【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學北師大版選修2-3學案：《簡單計數(shù)問題》

第8課時簡潔計數(shù)問題1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡潔的實際問題.2.理解排列、組合的概念,能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式,能利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式解決簡潔的實際問題.3.培育同學的分類爭辯思想.有十個年輕人在一家飯店吃飯,幾個人協(xié)商想吃免費的午餐.老板說“你們每次來吃飯由我支配座位,假如我支配的座位與前面的哪一次完全重復(fù)了,就免去全部費用.”大家以為很快能吃到免費餐,結(jié)果一年以后還沒吃到.你認為他們有可能吃到嗎?問題1:上述情境中,老板支配10個人的座位共有種排法,就算每天吃一餐,也要近一萬年才能排完,所以這10個人不行能吃到免費餐.

問題2:分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)分分類加法計數(shù)原理針對的是問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法,各類中的各種方法也,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事,是獨立完成,而分步乘法計數(shù)原理針對的是問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟,完成任何其中的一步都完成該件事,只有當各個步驟都完成后,才算完成這件事,是合作完成.

問題3:排列、組合的概念與公式排列組合定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的,叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)

公式Anm=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=n!(n-m)!(m,nCnm=AnmAmm=n(n-1)(n-問題4:解決排列組合應(yīng)用題常見的解題策略①優(yōu)先的策略;

②合理分類與精確?????分步的策略;③排列、組合混合問題先選后的策略;

④難則、等價轉(zhuǎn)化的策略;

⑤相鄰問題處理的策略;

⑥不相鄰問題處理的策略;

⑦分排問題處理的策略;

⑧定序問題先后處理的策略;

⑨“小集團”排列問題先后的策略.

1.如圖所示,用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必需涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂色方法共有().A.180種 B.120種C.96種 D.60種2.九張卡片分別寫著數(shù)字0,1,2,…,8,從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù),假如6可以當作9使用,則可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為().A.448 B.588 C.602 D.6723.現(xiàn)有10個保送上高校的名額,安排給7所學校,每校至少有1個名額,問名額安排的方法共有種.

4.4個不同的球,4個不同的盒子,把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個盒不放球,共有幾種放法?(2)恰有2個盒不放球,共有幾種放法?排列計數(shù)應(yīng)用有5個同學排隊照相,求:(1)甲、乙2個同學必需相鄰的排法有多少種?(2)甲、乙、丙3個同學互不相鄰的排法有多少種?(3)乙不能站在甲前面,丙不能站在乙前面的排法有多少種?(4)甲不站在中間位置,乙不站在兩端兩個位置的排法有多少種?組合計數(shù)問題有20個零件,其中16個一等品,4個二等品,若從20個零件中任意取3個,(1)恰好取得一個一等品、兩個二等品的不同取法有多少種?(2)至少有1個一等品的不同取法有多少種?應(yīng)用排列數(shù)、組合數(shù)的計數(shù)問題車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外2名老師傅既能當車工又能當鉗工.現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工,4名車工修理一臺機床,有多少種選派方法?用0,3,4,5,6排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求偶數(shù)字相鄰,奇數(shù)字也相鄰,則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是().A.36 B.32 C.24 D.20在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?賽艇運動員10人,3人會劃右舷,2人會劃左舷,其余5人兩舷都能劃.現(xiàn)要從中選6人上艇,平均安排在兩舷上劃槳,有多少種不同的選法?1.某外商方案在4個候選城市中投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有().A.16種 B.36種 C.42種 D.60種2.某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學從中選3門.若要求兩類課程中各至少選1門,則不同的選法共有().A.30種 B.35種 C.42種 D.48種3.將4名新來的同學安排到A、B、C三個班級中,每個班級至少支配1名同學,其中甲同學不能安排到A班,那么不同的安排方案種數(shù)是.

4.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,求不同的放球方法有多少種?(2021年·浙江卷)將A、B、C、D、E、F六個字母排成一排,且A、B均在C的同側(cè),則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).

