2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第04講 一元一次不等式

第04講一元一次不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；2．能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題；知識(shí)點(diǎn)1一元一次不等式的概念一元一次不等式的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是I的不等式，叫做一元一次不等式，如.注意：一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)是1.它與一元一次方程的區(qū)別在于一元一次方程是等式，而它是不等式.知識(shí)點(diǎn)2一元一次不等式的解法1.解一元一次不等式，要根據(jù)不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化為或的形式.2.解一元一次不等式的一般步驟(1)去分母：不等式中有分母的要通過不等式兩邊每一項(xiàng)都乘分母的最小公倍數(shù)去分母.(2)去括號(hào)：不等式中有括號(hào)的要按照有理數(shù)中去括號(hào)的法則去括號(hào)，在去括號(hào)的過程中要注意符號(hào)的變化.(3)移項(xiàng)：就是將不等式右邊含未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后移到左邊來，將左邊的常數(shù)項(xiàng)變號(hào)后移到右邊去.(4)合并同類項(xiàng)：就是整理成ax≥6或ax≤b的形式.(5)系數(shù)化為1:就是兩邊都除以a將不等式化為x≥或x≤6的形式.這一過程要根據(jù)a的符號(hào)決定不等號(hào)的方向是否改變.①a.當(dāng)時(shí)，;b.當(dāng)時(shí)，;c.當(dāng),時(shí)，無解；d.當(dāng),時(shí)，為任意實(shí)數(shù).②a.當(dāng)時(shí)，;b.當(dāng)時(shí)，；c.當(dāng),時(shí)，無解；d.當(dāng),時(shí)，為任意實(shí)數(shù).注意：(1)去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng).(2)移項(xiàng)時(shí)，注意改變所移項(xiàng)的符號(hào)，但不等號(hào)的方向不變.(3)系數(shù)化為1時(shí)，要注意不等號(hào)方向是否需要改變.知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用列一元一次不等式解實(shí)際問題與列一元一次方程解實(shí)際問題基本相仿，步驟都是：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。關(guān)鍵是找出不等關(guān)系，列出不等式，然后求解.求出解集后注意解要滿足題目要求和實(shí)際意義.考點(diǎn)01：一元一次不等式的定義例題1．（22-23七年級(jí)下·重慶萬州·期中）已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·河南許昌·期末）若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為（

）A．0 B． C． D．1【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（

）個(gè)（1）；（2）；（3）；（4）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】已知不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，則．考點(diǎn)02：求一元一次不等式的解集例題2．（22-23七年級(jí)下·四川瀘州·期末）解不等式：【變式2-1】當(dāng)時(shí)，式子的值不是負(fù)數(shù)．【變式2-2】解不等式：【變式2-3】解不等式：．考點(diǎn)03：求一元一次不等式的整數(shù)解例題3.求滿足不等式的正整數(shù)有．【變式3-1】不等式的非負(fù)整數(shù)解為．【變式3-2】不等式的最小整數(shù)解是．【變式3-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求m的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最小整數(shù)解，m的值．考點(diǎn)04：求一元一次不等式解的最值例題4．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的最小值為．【變式4-1】一元一次不等式的最大整數(shù)解為；【變式4-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）關(guān)于的不等式的最小整數(shù)解為，則的值為．【變式4-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．考點(diǎn)05：在數(shù)軸上表示不等式的解集例題5．解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【變式5-1】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期中）不等式在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D．【變式5-2】（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期中）已知x是整數(shù)，并且，在數(shù)軸上表示x可能取的所有數(shù)．【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）解不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．考點(diǎn)06：用一元一次不等式解決實(shí)際問題例題6．（22-23七年級(jí)下·山東東營·期中）某校長暑假帶領(lǐng)該?！叭脤W(xué)生”去旅游，甲旅行社說：“若校長買全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)都6折優(yōu)惠．”若全票價(jià)是120元，則∶(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)，乙旅行社收費(fèi)，分別寫出兩家旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)的關(guān)系式．(2)就學(xué)生人數(shù)，分類討論哪家旅行社更優(yōu)惠．【變式6-1】某次國學(xué)知識(shí)競賽初賽共20道題（滿分100分），評分辦法是：答對1道題得5分，答錯(cuò)或不答倒扣2分．選手要得到70分以上（含70分），至少需要答對（

