2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市寧夏高三上學(xué)期第二次月考測試（12月）數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市寧夏高三上學(xué)期第二次月考測試（12月）數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．向量，與非零向量的夾角為，則在上的投影向量的模長為（）A． B． C．1 D．3．底面邊長為，且側(cè)棱長為的正四棱錐的側(cè)面積為（

）A．20 B．16 C．24 D．64．等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B． C． D．5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，的解析式為（

）A． B．C． D．6．已知正方體的棱長為為的中點，則點到平面的距離等于（

）A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，（為常數(shù)），則的值為（）A． B．3 C．4 D．28．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，，,已知，在邊上，平分，且，則的最小值為（）A．9 B．18 C．24 D．36二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法中，正確的有（）A．直線必過定點B．點關(guān)于直線對稱的點是C．直線的斜率為D．點到的距離是10．已知數(shù)列滿足，是前項和，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列；B．當(dāng)取得最大值時，；C．?dāng)?shù)列的前項和是，D．?dāng)?shù)列也是首項為9，公差為等差數(shù)列11．設(shè)，函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)B．點為函數(shù)圖象的對稱中心C．函數(shù)有三個零點的充要條件是D．存在，，使得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓經(jīng)過三個點分別是，，，則圓的方程為．13．已知，則．14．在邊長為4的正方形中，如圖甲所示，，，分別為，的中點，分別沿，及所在直線把，和折，使，，三點重合于點，得到三棱錐，則三棱錐外接球的表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，.已知.(1)求角的大小；(2)若，，求的面積.16．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點，長軸長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且斜率為1的直線l與橢圓C交于兩點，求弦長；(3)若直線l與橢圓相交于兩點，且弦的中點為，求直線l的方程.17．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大?。?3)求證：平面．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意的實數(shù)，，曲線與直線總相切，則稱函數(shù)是“函數(shù)”，當(dāng)時，若函數(shù)是“函數(shù)”，求.19．給定正整數(shù)，設(shè)，，…，是1，2，…，中任取個互不相同的數(shù)構(gòu)成的一個遞增數(shù)列.對，如果是奇數(shù)，則是奇數(shù)，如果是偶數(shù)，則是偶數(shù)，就稱，，…，為“數(shù)列”.(1)若，，寫出所有“數(shù)列”；(2)對任意“數(shù)列”，，…，，，證明.（注：表示不超過的最大整數(shù)）；(3)確定“數(shù)列”的個數(shù).

