2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬調(diào)研試題1（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期高考數(shù)學(xué)模擬調(diào)研試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)的模為（

）A．13 B．12 C．5 D．2．已知命題，若是假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目測(cè)試是世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織對(duì)各國(guó)中學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力評(píng)價(jià)測(cè)試.從年開(kāi)始，每年進(jìn)行一次測(cè)試評(píng)估.在評(píng)估研究時(shí)將測(cè)試成績(jī)按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換成等級(jí)賦分，賦分范圍是至分，如圖是年的某地中學(xué)生參加閱讀測(cè)試后用賦分?jǐn)?shù)據(jù)繪制成的不完整頻率分布直方圖.據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下面說(shuō)法正確的是（

）A．該地學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)一定大于B．該地學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)介于至之間C．該地學(xué)生成績(jī)的極差介于至之間D．該地學(xué)生成績(jī)沒(méi)有超過(guò)分學(xué)生所占比例為5．已知直線和曲線，若點(diǎn)是曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的任意點(diǎn)，則點(diǎn)滿足（

）A． B．C． D．6．若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．7．正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，三棱臺(tái)的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線和，其中，且，則（

）A．與有相同的實(shí)軸 B．與有相同的焦距C．與有相同的漸近線 D．與有相同的離心率10．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小值為 D．的一個(gè)極大值為111．若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列滿足，則前項(xiàng)和.13．設(shè)銳角滿足，且，則.14．某玩具廠商準(zhǔn)備用一種八面體結(jié)構(gòu)的透明裝飾盒容納水晶球玩具，該八面體由兩個(gè)完全相同的底面為正方形的四棱錐去掉底面拼成（如圖），水晶球可看作半徑為的球體，為了節(jié)省成本，要求裝飾盒恰好能容納水晶球，則裝飾盒體積的最小值是.

四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，．(1)求角；(2)求面積的最大值．16．設(shè)，已知函數(shù).(1)當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，求切線的方程；(2)若函數(shù)的圖象總是在軸的下方，求的取值范圍.17．如圖，在五棱錐中，已知底面，，，，，.(1)證明：平面平面；(2)求側(cè)面與側(cè)面所成二面角的余弦值.18．黨的二十屆三中全會(huì)提出“健全新型舉國(guó)體制，提升國(guó)家創(chuàng)新體系整體效能”.為讓拔尖創(chuàng)新型人才脫穎而出，某地決定舉行中學(xué)生高科技知識(shí)挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名選手組成，每個(gè)選手只能參加一個(gè)階段的挑戰(zhàn)賽，每個(gè)階段分別設(shè)置了3個(gè)問(wèn)題；預(yù)賽階段至少完整答對(duì)1個(gè)問(wèn)題，該隊(duì)才能進(jìn)入決賽:決賽階段每完整答對(duì)1個(gè)問(wèn)題，該隊(duì)決賽成績(jī)記3分，否則記0分，未進(jìn)入決賽的參賽隊(duì)決賽成績(jī)記0分.已知華夏隊(duì)的兩名選手每次完整答對(duì)1個(gè)問(wèn)題的概率為，每次回答是獨(dú)立的，表示華夏隊(duì)的決賽總成績(jī).(1)當(dāng)時(shí)，若選手參加預(yù)賽，求；(2)當(dāng)最大時(shí)，決賽階段應(yīng)由哪個(gè)選手參加?(3)當(dāng)最大時(shí)，決賽階段應(yīng)由哪個(gè)選手參加?19．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且的最小值為.分別過(guò)兩點(diǎn)作該拋物線的切線，交于點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交拋物線于兩點(diǎn)，分別記的面積為，，求出的取值范圍；(3)分別以與為直徑作圓，記兩圓交點(diǎn)為，以為直徑作圓，求該圓的面積取值范圍.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所?故選：A2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭羌倜}，則命題為真命題，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B.3．【正確答案】B【詳解】，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，則.故選：B.4．【正確答案】C【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，分?jǐn)?shù)在40,50的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，分?jǐn)?shù)在的頻率為，由圖知，，所以，所以中位數(shù)在間，但不一定大，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由眾數(shù)的定義知，眾數(shù)是成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的，所以眾數(shù)不一定介于至之間，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由極差的定義知，學(xué)生成績(jī)的極差介于至之間，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A知，學(xué)生成績(jī)沒(méi)有超過(guò)分學(xué)生所占比例為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.5．【正確答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，又點(diǎn)在曲線上，所以，所以.故選：D6．【正確答案】C【詳解】由可得，由，可得，解得，令，，則，，所以，函數(shù)、的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)殛P(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)、在上的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，，可得.故選：C.7．【正確答案】D【詳解】過(guò)作面于，交面于，連接，正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，所以三棱錐為正三棱錐，又因?yàn)?，則，所以，又的面積為，所以，則，解得，所以，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則，解得，又三棱錐為正三棱錐，所以是的中心，又易知邊上的高線長(zhǎng)為，所以，又面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，則，故選：D.8．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，，由，則有，則有，解得，有，又，所以，得．故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，雙曲線的實(shí)軸在軸上，雙曲線的實(shí)軸在軸上，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)殡p曲線和的焦距均為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10．【正確答案】AC【詳解】，得或，的變化情況如下表，單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取極小值，也是最小值，無(wú)極大值，，，，所以函數(shù)也不關(guān)于對(duì)稱，所以正確的只有AC.故選：AC11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，由，得，，則，B正確；對(duì)于C，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，對(duì)勾函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，D正確.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】等差數(shù)列滿足，所以,計(jì)算得，所以，則前項(xiàng)和.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由條件可知，，兩邊同時(shí)除以，得，且，即，解得：或且，所以，所以，所以.故14．【正確答案】【詳解】畫(huà)出大致模型如圖：