）A．16題 B．15題 C．14題 D．17題【變式6-2】（24-25七年級(jí)上·云南文山·期中）某次知識(shí)競賽共道題，每一題答對得分，答錯(cuò)或不答都扣分，小明得分要超過分．設(shè)他答對了道題，則根據(jù)題意可列不等式．【變式6-3】某出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)5元（即行駛距離不超過3千米都需要付5元車費(fèi)），超過3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)29元，設(shè)此人從甲地到乙地的路程為x千米，則x的最大值是．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·廣西百色·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．B．C．D．3．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）5月27日，懷寧縣舉辦科技活動(dòng)周暨“全國科技工作者日”系列活動(dòng)啟動(dòng)儀式．活動(dòng)期間，懷寧縣將舉辦科學(xué)家精神進(jìn)校園、科普研學(xué)、科普講座等一系列活動(dòng)，讓科技創(chuàng)新的成果惠及千家萬戶，讓科學(xué)精神在人民群眾中生根發(fā)芽．某校開展了科技知識(shí)競賽活動(dòng)，共有20道選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)答案正確，選對得5分，不選或錯(cuò)選倒扣2分，如果得分不低于80分才能得獎(jiǎng)，那么要得獎(jiǎng)至少應(yīng)選對的題數(shù)是（

）A．16 B．17 C．18 D．194．（23-24七年級(jí)下·河北保定·期末）對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算:．例如．請根據(jù)上述的定義解決問題：若不等式，則該不等式的解集是（

）A． B． C． D．都不對二、填空題5．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）不符式的解集為．6．（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）在某課外知識(shí)競賽中，一共有30道判斷題，答對一題得4分，答錯(cuò)或不答一題扣1分．如果在這次競賽中得分要超過80分，那么至少應(yīng)答對道題目．7．（23-24七年級(jí)下·廣東汕頭·期末）已知關(guān)于的不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則a的值是．三、解答題8．（23-24七年級(jí)下·安徽阜陽·期末）解不等式：．9．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）解不等式：，并把解集表示在數(shù)軸上．10．（23-24七年級(jí)下·廣西河池·期末）2023年6月，自治區(qū)生態(tài)環(huán)境廳發(fā)布《2022年廣西壯族自治區(qū)生態(tài)環(huán)境公報(bào)》，文件顯示，廣西生態(tài)環(huán)境質(zhì)量持續(xù)改善，排名保持在國家前列．進(jìn)一步加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，我市公交公司計(jì)劃購買A型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車．若購買A型公交車1輛，型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，型公交車1輛，共需350萬元．(1)求購買A型和型公交車每輛各需多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃購買A型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，且購買A型和型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元，那么至少需要購買A型公交車多少輛？

