②當0<a<4時,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上單調遞增,在[x2,1]上單調遞減.所以f(x)在x=x2=-1+又f(0)=1,f(1)=a,所以當0<a<1時,f(x)在x=1處取得最小值;當a=1時,f(x)在x=0和x=1處同時取得最小值;當1<a<4時,f(x)在x=0處取得最小值.19.(12分)(2022·上海高二檢測)已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)設函數(shù)g(x)=14f(x)+ax3+92x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.若函數(shù)g(x)僅在x=0處有極值【解析】(1)由于f(x)在區(qū)間(0，+∞)上是單調增函數(shù)，所以-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0，所以-1<m<3，又m∈Z，所以m=0，1，2.而m=0，2時，f(x)=x3不是偶函數(shù)，m=1時，f(x)=x4是偶函數(shù)，所以f(x)=x4.(2)g′(x)=x(x2+3ax+9)，明顯x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.為使g(x)僅在x=0處有極值，必需x2+3ax+9≥0恒成立，即有Δ=9a2-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2].這時，g(0)=-b是唯一極值.所以a∈[-2，2].20.(12分)(2022·濟寧高二檢測)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD，若E，F(xiàn)分別為PC，(1)求證：EF∥平面PAD.(2)求三棱錐F-DEC的體積.(3)在線段CD上是否存在一點G，使得平面EFG⊥平面PDC?若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.【解析】(1)連接AC.由于四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形且點F為對角線BD的中點，所以對角線AC經過F點.又在△PAC中，點E為PC的中點，所以EF為△PAC的中位線，所以EF∥PA.又PA?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)過點P作AD的垂線PH，垂足為H.由于平面PAD⊥平面ABCD，PH?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD.連接HC，由于E為PC中點，所以三棱錐E-FDC的高h=12又PA=PD=22所以PH=a2，所以h=a所以三棱錐F-DCE的體積是VF-DCE=VE-FDC=13S△DFC·h=13×12a×12a×14(3)在線段CD上存在一點G，使得平面EFG⊥平面PDC.由于底面ABCD是邊長為a的正方形，所以CD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD，又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中點G，連接FG，EG，由于F為AC中點，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD.又FG∩EF=F，所以CD⊥平面EFG.又CD?平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.21.(12分)(2022·黃岡高二檢測)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，給出定義：設f′(x)是函數(shù)f(x)的導數(shù)，f″(x)是f′(x)的導數(shù)，若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經過探究發(fā)覺：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若f(x)=13x3-12x2+3x-512(1)探討函數(shù)f(x)=13x3-12x2+3x-(2)計算f12013+f22013+f32013+f42013+【解析】(1)f′(x)=x2-x+3，f″(x)=2x-1，令f″(x)=0?x=12，f(1函數(shù)f(x)=13x3-12x2+3x-512(2)由(1)知，計算f12+x+f12-x=2?f(x)+f(1-x)=2?ff22013+f2…所以f12013+f22013+f32013+f42013+【變式訓練】下面的圖形無限向內連續(xù)，最外面的正方形的邊長是1.從外到內，第i個正方形與內切圓之間的深灰色圖形面積記為Si(i=1，2，…)，求S2022的值.【解析】歸