【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第二章 四邊形（壓軸題專練）

第二章四邊形（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)校考期末）如圖，平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，E，F(xiàn)，G是，，的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，交于點(diǎn)F，，，，連接、、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，下列四個(gè)命題或結(jié)論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當(dāng)時(shí)，，則的面積是1．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022下·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，P是正方形的邊右側(cè)一點(diǎn)，，為銳角，連，的平分線交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，則以下結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)D為中點(diǎn)，，則四邊形的面積為，其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，沿翻折，得到，連接．當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（

）

A． B． C． D．25．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，四邊形和都是正方形（正方形的四邊相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角），下列四個(gè)說法：（1）；（2）若連接，則且；（3）的面積為18，且被直線平分；（4）若連接，則四邊形的面積為90．其中正確的說法個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下·廣東江門·八年級(jí)江門市新會(huì)東方紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形中，點(diǎn)P為D上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)N，點(diǎn)M垂足，交兩邊于點(diǎn)E、F，連接，則下列結(jié)論：①；②；③為常數(shù)；④，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)坪山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是正方形；③若，則；其中正確的是（

）A．①②③ B．①② C．②③ D．①9．（2023下·廣東佛山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，與、分別交于點(diǎn)、，為的中點(diǎn)，連接、、、．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2023下·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，，平分交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接則以下四個(gè)結(jié)論中：①；②；③連接，則；④；正確的結(jié)論為（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③11．（2023下·重慶開州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形是矩形，點(diǎn)在邊上，平分且，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．412．（2023下·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，對(duì)角線，，直線過點(diǎn)，連接，的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的一半，下列說法正確的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為正方形邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，折痕為，連接、，交于點(diǎn)下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．414．（2023下·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接則下列結(jié)論：①；②；③若平分，則；④；⑤四邊形的面積是正方形面積的其中正確的結(jié)論是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題15．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．16．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖為邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連續(xù)，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接和，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_____．17．（2023上·貴州六盤水·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接與，若，則的最小值是________．

18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊向外作正方形，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_________．

19．（2024上·湖北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，于，為的中點(diǎn)，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為_____．三、解答題20．（2023·湖南株洲·校聯(lián)考三模）四邊形為正方形，點(diǎn)E為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)F在邊上，求證：；(2)以為鄰邊作矩形，連接．①如圖2，若，求的長(zhǎng)度；②當(dāng)線段與正方形一邊的夾角是時(shí)，直接寫出的度數(shù)．21．（2024上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題背景】如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，把沿直線對(duì)折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．【問題探究】（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)M，與正方形另一條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)，交線段于點(diǎn)G．①求的值，并說明點(diǎn)M是的中點(diǎn)；②試探究與有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（2）如圖3，點(diǎn)H是線段上的一點(diǎn)，且，連接、．在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，求的最小值．22．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E，F(xiàn)分別在直線，上，且，連接．

(1)當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊，上時(shí)，如圖1．請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(2)當(dāng)E，F(xiàn)分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為______．(2)如圖②，連接，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接，①求證：②線段的長(zhǎng)度為______．(3)如圖③，設(shè)點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值為______．24．（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（容易得出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），進(jìn)一步證明與全等．親愛的同學(xué)們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長(zhǎng)為60米．公園設(shè)計(jì)部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動(dòng)場(chǎng)地，準(zhǔn)備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動(dòng)區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個(gè)出人口，即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，而且根據(jù)實(shí)際需要，要使得，并將兒童活動(dòng)區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場(chǎng)地，兒童活動(dòng)區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請(qǐng)參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應(yīng)用】如圖②，若，請(qǐng)你計(jì)算兒童活動(dòng)區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系．25．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：對(duì)矩形紙片進(jìn)行折紙操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如圖，①將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段．提出問題：（1）觀察所得到的，和，猜想這三個(gè)角之間有什么關(guān)系？證明你的猜想．變式拓展：如圖2，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕、線段．提出問題：（2）已知，求的長(zhǎng)．（3）若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，________．26．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰诰匦沃校?1)將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處（如圖①），設(shè)與相交于點(diǎn)G，求證：；(2)將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（如圖②），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求、的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點(diǎn)落在矩形的邊上點(diǎn)，請(qǐng)求的最大值和最小值．27．（2024上·重慶豐都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形邊長(zhǎng)為，，是對(duì)角線，把一個(gè)含（的三角尺與這個(gè)菱形疊合；如果使三角尺（的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩邊分別與、重合．將三角尺繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于）．旋轉(zhuǎn)過程中三角尺的兩邊與菱形的兩邊、相交于點(diǎn)、．