第04講一元一次不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；2．能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題；知識(shí)點(diǎn)1一元一次不等式的概念一元一次不等式的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是I的不等式，叫做一元一次不等式，如.注意：一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)是1.它與一元一次方程的區(qū)別在于一元一次方程是等式，而它是不等式.知識(shí)點(diǎn)2一元一次不等式的解法1.解一元一次不等式，要根據(jù)不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化為或的形式.2.解一元一次不等式的一般步驟(1)去分母：不等式中有分母的要通過不等式兩邊每一項(xiàng)都乘分母的最小公倍數(shù)去分母.(2)去括號(hào)：不等式中有括號(hào)的要按照有理數(shù)中去括號(hào)的法則去括號(hào)，在去括號(hào)的過程中要注意符號(hào)的變化.(3)移項(xiàng)：就是將不等式右邊含未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后移到左邊來，將左邊的常數(shù)項(xiàng)變號(hào)后移到右邊去.(4)合并同類項(xiàng)：就是整理成ax≥6或ax≤b的形式.(5)系數(shù)化為1:就是兩邊都除以a將不等式化為x≥或x≤6的形式.這一過程要根據(jù)a的符號(hào)決定不等號(hào)的方向是否改變.①a.當(dāng)時(shí)，;b.當(dāng)時(shí)，;c.當(dāng),時(shí)，無解；d.當(dāng),時(shí)，為任意實(shí)數(shù).②a.當(dāng)時(shí)，;b.當(dāng)時(shí)，；c.當(dāng),時(shí)，無解；d.當(dāng),時(shí)，為任意實(shí)數(shù).注意：(1)去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng).(2)移項(xiàng)時(shí)，注意改變所移項(xiàng)的符號(hào)，但不等號(hào)的方向不變.(3)系數(shù)化為1時(shí)，要注意不等號(hào)方向是否需要改變.知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用列一元一次不等式解實(shí)際問題與列一元一次方程解實(shí)際問題基本相仿，步驟都是：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。關(guān)鍵是找出不等關(guān)系，列出不等式，然后求解.求出解集后注意解要滿足題目要求和實(shí)際意義.考點(diǎn)01：一元一次不等式的定義例題1．（22-23七年級(jí)下·重慶萬州·期中）已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．【答案】【解析】解：由題意得，且，∴，故答案為：．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·河南許昌·期末）若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【解析】解：∵是關(guān)于x的一元一次不等式，∴且，∴．故選D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（

）個(gè)（1）；（2）；（3）；（4）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：（1），（2），符合定義，（3）不等號(hào)左邊不是整式，不符合定義，（4）去括號(hào)后是，最高次數(shù)是2，不符合定義，故選：B．【變式1-3】已知不等式是關(guān)于x的一元一次不等式，則．【答案】【解析】解：由題意得：，，解得：，故答案為：．考點(diǎn)02：求一元一次不等式的解集例題2．（22-23七年級(jí)下·四川瀘州·期末）解不等式：【答案】【解析】解：．【變式2-1】當(dāng)時(shí)，式子的值不是負(fù)數(shù)．【答案】【解析】解：式子的值不是負(fù)數(shù)，，解得，故答案為：．【變式2-2】解不等式：【答案】【解析】解：去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得．【變式2-3】解不等式：．【答案】【解析】解：兩邊同時(shí)乘以12得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化成1得：．考點(diǎn)03：求一元一次不等式的整數(shù)解例題3.求滿足不等式的正整數(shù)有．【答案】，，【解析】解：∵，∴，∴滿足不等式的正整數(shù)有，，，故答案為：，，．【變式3-1】不等式的非負(fù)整數(shù)解為．【答案】0，1，2【解析】解：移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，故答案為：0，1，2．【變式3-2】不等式的最小整數(shù)解是．【答案】1【解析】解：，∴不等式的最小整數(shù)解是1，故答案為：1．【變式3-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求m的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最小整數(shù)解，m的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：解方程得：，∵該方程的解滿足，∴，∴；（2）解：去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的最小整數(shù)解為4，∴，解得．考點(diǎn)04：求一元一次不等式解的最值例題4．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的最小值為．【答案】【解析】解：解得：，由題意得：，解得：，∴k的最小值為．故答案為：．【變式4-1】一元一次不等式的最大整數(shù)解為；【答案】-1【解析】解：，，則最大整數(shù)解為：-1．故答案為：-1．【變式4-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）關(guān)于的不等式的最小整數(shù)解為，則的值為．【答案】【解析】解：解不等式得：，∵關(guān)于的不等式的最小整數(shù)解為，∴，∴，故答案為：．【變式4-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解方程，得，∵該方程的解滿足，∴，解得．（2）解不等式，得，則最大的整數(shù)解是．把代入，解得．考點(diǎn)05：在數(shù)軸上表示不等式的解集例題5．解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】；數(shù)軸見解析【解析】解：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，將解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：【變式5-1】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期中）不等式在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：不等式在數(shù)軸上表示為：故選：C．【變式5-2】（24-25七年級(jí)上·陜西安康·期中）已知x是整數(shù)，并且，在數(shù)軸上表示x可能取的所有數(shù)．【解析】解：x可能取的數(shù)有，，0，1，2．如圖所示．【變式5-3】（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）解不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，圖見解析【解析】解：，去分母，兩邊乘以，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為，得：，不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

