2025年滬科版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第02講 無理數(shù)和實數(shù)

第02講無理數(shù)和實數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．無理數(shù)的概念，知道實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的；2．會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；3．掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內(nèi)為主)；能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題，知道有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。知識點1無理數(shù)1.無理數(shù)（1）定義無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如,,π等.（2）常見的無理數(shù)①所有開方開不盡的方根，如.②化簡后含有π的數(shù)，如-4·③無限不循環(huán)小數(shù)，如0.120030210….（3）無理數(shù)的小數(shù)部分的表示無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此其小數(shù)部分是不可能全部寫出來的.我們知道，的整數(shù)部分是1.因此，的小數(shù)部分就是-1.即一個無理數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，如π的整數(shù)部分是3.小數(shù)部分是π-3.注意：(1)無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù).(2)某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號的數(shù)卻并不都是無理數(shù).知識點2實數(shù)2.實數(shù)的定義與分類（1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).（2）分類(1)按定義分類(2)按正負分類3.實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有一個唯一確定的點與之對應(yīng).但是，數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，有理數(shù)、無理數(shù)合在一起，才能填滿整個數(shù)軸，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來.數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).4.實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（1）相反數(shù)：實數(shù)的相反數(shù)是-.具體地，若與互為相反數(shù)、則+=0;反之，若+=0,則與互為相反數(shù)、（2）倒數(shù)：實數(shù)的倒數(shù)為,若與互為倒數(shù)，則=1；若=1,則與互為倒數(shù).（3）絕對值①一個正實數(shù)的絕對值等于它本身；一個負實數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值等于0.②已知實數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為,,則有,分別表示點,點到原點的距離；表示點到點的距離.這正是絕對值的幾何意義.（4）平方根：非負數(shù)都有平方根.（5）立方根：任意實數(shù)都有一個立方根.5.實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算法則當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算，在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等同樣適用.（2）實數(shù)的運算順序?qū)崝?shù)的混合運算順序與有理數(shù)的混合運算順序基本相同，先算乘方(開方),再算乘除，最后算加減；同級運算按從左到右的順序進行，有括號的先算括號里面的.（3）實數(shù)的近似計算在實數(shù)運算中，當(dāng)遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算.6.實數(shù)中的非負數(shù)及其性質(zhì)（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：①任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即.②任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)。即.③任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即.（2）非負數(shù)的性質(zhì)①在數(shù)軸上原點和原點右邊的點表示的數(shù)是非負數(shù).②最小的非負數(shù)是0,沒有最大的非負數(shù).③非負數(shù)大于一切負數(shù).④若干個非負數(shù)的和、積、商(除數(shù)不為0)仍是非負數(shù).⑤如果若干個非負數(shù)的和為0,那么這若干個非負數(shù)都必為零.即若且+b+c=0,則必有=b=c=0.考點01：無理數(shù)例1．（23-24七年級下·陜西安康·期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里．，，0，，，，，．(1)正整數(shù)集合：{_________________________________…}；(2)分數(shù)集合：{_________________________________…}；(3)無理數(shù)集合：{_________________________________…}．【變式1-1】在下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A．0 B． C． D．【變式1-2】下列四個實數(shù)中，是無理數(shù)的為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2023·寧夏銀川·三模）下列實數(shù)：①，②，③，④，⑤，其中無理數(shù)有個．考點02：實數(shù)的概念理解例2．判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)．（

）(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)．（

）(3)無限小數(shù)都是無理數(shù)．（

）(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù)．（

）(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)．（

）(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．（

）(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．（

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù)．（

）【變式2-1】實數(shù)的相反數(shù)是（

）A．3 B． C． D．【變式2-2】（2023·廣東梅州·二模）已知實數(shù)，則實數(shù)的倒數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2-3】下列說法正確的有．①實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；②是有理數(shù)；③不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；④是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任一點都對應(yīng)一個有理數(shù)；⑥的相反數(shù)是．考點03：實數(shù)的分類例3．關(guān)于實數(shù)和，下列判斷中，正確的是（

）A．都不是分數(shù) B．都是分數(shù)C．是分數(shù)，不是分數(shù) D．不是分數(shù)，是分數(shù)【變式3-1】（23-24七年級下·貴州安順·期中）下列說法不正確的是（）A．無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù) B．實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)C．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù) D．實數(shù)是由正實數(shù)和負實數(shù)組成【變式3-2】（23-24七年級下·廣東東莞·期中）下列說法中正確的個數(shù)是（