(1)、有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)連接，求面積的最大值．(3)連接，在旋轉(zhuǎn)過程中三角尺的兩邊分別與相交于點(diǎn)、，是否存在以、、為邊的直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．28．（2023上·山東青島·九年級(jí)期末）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．理解：如圖，在中，是邊上的中線，那么和是“友好三角形”，并且．應(yīng)用：如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，，與交于點(diǎn)O．（1）求證：和是“友好三角形”；（2）連接，若和是“友好三角形”，求四邊形的面積．探究：在中，，，點(diǎn)D在線段上，連接，和是“友好三角形”，將沿所在直線翻折，得到，若與重合部分的面積等于面積的，請(qǐng)直接寫出的面積．29．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）取一張矩形紙片，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊得．

(1)如圖1，連接，，，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀；(2)如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時(shí)，求線段的值；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，分別連接，，取中點(diǎn)連接CH，試探究線段與CH的數(shù)量關(guān)系．

第二章四邊形（壓軸題專練）答案全解全析一、選擇題1．（2023上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，E，F(xiàn)，G是，，的中點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)和的交點(diǎn)為點(diǎn)P，根據(jù)三角形中位線定理可得，且，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，可證得，故②正確；再證明△AGP△EFP，可得垂直平分，從而得到，故①正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得平分，故④正確；可證得四邊形為平行四邊形，而無法得到四邊形為菱形，故③錯(cuò)誤；即可求解．【詳解】解：設(shè)和的交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖，∵E、F分別是，的中點(diǎn)，∴，且，∵四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，∴，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，故②正確；∴，∴，∵，，∴，點(diǎn)O為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∵E為中點(diǎn)，∴，∴，∴垂直平分，∴，故①正確；∴平分，故④正確；∵，，∴四邊形為平行四邊形，而無法得到四邊形為菱形，故③錯(cuò)誤；故選：C．2．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，交于點(diǎn)F，，，，連接、、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，下列四個(gè)命題或結(jié)論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當(dāng)時(shí)，，則的面積是1．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)SAS證明可判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和互余可判斷②；以點(diǎn)C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，，證明四邊形是平行四邊形可判斷③；④作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)K，連接，則．先證明，再結(jié)合三線合一證明，然后證明，利用勾股定理求出的值，證明求出的值，進(jìn)而求出的面積可判斷④．【詳解】解：①∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故②正確；③如圖，以點(diǎn)C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，故③正確；④作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)K，連接，則．∵，∴，，∵，∴，∵，∴．由等腰三角形三線合一知，，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，故④正確．故選D．3．（2022下·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，P是正方形的邊右側(cè)一點(diǎn)，，為銳角，連，的平分線交于Q點(diǎn)，過點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，則以下結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)D為中點(diǎn)，，則四邊形的面積為，其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】解：①根據(jù)題意可得，則，，設(shè)，，，根據(jù)，即可判斷①；過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先根據(jù)，得出，進(jìn)而推出，再證明，得出，即可判斷②；③連接，證明，得出，，則，根據(jù)，，得出，則，最后通過，得出，即可判斷③；過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，易得，進(jìn)而得出，根據(jù)梯形面積公式，求出四邊形的面積即可判斷④．【詳解】解：①∵四邊形為正方形，，∴，∴，，設(shè)，在中，，在中，，∴，故①正確，符合題意；②過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，故②正確，符合題意；③連接，∵，∴，∴，∴，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故③正確，符合題意；④過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴點(diǎn)N為中點(diǎn)，則，∵，∴，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形的面積，故④不正確，不符合題意，綜上：正確的有①②③，故選：A．4．（2023上·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，沿翻折，得到，連接．當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】連接，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)的最小值，根據(jù)勾股定理得到，得到長(zhǎng)度的最小值，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得到根據(jù)三角形的面積公式得到的面積是．【詳解】解：連接，如圖，

