《優(yōu)化探究》2022屆高三數(shù)學人教A版理科一輪復習提素能高效訓練-第7章-立體幾何-7-2

A組考點基礎演練一、選擇題1．(2022年高考重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12B．18C．24 D．30答案：C2．(2022年高考遼寧卷)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)解析：該幾何體為一正方體挖去了兩個eq\f(1,4)圓柱，則體積V＝23－2×eq\f(1,4)×π×12×2＝8－π.答案：B3．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的側(cè)面積為()A．12eq\r(5) B．24eq\r(2)C．24 D．12eq\r(3)解析：由三視圖知該幾何體為一正四棱臺，側(cè)面梯形的上底長為2，下底長為4，高為正視圖梯形的腰長，即為eq\r(5)，則棱臺的側(cè)面積為eq\f(2＋4×\r(5),2)×4＝12eq\r(5)，故選A.答案：A4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．12π解析：由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個圓柱內(nèi)挖去兩個與圓柱同底的半球，所以該幾何體的體積V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，選A.答案：A5.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1AA．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：連接BC1，B1C，交于點O，則O為面BCC1B1的中心．由題意知，球心為側(cè)面BCC1B1的中點O，BC為截面圓的直徑，所以∠BAC＝90°，則△ABC的外接圓圓心N位于BC的中點，同理，△A1B1C1的外接圓圓心M位于B1C1的中點，設正方形BCC1B1的邊長為x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R為球的半徑)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2＝1，即x＝eq\r(2)，即AB＝AC＝1，所以側(cè)面ABB1A1的面積為eq\r(2)×1＝eq\r(2)，選C.答案：C二、填空題6.(2021年高考福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡潔組合體，假如該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是________．解析：由三視圖知組合體為球內(nèi)接正方體，正方體的棱長為2，若球半徑為R，則2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3).∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.答案：12π7．(2022年高考江蘇卷)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設甲、乙兩圓柱的高分別為h1，h2，底面半徑分別為r1，r2，∴2πr1h1＝2πr2h2，即eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，而eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，∴eq\f(πr\o\al(2,3),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(h1,r2)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)8．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上．若AA1＝2，AB＝2，AC＝1，∠BAC解析：由題意知該三棱柱為直棱柱，設△ABC的外接圓的圓心為M，半徑為r，△A1B1C1的外接圓的圓心為M1，則該三棱柱的外接球的球心確定在MM1的中點處，設為O，連接OA，MA，則OA2＝MA2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)MM1))2，即R2＝r2＋1，在△ABC中，由余弦定理知BC＝eq\r(3)，由正弦定理知，2r＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2，即r＝1，所以R2＝2.故此球的表面積為S＝4πR2＝8π.答案：8π三、解答題9．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．(1)求此幾何體的表面積；(2)假如點P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長．解析：(1)由三視圖知：此幾何體是一個圓錐加一個圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和．S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圓柱側(cè)＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圓柱底＝πa2所以S表面＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖．則PQ＝eq\r(AP2＋AQ2)＝eq\r(a2＋πa2)＝aeq\r(1＋π2)，所以從P點到Q點在側(cè)面上的最短路徑的長為aeq\r(1＋π2).10.如圖所示的幾何體為一簡潔組合體，其底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD＝2EC.(1)若點N為線段PB的中點，求證：NE⊥PD；(2)若矩形ABCD的周長為10，PD＝2，求該組合體體積的最大值．解析：(1)證明：如圖，連接AC、BD交于點F，則F為BD的中點，連接NF.∵N為線段PB的中點，∴NF∥PD且NF＝eq\f(1,2)PD，又EC∥PD且EC＝eq\f(1,2)PD，∴NF綊EC，∴四邊形NFCE是平行四邊形，∴NE∥FC，即NE∥AC，又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC.又NE∥AC，∴NE⊥PD.(2)該簡潔組合體可看成是由三棱錐P-ABD和四棱錐B-PDCE組合而成的．∵矩形ABCD的周長為10，設AB＝x(0<x<5)，則CD＝x，AD＝BC＝5－x.∴VP-ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×AB×PD＝eq\f(1,3)(5－x)x.∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.又∵BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDCE，∴VB-PDCE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(CE＋PD)×CD×BC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3·x·(5－x)＝eq\f(1,2)(5－x)x，∴簡潔組合體的體積為V＝VP-ABD＋VB-PDCE＝eq\f(5,6)x(5－x)＝－eq\f(5,6)x(x－5)＝－eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋eq\f(125,24).∵0<x<5，∴當x＝eq\f(5,2)時，該簡潔組合體的體積最大，最大值為eq\f(125,24).B組高考題型專練1．(2022年高考四川卷)某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()(錐體體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)A．3 B．2C.eq\r(3) D．1解析：由側(cè)視圖知高為eq\r(3)，由俯視圖知底面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.答案：D2．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)解析：圓柱的體積為π×32×6＝54π，該零件的體積為π×22×4＋π×32×2＝34π，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).答案：C3．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4πB．3πC．2π D．π解析：由幾何體的形成過程知所得幾何體為圓柱，底面半徑為1，高為1，其側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.答案：C4．(2022年高考新課標全國卷Ⅱ)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC中點，則三棱錐A-B1DC1的體積為()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)答案：C5．正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4) B．16πC．9π D.eq\f(27π,4)解析：設球的半徑