）①無限小數(shù)都是無理數(shù)；②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；③數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是實數(shù)；④有理數(shù)都是有限小數(shù)；⑤實數(shù)分為正實數(shù)，0，負實數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-3】（23-24七年級下·上海楊浦·期中）下列說法正確的是（）A．無理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)B．一個數(shù)的算術(shù)平方根不比這個數(shù)大C．實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)D．?dāng)?shù)軸上的點和有理數(shù)一一對應(yīng)考點04：實數(shù)的性質(zhì)例4．的相反數(shù)是，的絕對值是【變式4-1】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（

）A．131和 B．和 C．和 D．和【變式4-2】如果一個實數(shù)的平方等于它本身，那么這樣的實數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【變式4-3】（23-24七年級下·四川廣元·期末）在數(shù)，0，和中，絕對值等于它本身的共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點05：實數(shù)大小的比較例5．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）比較與的大小，其結(jié)果是MN．（填“>”，“<”或“=”）【變式5-1】比較大?。海ㄓ谩啊?、“”或“”表示）．【變式5-2】比較大?。海咀兪?-3】（23-24七年級下·廣東肇慶·期中）比較大?。?．（填“”、“”、“”）考點06：無理數(shù)大小的估算例6．估計的值在（

）A．到之間 B．到之間 C．到之間 D．到之間【變式6-1】（24-25八年級上·重慶·期中）估算的值在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式6-2】（24-25七年級上·浙江溫州·期末）已知，則實數(shù)在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【變式6-3】（24-25八年級上·海南·期中）若，則估計的值所在的范圍是（

）A． B． C． D．考點07：實數(shù)的混合運算例7．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）計算：．【變式7-1】（24-25七年級上·浙江溫州·期中）計算：(1)；(2)．【變式7-2】計算：．【變式7-3】計算：考點08：程序設(shè)計與實數(shù)運算例8．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的值為時，輸入的值為；（2）若輸入有效的值后，始終輸不出值，所有滿足要求的的值為．【變式8-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值是64，則輸出的值是．【變式8-2】有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為256時，輸出的y是．【變式8-3】（23-24七年級下·四川南充·期中）下面是一個簡單的數(shù)值運算程序：當(dāng)輸入x的值是時，輸出的結(jié)果是考點09：新定義下的實數(shù)運算例9．我們把對非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即當(dāng)為非負整數(shù)時，若，則．例如下列結(jié)論中：①；②當(dāng)為非負整數(shù)時，；③滿足的非負實數(shù)只有兩個．其中結(jié)論正確的是．（填序號）【變式9-1】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）設(shè)都是有理數(shù)，規(guī)定，，則．【變式9-2】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對放入其中時，會得到一個新的數(shù)：．例如把放入其中，就會得到．現(xiàn)在將數(shù)對放入其中得到數(shù)m，再將數(shù)對放入其中后，得到的數(shù)是．【變式9-3】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）對于兩個有理數(shù)a、b，我們對運算“”作出如下定義：(1)計算：；(2)若，求的值．一、單選題1．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期中）在，，，，，，，中，無理數(shù)的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·山東青島·中考真題）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，這四個實數(shù)中絕對值最小的是（

）A．a(chǎn) B．b C．c D．d3．（23-24七年級下·山西大同·期中）無理數(shù)的小數(shù)部分是（

）A． B．5 C． D．4．（23-24七年級下·湖北恩施·期中）如圖所示，數(shù)軸上表示2，的對應(yīng)點分別為，，點是的中點，則點表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（23-24七年級下·湖南永州·期末）比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?．（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）已知a是的小數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則的平方根是．7．（23-24七年級下·重慶開州·期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如圖：當(dāng)輸入x的值為81時，輸出y的值是．三、解答題8．（23-24七年級下·重慶九龍坡·期末）計算下列各題(1)(2)9．（22-23七年級下·貴州遵義·期中）數(shù)軸上點A表示，點A關(guān)于原點的對稱點為B，設(shè)點B所表示的數(shù)為x，(1)求x的值；(2)求的值．10．（23-24七年級下·福建龍巖·期中）已知的平方根是，的立方根是，c是的整數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．

