2024-2025學(xué)年山東省臨沭市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題1（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沭市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角形，數(shù)列，平面向量，復(fù)數(shù)，立體幾何，解析幾何（不含雙曲線和拋物線）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】因為，因此，.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出集合、，利用交集定義可求得集合.【詳解】因為，，因此，.故選：D.3.已知直線，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得，所以，“”是“”的充要條件.故選：A.4.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值符號的變化，分、兩種情況解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.因為，當(dāng)時，即時，，則或，此時，；當(dāng)時，即時，，則或，此時，.綜上所述，不等式的解集是.故選：B.5.在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點）．若，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)，其中，推導(dǎo)出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為在邊上（不包含端點），不妨設(shè)，其中，即，所以，，又因為，則，，其中、均為正數(shù)，且有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故則的最小值是.故選：A6.過點作圓的兩條切線，切點為、，若，則四邊形（為圓的圓心）的面積是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出圓心坐標和半徑，推導(dǎo)出，可得出，設(shè)，利用二倍角公式計算出的值，進而可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，，所以，，設(shè)，則，因為。易知為銳角，則，，所以，，因此，.故選：C.7.已知某正四面體玩具可以在棱長為6的正方體玩具盒（不考慮玩具盒的厚度）內(nèi)任意轉(zhuǎn)動（繞正四面體外接球的球心轉(zhuǎn)動，且為正方體的中心），則該正四面體玩具的表面積的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意可知，正四面體的棱長最大時，其外接球為正方體的內(nèi)切球，轉(zhuǎn)化為求正四面體的外接球的半徑，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)四面體的棱長為，外接球圓心為，半徑為，為底面三角形的外心，則，，由，得，解得，又該正四面體玩具可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正四面體外接球最大是正方體的內(nèi)切球，此時，解得，所以正四面體的表面積為故選：D8.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由參變量分離法可得出，其中，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，其中，令，其中，則，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，即，且當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因為，則，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，可得，故，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：B.結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在一個等邊三角形中，連接各邊的中點，得到四個小三角形，然后去掉中間的那個小三角形，這樣就剩下三個小的三角形，對剩下的小三角形不斷重復(fù)上述步驟，得到如圖所示的一系列三角形圖案，我們稱這一系列三角形圖案是謝爾賓斯基三角形．記經(jīng)過次操作后，剩余三角形的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得兩個數(shù)列的遞推關(guān)系可得，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和前項求和公式計算即可求解.【詳解】由題設(shè)每次操作，前一個圖形中的每一個黑色三角形均可以得到下一個圖形中的3個小黑色三角形，故，而，故為等比數(shù)列，故；所以故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.對任意的的最小正周期為B.存在，使得的圖象關(guān)于某條直線對稱C.對任意的是偶函數(shù)D.當(dāng)時，的最小值為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算和定義法證明奇偶性的應(yīng)用，依次判斷選項即可.【詳解】.A：當(dāng)時，函數(shù)的最小正周期均為，故A錯誤；B：當(dāng)時，，圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；C：，則，，得，所以為偶函數(shù)，故C正確；D：當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)和同時取到最小值，分別為和0，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.11.已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為，，且的圖象關(guān)于直線對稱，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】結(jié)合函數(shù)的對稱性、周期性以及利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)，通過已知條件找出和的周期性，再利用賦值對選項逐個判斷即可.【詳解】由，則①，又②，①②得③，則④，則④③可得，即，故是周期為的函數(shù)，則，由的圖象關(guān)于直線對稱，則⑤，由③，故可得，所以，故A正確；由⑤可得，即，由③可得，可得，故B錯誤；由②可得，又，則兩式相減可得，，則可得，即，故C正確；由，則，又，則，由，則，又，則，由，則，又，則，則由，則，由，則，則，則，由，則是周期為的函數(shù)，故，故選：AC.關(guān)鍵點睛：本題主要是研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的運算，本題的關(guān)鍵是以題中條件等式為橋梁，尋找fx,g三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知、是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，且，則________．【正確答案】【分析】利用橢圓的定義可求得.【詳解】在橢圓中，，因為、是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，由橢圓的定義可得，故.故答案為.13.已知，且，則的最大值是________．【正確答案】##【分析】由題意可得，結(jié)合兩角差的正切公式和基本不等式計算即可求解.【詳解】由，得tanβ=1所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為.故14.如圖，、是某水域的兩直線型岸邊，，是的角平分線，且．某養(yǎng)殖戶準備經(jīng)過點安裝一直線型隔離網(wǎng)（、分別在、上），圍成△養(yǎng)殖區(qū)．若、都不超過，則隔離網(wǎng)長度的取值范圍是________．【正確答案】【分析】設(shè)，，，利用結(jié)合三角形的面積公式可得出，由，，求出的取值范圍，可求出的取值范圍，利用余弦定理結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，即為所求.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，且，因為，即，可得，由題意可知，，，所以，，由，解得，所以，，令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，則，由余弦定理可得，故，因此，的長的取值范圍是.故答案.方法點睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求、的值；（2）求在上值域．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可出關(guān)于、的方程組，即可解得、的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，并求出端點函數(shù)值，即可得出函數(shù)在上的值域.【小問1詳解】因為，則，因為曲線在點處的切線方程為，則，所以，，解得.【小問2詳解】由（1）可得，則，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，又因為，，所以，當(dāng)時，，，因此，在上的值域為.16.設(shè)數(shù)列的前項和為，且當(dāng)時，．（1）求的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列，則，結(jié)合與的關(guān)系計算即可求解；（2）由（1）得當(dāng)為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)，，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式和裂項相消法計算即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，得①.當(dāng)時，，得，得，符合①式，所以數(shù)列是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列，故，所以.當(dāng)時，，又符合上式，所以.【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)為偶數(shù)，，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，△，△均為等邊三角形，．（1）證明：平面平面．（2）若點到平面的距離為，求四棱錐的體積．【正確答案】（1）證明見解析（2）16【分析】（1）如圖，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理的應(yīng)用和勾股定理的逆定理計算可得，結(jié)合線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解點面距建立關(guān)于的方程，再次利用空間向量法求出點到平面的距離，結(jié)合錐體的體積公式計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)，取的中點，連接，如圖，則，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，由，得，所以，解得，即，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，所以點到平面的距離為，解得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，所以點到平面的距離為，又平行四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為.18.已知橢圓的離心率是，且點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的動點，是△的內(nèi)心，求的最大值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點、，根據(jù)等面積法可得出，利用切線長定理結(jié)合橢圓的焦半徑公式可求得，然后利用兩點間的距離公式可求得的最大值.【小問1詳解】因為橢圓的離心率是，且點在橢圓上，則，解得，故橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)點、，則，又因為，由圖可知，，所以，即點，由橢圓的范圍可知，，又，則，所以，設(shè)圓分別切、、于點、、，則軸，由切線長定理可得，，，因為，又因為，所以，，可得，即點，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19.若存在一個數(shù)，使得函數(shù)定義域內(nèi)任意，都有，則稱有下界，是的一個下界．（1）求函數(shù)的下界的取值范圍；（2）判斷是否是下界為的函數(shù)，并說明理由；（3）若函數(shù)，是的一個整數(shù)下界，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）【正確答案】（1）（2）是，理由見解析（3）【分析】（1）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出的取值范圍；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)證明出，即可得出結(jié)論；（3）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最小值，求出最小值的范圍，即可得出整數(shù)的最大值.【小問1詳解】因為函數(shù)的定義域為，對任意的，，則，因為，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，所以，，因此，函數(shù)的下界的取值范圍為.【小問2詳解】