考題變式(我來改編):排列組合綜合性問題的解決策略有多余元素第8課時簡潔計數(shù)問題學問體系梳理問題1:10!=3628800問題2:“分類”相互獨立相對獨立“分步”相互依存不能問題3:全部不同的排列個數(shù)組成一組問題4:①特殊③排④正反⑤捆綁⑥插空⑦直排⑧排除⑨整體局部基礎(chǔ)學習溝通1.A按區(qū)域分四步:第一步,A區(qū)域有5種顏色可選;其次步,B區(qū)域有4種顏色可選;第三步,C區(qū)域有3種顏色可選;第四步,D區(qū)域也有3種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理知共有5×4×3×3=180種.2.C可以分為兩類狀況:①若取出6,依據(jù)6是否排百位分類,則有2(A82+C21C71C71)種方法;②若不取6,則有C71A72種方法3.84(法一)每個學校至少有一個名額,則分去7個,剩余3個名額到7所學校的方法種數(shù)就是要求的安排方法種數(shù).分類:若3個名額安排到1所學校,則有7種方法;若安排到2所學校,則有C72×2=42若安排到3所學校,則有C73=35即共有7+42+35=84種方法.(法二)10個元素之間有9個間隔,要求分成7份,相當于用6塊擋板插在9個間隔中,共有C96=844.解:(1)為保證“恰有1個盒不放球”,先從4個盒子中任意取出去一個,問題轉(zhuǎn)化為“4個球,3個盒子,每個盒子都要放入球,共有幾種放法?”即把4個球分成2,1,1的三組,然后再從3個盒子中選1個放2個球,其余2個球放在另外2個盒子內(nèi),由分步乘法計數(shù)原理,共有C41C42(3)確定2個空盒有C42種方法,4個球放進2個盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類,第一類有序不均勻分組有C43C11A22種方法;其次類有序均勻分組有C42C22A重點難點探究探究一:【解析】(1)這是相鄰問題,接受捆綁法.先排甲、乙,有A22種方法,再與其他3名同學排列,共有A22·(2)這是不相鄰問題,接受插空法,先排其余的2名同學,有A22種排法,消滅3個空,將甲、乙、丙插空.所以共有A22·(3)這是挨次肯定問題.由于乙不能站甲前面,丙不能站在乙前面,故3人只能按甲、乙、丙這一種挨次排列.(法一)5人的全排列共有A55種,甲、乙、丙3人全排列有A33種,而3人按甲、乙、丙挨次排列是全排列中的一種,所以共有(法二)(插空法)先排甲、乙、丙3人,只有一種排法,然后插入1人到甲、乙、丙中,有4種插法,再插入1人,有5種插法,故共有4×5=20種排法.(4)(法一)(直接法)若甲排在了兩端的兩個位置之一,甲有A21種,乙有A31種,其余3人有A33種,所以共有A21·A31·A33種;若甲排在了第2和第4兩個位置中的一個,有A21種,這時乙有A21種,其余3人有A33種,所以一共有A21·(法二)(間接法)5個人全排列有A55種,其中甲站在中間時有A44種,乙站在兩端時有2A44種,且甲站中間同時乙在兩端的有2A33種,所以一共有A5【小結(jié)】(1)有約束條件的排列問題的基本類型:①某些元素不能排在或必需排在某一位置;②某些元素要求相離(即不能相鄰);③某些元素要求相鄰(即必需相鄰).(2)解題的基本方法是:有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊元素或特殊位置,稱為“優(yōu)先處理元素(位置)法”.某些元素要求不相鄰排列時,可先排列其他元素,再將這些不相鄰元素插入“空檔”,稱為“插空法”;某些元素要求必需相鄰時,可以先將這些元素作為一個整體元素,與其他元素排列后,再考慮整體內(nèi)部的排序,稱為“捆綁法”.(3)在進行分類分步時肯定要做到分類標準統(tǒng)一,不重復(fù)不遺漏.探究二:【解析】(1)先從一等品中取1個,有C161種取法,再從二等品中取2個,有C依據(jù)乘法原理恰好取得一個一等品、兩個二等品的取法有C161C(2)(法一)將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類:“恰有1個一等品”“恰有2個一等品”“恰有3個一等品”,由分類加法計數(shù)原理有:C161C42+C(法二)考慮其對立大事“3個都是二等品”,用間接法:C203-C4【小結(jié)】“至少”“至多”型問題不能利用分步乘法計數(shù)原理求解,多接受分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對立大事來求解.探究三:【解析】(法一)設(shè)A,B代表2位老師傅.A,B都不在內(nèi)的選法有:C54·C4A,B都在內(nèi)且當鉗工的選法有:C22·C52·A,B都在內(nèi)且當車工的選法有:C22·C54·A,B都在內(nèi),一人當鉗工,一人當車工的選法有:C22·A22·C5A,B有一人在內(nèi)當鉗工的選派方法有:C21·C53·A,B有一人在內(nèi)當車工的選派方法有:C21·C54·∴一共有5+10+30+80+20+40=185種.(法二)5名鉗工有4名選上的方法是:C54·C44+C54·C43·C25名鉗工有3名被選上的方法是:C53·C44·C21+C55名鉗工有2名被選上的方法是:C52·C22·∴一共有75+100+10=185種.(法三)4名女車工都在內(nèi)的選派方法有:C44·C54+C44·C53·C24名女車工有3名在內(nèi)的選派方法有:C43·C21·C54+C44名女車工有2名在內(nèi)的選派方法有:C42·C22·∴一共有35+120+30=185種.【小結(jié)】本題有多種分類方法,不管哪種分類,只要做到分類標準統(tǒng)一、系統(tǒng)分類分步,做到不重不漏就可以利用分類加法原理求解.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:D按首位數(shù)字的奇偶性分兩類:一類是首位是奇數(shù)的,有A2另一類是首位是偶數(shù),有(A33-A2則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是A22A33+(A應(yīng)用二:(1)所求的不同抽法的種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù),所以共有C1003=100×(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有C21種,從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C982種,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C2(3)(法一)從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品兩種狀況.在第(2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有C21·C982種,因此依據(jù)分類加法計數(shù)原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有C21·C98(法二)抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù),也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù),即C1003-C98應(yīng)用三:分三類:第一類:2個只劃左舷的人全不選,有C53C其次類:2個只劃左舷的人中只選1人,有C21C第三類:2個只劃左舷的人全選,有C22C所以共有100+400+175=675種.基礎(chǔ)智能檢測1.D若3個不同的項目投資到4個城市中的3個,每個城市一項,共A43種方法;若3個不同的項目投資到4個城市中的2個,一個城市一項、一個城市兩項共C32A42種方法,2.A(法一)可分兩種互斥狀況:A類選1門,B類選2門或A類選2門,B類選1門,共有C31C42(法二)總共有C73=35種選法,減去只選A類的C33=1種,再減去只選B類的C43=4種,3.24將4名新來的同學安排到