答案1．【正確答案】D【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，因此命題“”的否定是故選：D.2．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的模長公式計算即得.【詳解】依題意，則，故在上的投影向量的模長為．故選：A.3．【正確答案】C【分析】利用正棱錐的性質(zhì)，結(jié)合棱錐的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】由正四棱錐底面邊長為，可得底面對角線長為4，則棱錐的高，斜高為，側(cè)面積為．故選：C.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.5．【正確答案】B【分析】由圖象確定A的值，根據(jù)周期求出，利用特殊值求出，即得答案.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，即，由，得，故，由于，故，則，故選：B6．【正確答案】A【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用點面距的向量公式，可得答案.【詳解】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，，，，取，，，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，，所以平面的一個法向量，點到平面的距離.故選：A.7．【正確答案】C【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)求得，然后結(jié)合周期性求函數(shù)值．【詳解】因為在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，因為，所以的周期為6，故選：C．8．【正確答案】B【分析】由余弦定理可得，由，，可得，即，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因為，由余弦定理得：，整理得：，所以，又因為，則，因為平分，所以，根據(jù)題意有：，，所以，即，整理有：，即，所以，因為，，所以，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B9．【正確答案】ACD【分析】將直線方程變形，可求出直線所過定點的坐標(biāo)，可判斷A選項；利用點與點關(guān)于直線對稱，求出點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，可判斷B選項；求出直線的斜率，可判斷C選項；利用點到直線的距離公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線方程可化為，由可得，所以，直線必過定點，A對；對于B選項，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，則，解得，所以，點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，B錯；對于C選項，直線的斜率為，C對；對于D選項，點到的距離是，D對.故選：ACD.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷A、D；由等差數(shù)列的和結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；利用賦值法判斷C;【詳解】由，則，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A對；因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時，當(dāng)取得最大值時，故B對；取時，，而，故C錯由，所以，所以，且，所以數(shù)列也是首項為9，公差為等差數(shù)列，故D對；故選：ABD11．【正確答案】BC【分析】求導(dǎo)可得，可判斷A錯誤；利用對稱中心定義可知滿足，可知B正確；由三次函數(shù)性質(zhì)利用導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)性，再根據(jù)極值的符號即可判斷C正確；利用軸對稱函數(shù)的定義可判斷D.【詳解】，對于A，當(dāng)時，可知恒成立，因此函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；對于B，由可得，即可得對于都滿足，所以點為y=fx圖象的對稱中心，可得B正確；對于C，由A選項可知當(dāng)時，恒成立，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意；所以，令，解得或，易知或時，f'x<0當(dāng)時，f'x因此可得在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即在和處分別取得極大值和極小值；若函數(shù)有三個零點，可得，解得，因此充分性成立；當(dāng)時，可知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且極小值，極大值，由三次函數(shù)性質(zhì)可知此時有三個零點，即必要性成立，所以函數(shù)有三個零點的充要條件是，即C正確；對于D，若函數(shù)y=fx圖象關(guān)于直線對稱，則滿足，又，可得，整理，該方程無法對任意的恒成立，即D錯誤.故選：BC.關(guān)鍵點點睛：在求解三次函數(shù)零點個數(shù)時，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性限定出極值的符號，解不等式即可得出參數(shù)取值范圍.12．【正確答案】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)條件建立方程組，聯(lián)立方程求解出，即可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，因為圓過點是，，三點，所以①，②，③，由①②得到④，由②③得到⑤，由④⑤解得，代入①，得，所以圓的方程為.故13．【正確答案】【分析】利用正弦二倍角公式，結(jié)合弦化切思想，求值即可.【詳解】因為，所以，故答案為.14．【正確答案】【分析】三棱錐外接球等同于補形為長方體的外接球，結(jié)合所給長度即可求解.【詳解】由題可得，,,所以,所以所以三棱錐外接球等同于以同頂點PA,PE,PF擴充為長方體的外接球，如下圖，設(shè)外接球的直徑為，則有,所以，則外接球的半徑為,所以三棱錐外接球的表面積為,故答案為:.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，邊化角即可．（2）根據(jù)已知和余弦定理可求得的值，再由面積公式求解．【詳解】（1）∵，由正弦定理，得，∵，∴，即，∵，∴．（2）根據(jù)題意，，①由余弦定理，得，②根據(jù)①②，可得，所以三角形的面積公式.16．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的長軸長及所經(jīng)過點直接求出，得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線l與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理，根據(jù)弦長公式得出結(jié)果.（3）設(shè)，根據(jù)“點差法”求出直線的斜率，由點斜式即可求解.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為，因為橢圓經(jīng)過點0,1且長軸長為，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知設(shè)直線l的方程為，設(shè)，.將直線代入，得，所以，，.（3）設(shè)，則中點是，于是，即，由于在橢圓上，故，兩式相減得到，即，故，于是，故直線的方程是，整理得17．【正確答案】(1)證明見解析(2)．(3)證明見解析【分析】（1）建系，通過直線方向向量與平面法向量的關(guān)系即可求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得平面的法向量，進而可得面面角.（3）通過向量垂直說明線線垂直，即可求證；【詳解】（1）在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題知，則A2,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面．（2）由（1）知，，且，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，，而，則，，即，，則的一個法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為．（3）由（1）知，，由，得，又，且，平面，所以平面．18．【正確答案】(1)極小值0，無極大值．(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，利用極值的定義求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，分類討論求的單調(diào)區(qū)間即可；（3）利用“函數(shù)”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，然后結(jié)合是方程的根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得到，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f'x>0，故有極小值，無極大值.（2）由（1）可知：當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，，所以，且為增函數(shù)，當(dāng)時，f'x<0，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'x>0，在單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無遞增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）當(dāng)時，函數(shù)是“函數(shù)”，求導(dǎo)得，設(shè)曲線與直線切點，則，故，即，所以且，設(shè)，，易知，且是增函數(shù)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以是方程的根，且唯一，所以．19．【正確答案】(1)；；；；(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義直接寫出；（2）首先分析得，再結(jié)合得到，即，則原命題證明；（3）定義數(shù)列，分析出是“數(shù)列”，再記表示中任取項構(gòu)成的單調(diào)遞增數(shù)列的全體，從而證明出是“數(shù)列”，最后利用組合公式即可.【詳解】（1）“數(shù)列”如下：；；；.（2）因為