沿翻折至，，，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)的最小值，四邊形是矩形，，，，，長(zhǎng)度的最小值，設(shè)，則，，，，，解得，，的面積是，故選：．5．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，四邊形和都是正方形（正方形的四邊相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角），下列四個(gè)說法：（1）；（2）若連接，則且；（3）的面積為18，且被直線平分；（4）若連接，則四邊形的面積為90．其中正確的說法個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)可得，再由，，即可判斷（1）；證明即可得到，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得，即可判斷（2）；作交于，交于，證明，，，得到三角形之間的面積關(guān)系，即可判斷（3）；作交于，交于，則，證明，，得到三角形之間的面積關(guān)系，再由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：四邊形和都是正方形，，，，，，，故（1）正確，符合題意；在和中，，，，，如圖，令和交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)，，，，，，，，故（2）正確，符合題意；作交于，交于，四邊形是正方形，，，，，，，，，，在和中，，，，，同理可得：，，，，，，，，，，，故（3）正確，符合題意；作交于，交于，則，四邊形為梯形，同理證得：，，，，，，，，，故（4）正確，符合題意；綜上所述，正確的有（1）（2）（3）（4），共4個(gè)，故選：D．6．（2023下·廣東江門·八年級(jí)江門市新會(huì)東方紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形中，點(diǎn)P為D上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)N，點(diǎn)M垂足，交兩邊于點(diǎn)E、F，連接，則下列結(jié)論：①；②；③為常數(shù)；④，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】證明四邊形是平行四邊形，可得，再由垂直平分，可證，從而證明，即可判斷①；過點(diǎn)N作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，，利用勾股定理可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而證明，可得，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，即可判斷②；延長(zhǎng)到點(diǎn)T，使，證明，從而可證是等腰直角三角形，可得，即可判斷③；設(shè)與交于點(diǎn)O，由，，即可判斷④．解：①作，交于Q．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；

②過點(diǎn)N作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵垂直平分，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，故②正確；③延長(zhǎng)到點(diǎn)T，使，∵，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴，故③正確；設(shè)與交于點(diǎn)O，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故④正確．故選：D．7．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)坪山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】在上取一點(diǎn)，使，連接，證明，可得，，有，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，，可判斷（1）正確；連接，證明四邊形是平行四邊形，得，，可得，可判斷（3）錯(cuò)誤；連接交于，可證明得，從而判斷（2）錯(cuò)誤；設(shè)，，則，可得，，若，則，即可得，可以判斷（4）正確，從而得到答案．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，故（1）正確；連接，

由（1）知：，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，即，，，故（3）錯(cuò)誤；連接交于，四邊形是正方形，，，，，，，，即，故（2）錯(cuò)誤；設(shè)，，則，，，，，，若，則，，即，故（4）正確，綜上所述，正確的有（1）、（4），共2個(gè)，故選：B．8．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是正方形；③若，則；其中正確的是（

）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①【答案】A【分析】設(shè)交于K，由及將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，可得，即可得，從而判斷①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由正方形的判定可證四邊形是正方形，可判斷②正確；過點(diǎn)D作于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由“”可得，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，判斷③正確．【詳解】解：設(shè)交于K，如圖：

∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴，，，又∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，故②正確；如圖，過點(diǎn)D作于H，

∵，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，故③正確；∴正確的有：①②③，故選：A．9．（2023下·廣東佛山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在正方形中，為對(duì)角線，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，與、分別交于點(diǎn)、，為的中點(diǎn)，連接、、、．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中結(jié)論正確的有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出和的關(guān)系，再根據(jù)和的關(guān)系即可判斷①，先證明，再證明，從而得出，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可判斷②，根據(jù)全等三角形的判定定理，即可判斷③；若，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，求出，即可判斷④．【詳解】解：是正方形的對(duì)角線，，，∵，∴，四邊形是矩形，，，，故①正確，，，，又是的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，，又，，，，故②正確，∵，，在和中，，∴，故③正確；∵，，為等腰直角三角形，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：設(shè)，則，，，，，則，，，故④正確；故選：D．

10．（2023下·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)為正方形的中心，，平分交于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接則以下四個(gè)結(jié)論中：①；②；③連接，則；④；正確的結(jié)論為（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③【答案】C【分析】①過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，證明，然后可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一與中位線定理可得出結(jié)論；②由三角形中位線定理知，，，然后可得結(jié)論；③先證，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，從而得，進(jìn)而即可判斷③錯(cuò)誤；④根據(jù)四邊形是正方形，是的平分線可求出，進(jìn)而得到，再由是中點(diǎn)，可得，求出即可得出結(jié)論．【詳解】解：①過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，,∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴（），∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴是的中位線，∴，故①正確；②∵點(diǎn)為正方形的中心，，，∴，∵是的中位線，,∴,,∴,∴，∴，故②正確；③如圖，

∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，,∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；④∵四邊形是正方形，是的平分線，∴，∵，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴，故④正確；故選：C．11．（2023下·重慶開州·八年級(jí)校考期中）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)在邊上，平分且，垂足為點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)可得，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，故①正確；由得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得②正確；由，，得不可能是等邊三角形，得，故③錯(cuò)誤；由等腰三角形的性質(zhì)可判斷④；由全等三角形的性質(zhì)及長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得為等腰直角三角形，求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，可判定⑤正確．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，故①正確；，，，，在的垂直平分線上，在和中，，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，垂直且平分，故②正確；平分，，，，又，不可能是等邊三角形，，錯(cuò)誤；故③錯(cuò)誤；，，，，，，故④錯(cuò)誤；，，為等腰直角三角形，，，，又，，，，，，，故⑤正確．故選：C．12．（2023下·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，對(duì)角線，，直線過點(diǎn)，連接，的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的一半，下列說法正確的是（

）①；②；③；④

A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④【答案】A【分析】①取的中點(diǎn)G，連接，可證得是等邊三角形，推出，利用勾股定理可得，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，可判斷①正確；②由題意得，即，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，利用等腰三角形性質(zhì)可得，可判斷②正確；③過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于H，設(shè)，則，利用直角三角形性質(zhì)和勾股定理可得：，，由勾股定理可得，求得，可得，再由勾股定理可得，得出，可判斷③錯(cuò)誤；④由于，可判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：①如圖，取的中點(diǎn)G，連接，則，

∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，故①正確；②∵的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的一半，周長(zhǎng)的一半，的周長(zhǎng)，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，即，故②正確；③如圖，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于H，則，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，解得：，∴，，而，∴，∵，，，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，故④錯(cuò)誤；綜上所述，說法正確的是①②．故選：A．13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)為正方形邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，折痕為，連接、，交于點(diǎn)下列結(jié)論：①是等腰三角形；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)翻折不變性可知∶，即可判斷①正確；過點(diǎn)作于．設(shè)交于，證明，可以判斷②正確；根據(jù)翻折的性質(zhì)證明，可以判斷③正確；根據(jù)與不全等，可得，進(jìn)而可以判斷④錯(cuò)誤；過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，可得，，再證明，得，進(jìn)而可以判斷⑤正確．【詳解】解∶根據(jù)翻折不變性可知∶，∴是等腰三角形，故①正確；如圖，過點(diǎn)作于，交于，設(shè)交于．

∵，∴四邊形是矩形，∴，由折疊可知∶，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，∴，由折疊可知∶，∴，∵，∴，∴平分，故③正確；∵，∴，∵與不全等，∴，故④錯(cuò)誤；如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，．

∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上所述∶結(jié)論正確的有∶①②③⑤，共4個(gè)．故選∶D．14．（2023下·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接則下列結(jié)論：①；②；③若平分，則；④；⑤四邊形的面積是正方形面積的其中正確的結(jié)論是（

）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】B【分析】先證明，可得，再證明，可判斷①；可得，，則，可判斷②；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，記到的距離為，證明，，從而可判斷③；顯然隨位置的變化而變化，的長(zhǎng)度是變化的，而是不變的，可判斷故④不符合題意；證明，可得，從而可判斷⑤.【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，故①符合題意；∴，∴，∴，即，故②符合題意；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，記到的距離為，∵平分，∴，∴，∴；故③符合題意；顯然隨位置的變化而變化，∴的長(zhǎng)度是變化的，而是不變的，∴，故④不符合題意；同理可得：，∴，∵，∴.故⑤符合題意；故符合題意的有①②③⑤；故選B二、填空題15．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】由中位線定理可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，再由垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，連接、，作于，作于，則的最小值為的長(zhǎng)，是的中位線，由勾股定理求出、、的長(zhǎng)，由三角形中位線定理得出的長(zhǎng)，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在處，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在處，，且，當(dāng)點(diǎn)在上除點(diǎn)、的位置處時(shí)，有，由中位線定理可知：且，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，如圖所示，當(dāng)時(shí)，取得最小值，四邊形是矩形，，，，，為的中點(diǎn)，，連接、，作于，作于，則的最小值為的長(zhǎng)，是的中位線，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，，．故答案為：．16．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖為邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連續(xù)，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接和，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_____．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接，，過作于，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，同理，求得，推出，，三點(diǎn)共線，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【詳解】連接，，過作于，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，同理，∴，∴，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．17．（2023上·貴州六盤水·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，連接與，若，則的最小值是________．

