2025年滬科版八年級數(shù)學寒假預習 第03講 一元二次方程

第03講一元二次方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解一元二次方程的相關概念，掌握一元二次方程根的含義；2.會把一元二次方程化為一般形式；3．會用整體思想及一元二次方程的解求代數(shù)式的值知識點1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可。2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關于的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項。注意：

(1)只有當時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

考點01：一元二次方程的定義例題1.關于x的一元二次方程有一個根為0，則m的值為．【變式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】一元二次方程的一次項系數(shù)是．【變式1-3】當時，方程為一元二次方程．考點02：一元二次方程的一般形式例題2.將一元二次方程化為一般形式則a的值為．【變式2-1】方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（

）A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和【變式2-2】將方程化為一般式為：．【變式2-3】已知關于的一元二次方程的常數(shù)項是0，則．考點03：一元二次方程解的含義例題3.已知方程的一個根是，求代數(shù)式的值．【變式3-1】已知一個一元二次方程有一個根為，且常數(shù)項為0，請寫出一個滿足要求的方程：．【變式3-2】若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為．【變式3-3】（24-25八年級上·上?！て谥校┤魧崝?shù)是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期中）已知是關于的一元二次方程的一個根，則的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級下·安徽宣城·期中）若方程是關于x的一元二次方程，則“”可以是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）根據(jù)表格中的信息，判斷關于x的方程的一個解x的范圍是（

）x3.243.253.260.03A． B． C． D．5．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）關于的一元二次方程的兩根為，，記，，則的值為（

）A．0 B．2023 C．2024 D．20256．（22-23八年級下·山東淄博·期中）已知關于的方程（為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為（）A． B．C． D．二、填空題7．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）若關于的一元二次方程有一個根為，則．8．（22-23八年級下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一個根為0，則的值為．9．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）已知是方程的一個實數(shù)根，則的值為．三、解答題10．將下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項及各項系數(shù)．(1)（、是常數(shù)，且）；(2)；(3)．11．已知關于x的方程．(1)當a為何值時，方程是一元一次方程；(2)當a為何值時，方程是一元二次方程；(3)當該方程有兩個實根，其中一根為0時，求a的值．12．（21-22八年級下·江西宜春·期末）已知是方程的一個根．求：(1)的值．(2)代數(shù)式的值．13．（23-24八年級下·山東濟寧·期中）閱讀理解：材料1．若一元二次方程兩根為，，則，．材料2．已知實數(shù)，滿足，，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，．解決問題：(1)一元二次方程的兩根為，，則______，______．(2)已知實數(shù)滿足，，且，求的值．14．（22-23八年級下·湖南長沙·期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．15．（22-23八年級下·福建泉州·期中）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為y，則，所以．把代入已知方程，得．化簡，得故所求方程為．這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）．(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：________．(2)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．(3)已知關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為3，，求一元二次方程的兩根．（直接寫出結果）

第03講一元二次方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解一元二次方程的相關概念，掌握一元二次方程根的含義；2.會把一元二次方程化為一般形式；3．會用整體思想及一元二次方程的解求代數(shù)式的值知識點1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可。2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關于的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項。注意：

(1)只有當時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質符號.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

考點01：一元二次方程的定義例題1.關于x的一元二次方程有一個根為0，則m的值為．【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次項系數(shù)不為0．將代入方程得到，求出，然后由得到，求出．【解析】解：將代入，∴，∴，∵，即，∴．故答案為：2．【變式1-1】下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的概念，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程，叫做一元二次方程；熟練掌握該知識點是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【解析】解：A、是一元二次方程，故符合題意；B、是分式方程，故不符合題意；C、化簡后為，是一元一次方程，故不符合題意；D、是二元一次方程，故不符合題意．故選：A．【變式1-2】一元二次方程的一次項系數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的一般形式：（a，b，c為常數(shù)且），即可解答．【解析】解：，，，即∴一元二次方程的一次項系數(shù)是，故答案為：．【變式1-3】當時，方程為一元二次方程．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．根據(jù)一元二次方程的概念可得即可得解．【解析】解：∵關于x的方程是一元二次方程，∴，解得：，故答案為：．考點02：一元二次方程的一般形式例題2.將一元二次方程化為一般形式則a的值為．【答案】【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為．先去括號，再移項，再合并同類項，即可答案．【解析】解：，，，，則，故答案為：．【變式2-1】方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為（