第02講無理數(shù)和實數(shù)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．無理數(shù)的概念，知道實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的；2．會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；3．掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內(nèi)為主)；能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題，知道有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。知識點1無理數(shù)1.無理數(shù)（1）定義無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如,,π等.（2）常見的無理數(shù)①所有開方開不盡的方根，如.②化簡后含有π的數(shù)，如-4·③無限不循環(huán)小數(shù)，如0.120030210….（3）無理數(shù)的小數(shù)部分的表示無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此其小數(shù)部分是不可能全部寫出來的.我們知道，的整數(shù)部分是1.因此，的小數(shù)部分就是-1.即一個無理數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，如π的整數(shù)部分是3.小數(shù)部分是π-3.注意：(1)無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù).(2)某些數(shù)的平方根或立方根是無理數(shù)，但帶根號的數(shù)卻并不都是無理數(shù).知識點2實數(shù)2.實數(shù)的定義與分類（1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).（2）分類(1)按定義分類(2)按正負分類3.實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有一個唯一確定的點與之對應(yīng).但是，數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)，有理數(shù)、無理數(shù)合在一起，才能填滿整個數(shù)軸，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來.數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).4.實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（1）相反數(shù)：實數(shù)的相反數(shù)是-.具體地，若與互為相反數(shù)、則+=0;反之，若+=0,則與互為相反數(shù)、（2）倒數(shù)：實數(shù)的倒數(shù)為,若與互為倒數(shù)，則=1；若=1,則與互為倒數(shù).（3）絕對值①一個正實數(shù)的絕對值等于它本身；一個負實數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值等于0.②已知實數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為,,則有,分別表示點,點到原點的距離；表示點到點的距離.這正是絕對值的幾何意義.（4）平方根：非負數(shù)都有平方根.（5）立方根：任意實數(shù)都有一個立方根.5.實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算法則當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算，在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等同樣適用.（2）實數(shù)的運算順序?qū)崝?shù)的混合運算順序與有理數(shù)的混合運算順序基本相同，先算乘方(開方),再算乘除，最后算加減；同級運算按從左到右的順序進行，有括號的先算括號里面的.（3）實數(shù)的近似計算在實數(shù)運算中，當(dāng)遇到無理數(shù)并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算.6.實數(shù)中的非負數(shù)及其性質(zhì)（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：①任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即.②任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)。即.③任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即.（2）非負數(shù)的性質(zhì)①在數(shù)軸上原點和原點右邊的點表示的數(shù)是非負數(shù).②最小的非負數(shù)是0,沒有最大的非負數(shù).③非負數(shù)大于一切負數(shù).④若干個非負數(shù)的和、積、商(除數(shù)不為0)仍是非負數(shù).⑤如果若干個非負數(shù)的和為0,那么這若干個非負數(shù)都必為零.即若且+b+c=0,則必有=b=c=0.考點01：無理數(shù)例1．（23-24七年級下·陜西安康·期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里．，，0，，，，，．(1)正整數(shù)集合：{_________________________________…}；(2)分數(shù)集合：{_________________________________…}；(3)無理數(shù)集合：{_________________________________…}．【答案】(1)(2)，，，(3)【解析】（1）解：，，則正整數(shù)集合：{……}，故答案為：；（2）解：分數(shù)集合：{，，，……}；故答案為：{，，，；（3）解：無理數(shù)集合：{

……}，故答案為：．【變式1-1】在下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】解：0是整數(shù)，是分數(shù)，是整數(shù)，都屬于有理數(shù)；是無理數(shù)；故選：B．【變式1-2】下列四個實數(shù)中，是無理數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、是有理數(shù)，故不符合題意；B、是無理數(shù)，故符合題意；C、是有理數(shù)，故不符合題意；D、是有理數(shù)，故不符合題意；故選：．【變式1-3】（2023·寧夏銀川·三模）下列實數(shù)：①，②，③，④，⑤，其中無理數(shù)有個．【答案】【解析】解：①是分數(shù)，是有理數(shù)；②是無理數(shù)；③開方開不盡，是無理數(shù)；④是整數(shù)，是有理數(shù)；⑤是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)；綜上，無理數(shù)有個，故答案為：．考點02：實數(shù)的概念理解例2．判斷正誤，在后面的括號里對的填寫“正確”，錯的填寫“錯誤”，并說明理由．(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)．（