【答案】【分析】連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出，的最小值是的長(zhǎng)，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，在上取一點(diǎn)，使，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，

∵四邊形是正方形，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值是的長(zhǎng)，在中，，，∴，∵，∴，在中，，∴的最小值是，故答案為：．18．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊向外作正方形，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_________．

【答案】１【分析】由，推出，連接，容易證明，推出，當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于的延長(zhǎng)線處，進(jìn)而推出G點(diǎn)在這條線段上運(yùn)動(dòng)，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短知，過H向作垂線，得到的最小值．【詳解】解：連接，如下圖所示：

，，，在△ADE和中，，，，當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于處，當(dāng)E點(diǎn)位于A點(diǎn)時(shí)，G點(diǎn)位于C處，故E點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，G點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知：過H點(diǎn)作時(shí)，此時(shí)最小，又H是的中點(diǎn)，又，，故答案為：1．19．（2024上·湖北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，于，為的中點(diǎn)，連接，以為邊向右作等邊，連接，則的最小值為_____．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，通過證明，得，在中，利用三邊關(guān)系即可求解，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，則，，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，連接，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為，故答案為：．三、解答題20．（2023·湖南株洲·校聯(lián)考三模）四邊形為正方形，點(diǎn)E為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)F在邊上，求證：；(2)以為鄰邊作矩形，連接．①如圖2，若，求的長(zhǎng)度；②當(dāng)線段與正方形一邊的夾角是時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）連接，由正方形的對(duì)稱性得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可證明，進(jìn)而證得，得，便可得；（2）①證明得，求出的長(zhǎng)度便可；②分兩種情況：或，分別根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和求得結(jié)果便可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵四邊形是正方形，，（2）解：①∵四邊形為矩形，，∴四邊形為正方形，∴，∵四邊形為正方形，∵②當(dāng)時(shí)，如圖，∵當(dāng)時(shí)，如圖，∵，綜上，或．21．（2024上·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題背景】如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，把沿直線對(duì)折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．【問題探究】（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)M，與正方形另一條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)，交線段于點(diǎn)G．①求的值，并說明點(diǎn)M是的中點(diǎn)；②試探究與有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（2）如圖3，點(diǎn)H是線段上的一點(diǎn)，且，連接、．在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，求的最小值．【答案】（1）①見解析；②．理由見解析；（2）的最小值為．【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到等角，證明即可得證．②根據(jù)折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理，證明即可．(2)在上截取，連接、，利用三角形不等式，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）①在正方形中，，，，，，．，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)．②．理由：如圖2，連接交于點(diǎn)，由折疊可知垂直平分，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，即．（2）如圖3，在上截取，連接、，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，．的最小值為．22．（2024上·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E，F(xiàn)分別在直線，上，且，連接．

(1)當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊，上時(shí)，如圖1．請(qǐng)?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(2)當(dāng)E，F(xiàn)分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了線段和差問題及正方形的性質(zhì)；關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，并熟練運(yùn)用全等三角形的判定方法．（1）如圖1，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)，去證明，從而得出，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)，去證明，從而得出，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖1，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，

由旋轉(zhuǎn)可得，，，點(diǎn)E，B，G在同一直線上，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴,∴，∵，∴．（2）如圖2，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，

