2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期第三次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市高二上學(xué)期第三次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是等差數(shù)列，且，則的值是（

）A．24 B．27 C．30 D．332．在數(shù)列中，，則等于（

）A．4 B． C．13 D．3．已知A，，三點(diǎn)不共線，點(diǎn)不在平面內(nèi)，，若A，，，四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A． B． C．1 D．24．如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處.已知庫(kù)底與水壩所成的二面角為，測(cè)得從，到庫(kù)底與水壩的交線的距離分別為，，若，則甲、乙兩人相距（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)在基底下的坐標(biāo)是，其中，則點(diǎn)在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．7．給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算，規(guī)定：①為同時(shí)與垂直的向量；②三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長(zhǎng)方體中中，，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．8．過拋物線的焦點(diǎn)作圓的切線，該切線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（）A． B．14 C．15 D．16二、多選題（本大題共3小題）9．（多選）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．10．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．直線與所成的角不可能是B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為C．當(dāng)時(shí)，D．若，則二面角的平面角的正弦值為11．已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P到B的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡方程為：B．P，A，B不共線時(shí)，面積的最大值為C．存在點(diǎn)P，使得D．為坐標(biāo)原點(diǎn)，的最小值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，與向量不共線的向量在上的投影向量為，請(qǐng)你給出的一個(gè)坐標(biāo)為.13．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．若，則．14．已知數(shù)列中，，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明是等差數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，求．16．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．17．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值．18．在數(shù)列中，數(shù)列滿足(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列并求出通項(xiàng)公式.(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)；(3)若平面，為垂足，直線與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的長(zhǎng).

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以也成等差數(shù)列，則，所以．故選：B.2．【正確答案】A【詳解】依題意，在數(shù)列中，，即，所以．故選：A.3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)锳，，，四點(diǎn)共面，所以，則，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】由已知可得，與的夾角為，且，，不共面，以，，為空間向量基底，則，即，所以，故選：B.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念得到，進(jìn)而推得結(jié)果.【詳解】已知等差數(shù)列的公差為，即，當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，令得到，；反之，，為單調(diào)遞增.故“單調(diào)遞增”是“”的充要條件．故選：A.6．【正確答案】A【詳解】在基底下的坐標(biāo)為，在基底下的坐標(biāo)為．故選：A．7．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，同時(shí)與垂直，，且構(gòu)成右手系，即成立，A正確；對(duì)于B，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，則與共線，且方向相同，因此，C正確；對(duì)于D,，，因此，D正確．故選：B8．【正確答案】D【詳解】記拋物線的焦點(diǎn)為，則.記切點(diǎn)為，因?yàn)閳A的圓心為，所以，，所以，由對(duì)稱性，不妨設(shè)切點(diǎn)在第一象限，則直線AB的方程為.設(shè)Ax1,y1，B所以，所以.故選：D.9．【正確答案】AB【詳解】A選項(xiàng)，，由于，所以是遞增數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，，令得，所以，B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)，令得，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：AB10．【正確答案】ABC【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于A，，，設(shè)，故，，設(shè)直線與所成的角為，則，若直線與所成的角是，則，整理得到：，即，解得，故直線與所成的角不可能是，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A中分析可得，故，故，而，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，又，故到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，又B的分析可得，故，故，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，結(jié)合B的分析可得，此時(shí)，故，而，設(shè)此時(shí)平面的法向量為，則，即，取，得，又，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，故，故二面角的平面角的正弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

11．【正確答案】BD【詳解】選項(xiàng)A，設(shè)，則，平方整理得，即為點(diǎn)軌跡方程，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由軌跡方程知點(diǎn)軌跡是橢圓，，由于，橢圓的焦點(diǎn)是，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，此時(shí)面積為，B正確；選項(xiàng)C，由于，因此以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，因此不存在，使得，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，如圖，作，為垂足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取得最小值4，即的最小值為4，D正確．故選：BD.12．【正確答案】（答案不唯一）由點(diǎn)，可得，又向量在上的投影向量為，則則，又向量與向量不共線，則不成立則可令，即，故（答案不唯一）13．【正確答案】【詳解】設(shè)，則．故，則,且．故，則．故．14．【正確答案】8097【詳解】由題設(shè)可得，又，所以，所以，，即，所以為等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)為5，所以．故8097．15．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）寫出，求出，化簡(jiǎn)，最終得出結(jié)論；（2）求出，，求出公差，進(jìn)一步求出，根據(jù)求和公式得出.【詳解】（1）∵∴∴∴是等差數(shù)列；（2），公差又∵∴∴∴.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖：若直線的斜率不存在，則可取，因?yàn)?，可取，此時(shí).若直線的斜率為0，同理可得.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，用代替，得，則.所以.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，，所以，所?綜上，17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，應(yīng)用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數(shù)，再標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面與平面的法向量，進(jìn)而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.【詳解】（1）如下圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當(dāng)時(shí)，故、為、上的中點(diǎn)，所以，，，故，，若為平面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角正切值為.18．【正確答案】(1)證明見解析，(2)存在最大值，最大值為，此時(shí)或【分析】（1）證明出相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性以及最值可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)?，所以，又，所以，，所以是以首?xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，對(duì)于二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，因?yàn)?，?dāng)或時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在最大值，最大值為，此時(shí)或.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，則，

所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，，因?yàn)闉槔馍系狞c(diǎn)，設(shè)，其中，所以，，且，設(shè)平面的法向量