）(2)無理數(shù)都是無限小數(shù)．（

）(3)無限小數(shù)都是無理數(shù)．（

）(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù)．（

）(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)．（

）(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．（

）(7)有理數(shù)都是有限小數(shù)．（

(8)實數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù)．（

）【答案】(1)錯誤，理由見解析(2)正確，理由見解析(3)錯誤，理由見解析(4)錯誤，理由見解析(5)錯誤，理由見解析(6)錯誤，理由見解析(7)錯誤，理由見解析(8)正確，理由見解析【解析】（1）（錯誤）無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有，1.020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù)；故答案為：錯誤；（2）（正確）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)；故答案為：正確；（3）（錯誤）無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù)；故答案為：錯誤；（4）（錯誤）0是有理數(shù)；故答案為：錯誤；（5）（錯誤）如，雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù)；故答案為：錯誤；（6）（錯誤）如，雖然帶根號，但，這是有理數(shù)；故答案為：錯誤；（7）（錯誤）有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù)；故答案為：錯誤；（8）（正確）有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)可以用有限小數(shù)和無限小數(shù)表示；故答案為：正確．【變式2-1】實數(shù)的相反數(shù)是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】解：實數(shù)3的相反數(shù)是．故選：B．【變式2-2】（2023·廣東梅州·二模）已知實數(shù)，則實數(shù)的倒數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，2024的倒數(shù)為，故選：B．【變式2-3】下列說法正確的有．①實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)；②是有理數(shù)；③不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；④是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任一點都對應(yīng)一個有理數(shù)；⑥的相反數(shù)是．【答案】①⑥【解析】解：實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)，描述正確，故①符合題意；是無理數(shù)，故②不符合題意；不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)，描述錯誤，如，故③不符合題意；是無理數(shù)；故④不符合題意；數(shù)軸上任一點都對應(yīng)一個實數(shù)，故⑤不符合題意；的相反數(shù)是，故⑥符合題意；故答案為：①⑥．考點03：實數(shù)的分類例3．關(guān)于實數(shù)和，下列判斷中，正確的是（

）A．都不是分數(shù) B．都是分數(shù)C．是分數(shù)，不是分數(shù) D．不是分數(shù)，是分數(shù)【答案】C【解析】是分數(shù)，是有理數(shù)，是無理數(shù)，不是分數(shù)，故選：C．【變式3-1】（23-24七年級下·貴州安順·期中）下列說法不正確的是（）A．無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù) B．實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)C．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù) D．實數(shù)是由正實數(shù)和負實數(shù)組成【答案】D【解析】解：．無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，說法正確，故該選項不符合題意；．實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，說法正確，故該選項不符合題意；．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，說法正確，故該選項不符合題意；．實數(shù)是由正實數(shù)、零和負實數(shù)組成，原說法錯誤，故該選項符合題意；故選：D．【變式3-2】（23-24七年級下·廣東東莞·期中）下列說法中正確的個數(shù)是（

）①無限小數(shù)都是無理數(shù)；②帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；③數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是實數(shù)；④有理數(shù)都是有限小數(shù)；⑤實數(shù)分為正實數(shù)，0，負實數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：①無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故此選項錯誤；②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，故此選項錯誤；③數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是實數(shù)，正確；④有理數(shù)都是有限小數(shù)，錯誤；⑤實數(shù)分為正實數(shù)，0，負實數(shù)，正確．故選：B．【變式3-3】（23-24七年級下·上海楊浦·期中）下列說法正確的是（）A．無理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)B．一個數(shù)的算術(shù)平方根不比這個數(shù)大C．實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)D．?dāng)?shù)軸上的點和有理數(shù)一一對應(yīng)【答案】C【解析】解：A．無理數(shù)與無理數(shù)的和不一定還是無理數(shù)，有可能是有理數(shù)，，0是有理數(shù)，故此選項不符合題意；B．一個數(shù)的算術(shù)平方根有可能比這個數(shù)大，例如的算術(shù)平方根是，，故此選項不符合題意；C．實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)，此說法正確，故此選項符合題意；D．?dāng)?shù)軸上的點和實數(shù)一一對應(yīng)，故此選項不符合題意．故選：C．考點04：實數(shù)的性質(zhì)例4．的相反數(shù)是，的絕對值是【答案】2【解析】解：的相反數(shù)是，的絕對值是故答案為：；．【變式4-1】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（