由旋轉(zhuǎn)可得，，，點(diǎn)A，G，B在同一直線上，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．23．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在矩形中，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)度為______．(2)如圖②，連接，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接，①求證：②線段的長(zhǎng)度為______．(3)如圖③，設(shè)點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值為______．【答案】(1)(2)①見解析，②(3)【分析】（1）如圖①中，在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）①證明：如圖②中，根據(jù)即可證明；②如圖②中，由，推出，推出，設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；（3）存在．連接，作于M．當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，利用，求出，再根據(jù)計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖①中，∵四邊形是矩形，，∵矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，，在中，，，故答案為：．（2）①證明：如圖②中，∵當(dāng)點(diǎn)E落在線段上，，在和中，，；②如圖②中，，，，設(shè)，在中，，，，，故答案為：．（3）解：如圖③中，連接，作于M．當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，由題意：，，，，，則，的面積的最大值為，故答案為：．24．（2023上·河北張家口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置（容易得出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上），進(jìn)一步證明與全等．親愛的同學(xué)們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長(zhǎng)為60米．公園設(shè)計(jì)部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動(dòng)場(chǎng)地，準(zhǔn)備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動(dòng)區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個(gè)出人口，即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，而且根據(jù)實(shí)際需要，要使得，并將兒童活動(dòng)區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場(chǎng)地，兒童活動(dòng)區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請(qǐng)參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應(yīng)用】如圖②，若，請(qǐng)你計(jì)算兒童活動(dòng)區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫出、和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）本題根據(jù)方法前置將△ADE繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDM的位置，得到，，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，證明，得到，再結(jié)合線段的和差，即可解題．（2）本題根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，由推出，設(shè)則，，在中，利用勾股定理，求出，最后利用，即可解題．（3）本題根據(jù)（1）中可得方法將△ADE繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接，同理可證得，，得到線段，，最后利用勾股定理即可解題．【詳解】（1）解：根據(jù)方法前置將△ADE繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDM的位置，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，．（2）解：正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長(zhǎng)為60米．，∠B=90°，，，設(shè)，則，，在中，有，解得，，，又（），兒童活動(dòng)區(qū)的面積為（3）解：、和之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：將△ADE繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接，如圖所示：由（1）同理可證得，，，，，四邊形是正方形，為其對(duì)角線，，，，，．25．（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：對(duì)矩形紙片進(jìn)行折紙操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如圖，①將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；②再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段．提出問題：（1）觀察所得到的，和，猜想這三個(gè)角之間有什么關(guān)系？證明你的猜想．變式拓展：如圖2，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕、線段．提出問題：（2）已知，求的長(zhǎng)．（3）若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，________．【答案】（1）．（2）．（3）．【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）由折疊可知：，，再證明四邊形是矩形，可得，，根據(jù)勾股定理列出等式即可求出．（3）由垂直平分，可得，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)周長(zhǎng)最小，再證明，得出，即可求得答案．【詳解】解：（1）猜想：，理由如下：如圖，連接，四邊形是矩形，，將矩形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕，垂直平分，，再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，．（2）如圖2，由折疊可知：，，，四邊形是矩形，，，，，，，由折疊可知：，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，．（3）如圖3，連接，由（2）知：垂直平分，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)周長(zhǎng)最小，在和中，，，，，故答案為：．26．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰诰匦沃?，．(1)將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處（如圖①），設(shè)與相交于點(diǎn)G，求證：；(2)將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（如圖②），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求、的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點(diǎn)落在矩形的邊上點(diǎn)，請(qǐng)求的最大值和最小值．【答案】(1)證明見解答(2)的長(zhǎng)是，OF的長(zhǎng)是(3)的最大值為6，最小值為【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，則，由折疊得，所以，則；（2）連接、，由，得，則，因?yàn)榇怪逼椒?，所以，由勾股定理得，求得，則，由，求得，而，則；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，由垂直平分，得，則，所以；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最大，此時(shí)，所以的最大值為6，最小值為．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，由折疊得，（2）解：如圖②，連接、，∵，由折疊得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，垂直平分解得，解得，∴的長(zhǎng)是，的長(zhǎng)是．（3）解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴垂直平分，；如圖④，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最大，且∴的最大值為6，最小值為．27．（2024上·重慶豐都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形邊長(zhǎng)為，，是對(duì)角線，把一個(gè)含（的三角尺與這個(gè)菱形疊合；如果使三角尺（的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩邊分別與、重合．將三角尺繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于）．旋轉(zhuǎn)過程中三角尺的兩邊與菱形的兩邊、相交于點(diǎn)、．

(1)、有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)連接，求面積的最大值．(3)連接，在旋轉(zhuǎn)過程中三角尺的兩邊分別與相交于點(diǎn)、，是否存在以、、為邊的直角