因?yàn)檠b飾盒恰好能容納水晶球，所以球恰好為八面體的內(nèi)切球，取，的中點(diǎn)，，畫(huà)出截面圖，

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由面積相等可得，又，所以，所以八面體的體積為，令，，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).故答案為.15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，得，即，在中，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以面積的最大值是.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，則，解得，則，又，所以切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即.（2）由題意知，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，設(shè)，此時(shí)，所以，即為減函數(shù)，而，要使函數(shù)的圖象總是在軸的下方，必須，即，所以，所以，即的取值范圍是．17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，，由得，即，即，所以，因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)椋?、平面，所以平面，又，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、A0,0,0，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,取，可得，，，設(shè)平面的法向量為n=x2,取，可得，所以，由題意可判斷側(cè)面與側(cè)面所成二面角為鈍二面角，故側(cè)面與側(cè)面所成二面角的余弦值為．18．【正確答案】(1)0.819(2)選手參加(3)選手參加【詳解】（1）由題意選手至少完整答對(duì)了1個(gè)問(wèn)題，在決賽階段選手也至少完整答對(duì)了1個(gè)問(wèn)題，故所求概率；（2）若選手參加預(yù)賽，則，若選手參加預(yù)賽，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故預(yù)賽階段應(yīng)由選手參加，B參加決賽；（3）若選手參加預(yù)賽，則的所有可能取值為，則，，所以，若選手參加預(yù)賽，同理可得，則，因?yàn)?，所以，故預(yù)賽階段應(yīng)由選手參加，B參加決賽.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）分別記的坐標(biāo)為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程有，則有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，解得，所以拋物線方程為.（2）分別設(shè)拋物線在兩點(diǎn)處的切線為，對(duì)該二次函數(shù)求導(dǎo)有，所以，也即，也即．同理，處切線，也即，設(shè)點(diǎn)，則有，所以直線為，也即，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，所以解得，所以，所以的軌跡為準(zhǔn)線，聯(lián)立直線與拋物線有，所以，過(guò)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，則有，則有，所以的面積，同