）A．131和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】解：A、131和不互為相反數(shù)，不符合題意；B、和互為相反數(shù)，符合題意；C、和不互為相反數(shù)，不符合題意；D、和不互為相反數(shù)，不符合題意；故選：B．【變式4-2】如果一個實數(shù)的平方等于它本身，那么這樣的實數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】B【解析】解：∵，，∴平方等于它本身，那么這樣的實數(shù)有0和1，共計2個．故選：B．【變式4-3】（23-24七年級下·四川廣元·期末）在數(shù)，0，和中，絕對值等于它本身的共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：，絕對值不等于它本身，絕對值等于它本身，，絕對值不等于它本身，絕對值等于它本身絕對值等于它本身的共有2個；故選：B．考點05：實數(shù)大小的比較例5．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）比較與的大小，其結(jié)果是MN．（填“>”，“<”或“=”）【答案】【解析】解：，，∴，故答案為：．【變式5-1】比較大?。海ㄓ谩啊?、“”或“”表示）．【答案】【解析】解：∵，，∴，∴，故答案為：．【變式5-2】比較大小：．【答案】【解析】解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．【變式5-3】（23-24七年級下·廣東肇慶·期中）比較大小：3．（填“”、“”、“”）【答案】【解析】解：∵，∴，∴．故答案為：．考點06：無理數(shù)大小的估算例6．估計的值在（

）A．到之間 B．到之間 C．到之間 D．到之間【答案】C【解析】解：∵，∴，∴．故選：C．【變式6-1】（24-25八年級上·重慶·期中）估算的值在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴，故選：A．【變式6-2】（24-25七年級上·浙江溫州·期末）已知，則實數(shù)在（

）A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間【答案】C【解析】解：，∵，∴．故選：C．【變式6-3】（24-25八年級上·海南·期中）若，則估計的值所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，即．故選D．考點07：實數(shù)的混合運算例7．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）計算：．【答案】【解析】【變式7-1】（24-25七年級上·浙江溫州·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：．（2）解：．【變式7-2】計算：．【答案】2【解析】解：．【變式7-3】計算：【答案】7【解析】解：．考點08：程序設(shè)計與實數(shù)運算例8．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的值為時，輸入的值為；（2）若輸入有效的值后，始終輸不出值，所有滿足要求的的值為．【答案】1000或1【解析】解：（1）當(dāng)時，，，則；故答案為：100；（2）當(dāng)，1時，始終輸不出值，，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，所有滿足要求的的值為0或1．故答案為：0或1．【變式8-1】按如圖所示的程序計算，若開始輸入的值是64，則輸出的值是．【答案】【解析】解：由題可得：64的立方根為4，4的算術(shù)平方根為2，2的立方根是；故答案為．【變式8-2】有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，其原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為256時，輸出的y是．【答案】【解析】解：∵，，，4為有理數(shù)，∴把4輸入，4的平方根是，，2的算術(shù)平方根為，是無理數(shù)，∴輸出的y是．故答案為：．【變式8-3】（23-24七年級下·四川南充·期中）下面是一個簡單的數(shù)值運算程序：當(dāng)輸入x的值是時，輸出的結(jié)果是【答案】【解析】解：由題意得，，故答案為：．考點09：新定義下的實數(shù)運算例9．我們把對非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即當(dāng)為非負整數(shù)時，若，則．例如下列結(jié)論中：①；②當(dāng)為非負整數(shù)時，；③滿足的非負實數(shù)只有兩個．其中結(jié)論正確的是．（填序號）【答案】②③【解析】解：①當(dāng)時，，而，左邊右邊，故①不成立；②注意到都是非負數(shù)，令左邊，則，∴，∴，移項得左邊，即左邊=左邊，②式成立．③令，則，又因為，故，所以將代入式中，得，，解得：，又由于知為整數(shù)，得或1（非負整數(shù)），所以的非負實數(shù)只有兩個．故③式成立．故答案為：②③．【變式9-1】（24-25七年級上·浙江杭州·期中）設(shè)都是有理數(shù)，規(guī)定，，則．【答案】【解析】由題意可知，，，故答案為：．【變式9-2】（24-25七年級上·江蘇無錫·期中）數(shù)學(xué)家發(fā)明了一個魔術(shù)盒，當(dāng)任意數(shù)對放入其中時，會得到一個新的數(shù)：．例如把放入其中，就會得到．現(xiàn)在將數(shù)對放入其中得到數(shù)m，再將數(shù)對放入其中后，得到的數(shù)是．【答案】2【解析】解：根據(jù)題