考點(diǎn)06：用一元一次不等式解決實(shí)際問題例題6．（22-23七年級(jí)下·山東東營·期中）某校長暑假帶領(lǐng)該?！叭脤W(xué)生”去旅游，甲旅行社說：“若校長買全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)都6折優(yōu)惠．”若全票價(jià)是120元，則∶(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)，乙旅行社收費(fèi)，分別寫出兩家旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)的關(guān)系式．(2)就學(xué)生人數(shù)，分類討論哪家旅行社更優(yōu)惠．【答案】(1)；(2)學(xué)生人數(shù)為人，兩旅行社一樣優(yōu)惠；學(xué)生人數(shù)大于人，甲旅行社優(yōu)惠；學(xué)生人數(shù)小于人，乙旅行社優(yōu)惠【解析】（1）解：設(shè)學(xué)生人數(shù)為人，由題意，得，；（2）解：由（1）得；設(shè)學(xué)生人數(shù)為，則；當(dāng)時(shí)，，解得：，即學(xué)生人數(shù)為人，兩旅行社一樣優(yōu)惠；當(dāng)時(shí)，，解得：，學(xué)生人數(shù)大于人，甲旅行社優(yōu)惠；時(shí)，，解得：故學(xué)生人數(shù)小于人，乙旅行社優(yōu)惠．【變式6-1】某次國學(xué)知識(shí)競賽初賽共20道題（滿分100分），評分辦法是：答對1道題得5分，答錯(cuò)或不答倒扣2分．選手要得到70分以上（含70分），至少需要答對（

）A．16題 B．15題 C．14題 D．17題【答案】A【解析】解：設(shè)答對道題，答錯(cuò)或不答的題目為道，根據(jù)題意，得：，解得，∴至少要答對16道題才能得到70分以上（含70分）．故選：A．【變式6-2】（24-25七年級(jí)上·云南文山·期中）某次知識(shí)競賽共道題，每一題答對得分，答錯(cuò)或不答都扣分，小明得分要超過分．設(shè)他答對了道題，則根據(jù)題意可列不等式．【答案】【解析】解：根據(jù)題意，得；故答案為：．【變式6-3】某出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)5元（即行駛距離不超過3千米都需要付5元車費(fèi)），超過3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)29元，設(shè)此人從甲地到乙地的路程為x千米，則x的最大值是．【答案】19【解析】解：因支付車費(fèi)為29元，所以x肯定大于3千米，故有，解得：．可求出x的最大值為19千米．故答案為：19．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·廣西百色·期末）不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：，解得，∴該不等式的解集在數(shù)軸上如下：故選B．3．（23-24七年級(jí)下·安徽安慶·期末）5月27日，懷寧縣舉辦科技活動(dòng)周暨“全國科技工作者日”系列活動(dòng)啟動(dòng)儀式．活動(dòng)期間，懷寧縣將舉辦科學(xué)家精神進(jìn)校園、科普研學(xué)、科普講座等一系列活動(dòng)，讓科技創(chuàng)新的成果惠及千家萬戶，讓科學(xué)精神在人民群眾中生根發(fā)芽．某校開展了科技知識(shí)競賽活動(dòng)，共有20道選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)答案正確，選對得5分，不選或錯(cuò)選倒扣2分，如果得分不低于80分才能得獎(jiǎng)，那么要得獎(jiǎng)至少應(yīng)選對的題數(shù)是（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【解析】解：設(shè)要得獎(jiǎng)應(yīng)選對x道題，根據(jù)題意，得解得，∵x為整數(shù)，∴，∴要得獎(jiǎng)至少應(yīng)選對18道題．故選：C4．（23-24七年級(jí)下·河北保定·期末）對于任意實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算:．例如．請根據(jù)上述的定義解決問題：若不等式，則該不等式的解集是（

）A． B． C． D．都不對【答案】A【解析】解：※，，故選：A二、填空題5．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）不符式的解集為．【答案】【解析】解：，故答案為：．6．（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）在某課外