）A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．根據(jù)方程的一般形式和二次項系數(shù)以及一次項系數(shù)的定義即可直接得出答案．【解析】解：整理得，∴二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為2和．故選：C．【變式2-2】將方程化為一般式為：．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握相關概念是解題關鍵．一元二次方程的一般形式為，據(jù)此將已知一元二次方程變形，即可得到答案．【解析】解：，去括號，得：，移項合并，得：，即一元二次方程的一般形式為故答案為：．【變式2-3】已知關于的一元二次方程的常數(shù)項是0，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及相關概念，解題的關鍵是確定常數(shù)項，并注意二次項系數(shù)不為零的前提條件．根據(jù)一元二次方程的定義以及常數(shù)項為0，列出方程解答即可．【解析】解：由題意可知：，∴解得：或，又∵，∴，∴．故答案為：．考點03：一元二次方程解的含義例題3.已知方程的一個根是，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】根據(jù)方程根的定義，轉化為代數(shù)式的求值解答．本題考查了方程根的定義，代數(shù)式的整體思想求值，掌握定義，活用整體思想是解題的關鍵．【解析】解：∵是方程的一個根，∴，∴，，∴．【變式3-1】已知一個一元二次方程有一個根為，且常數(shù)項為0，請寫出一個滿足要求的方程：．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義即可求出答案．【解析】解∶∵一元二次方程的常數(shù)項為0，∴設一元二次方程為，∵一元二次方程有一個根為，∴，∴，故該方程為（答案不唯一），【變式3-2】若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解及定義，把x=0代入一元二次方程，再根據(jù)一元二次方程的定義可得，由此即可求解．【解析】解：把x=0代入一元二次方程得，，且，解得，，且，∴，故答案為：．【變式3-3】（24-25八年級上·上?！て谥校┤魧崝?shù)是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【答案】2022【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的根的定義，可得，再代入，即可求解．【解析】解：∵是關于一元二次方程的一個實數(shù)根，，，，故答案為：2022．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的定義．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”，根據(jù)一元二次方程的定義逐項判斷即可．【解析】解：A．該方程中，當時，它不是一元二次方程，不符合題意；B．該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C．該方程不是整式方程，不符合題意；D．該方程符合一元二次方程的定義，符合題意；故選：D．2．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期中）已知是關于的一元二次方程的一個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義理解，根據(jù)“使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，把代入關于的一元二次方程中計算求出的值即可，理解一元二次方程的解的定義、正確計算是解題的關鍵．【解析】解：把代入，得：，，故選：D．3．（23-24八年級下·安徽宣城·期中）若方程是關于x的一元二次方程，則“”可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案：【解析】A、，是一元一次方程，故此選項不符合題意；B、，是一元一次方程，故此選項不符合題意；C、，是一元二次方程，故此選項符合題意；

D、，不是一元二次方程，故此選項不符合題意．故選：C．4．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）根據(jù)表格中的信息，判斷關于x的方程的一個解x的范圍是（

）x3.243.253.260.03A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．利用表中數(shù)據(jù)得到和時，代數(shù)式的值一個等于，一個等于，從而可判斷當時，．【解析】解：當時，，當時，，所以方程的一個解x的范圍是．故選：A．5．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）關于的一元二次方程的兩根為，，記，，則的值為（

）A．0 B．2023 C．2024 D．2025【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的根的概念，解題的根據(jù)是理解方程根的定義．根據(jù)題意得到，，代入即可求解．【解析】∵關于的一元二次方程的兩根為，，∴，，∴．故選：A．6．（22-23八年級下·山東淄博·期中）已知關于的方程（為常數(shù)，）的解是，，那么方程的解為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了方程解的定義，把后面一個方程中的看作整體，相當于前面一個方程中的求解，注意由兩個方程的特點進行簡便計算．【解析】解：∵關于的方程（為常數(shù)，）的解是，，∴方程變形為：，即或，解得：或，故選：D．二、填空題7．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）若關于的一元二次方程有一個根為，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的根；根據(jù)一元二次方程的定義可得出；根據(jù)題意將代入方程求出的值，即可求解．【解析】解：∵該方程是一元二次方程，∴，即；∵關于的一元二次方程有一個根為，故將代入方程為，整理得：，解得：或（舍去），故答案為：．8．（22-23八年級下·安徽滁州·期中）如果一元二次方程有一個根為0，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程有一個根為0，得到計算即可．【解析】∵一元二次方程有一個根為0，∴，解得（舍去）．故答案為：．9．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）已知是方程的一個實數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)題意得出，整體代入代數(shù)式，即可求解．【解析】解：∵是方程的一個實數(shù)根，∴，∴∴故答案為：．三、解答題10．將下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項及各項系數(shù)．(1)（、是常數(shù)，且）；(2)；(3)．【答案】(1)方程一般形式為；方程二次項為，二次項系數(shù)為；一次項為，一次項系數(shù)為0；常數(shù)項為；(2)方程一般形式為；方程二次項為，二次項系數(shù)為；一次項為，一次項系數(shù)為；常數(shù)項為(3)一般形式即為；方程二次項為，二次項系數(shù)為2；一次項為，一次項系數(shù)為；常數(shù)項為6【分析】（1）移項，將方程化為一般性質，即可得解；（2）移項，將方程化為一般性質，即可得解；（3）利用平方差公式，方程左邊為，由此方程即為，方程展開化為一般形式即為，從而即可得解．【解析】（1）解：∵，∴方程一般形式為；∴方程二次項為，二次項系數(shù)為；一次項為，一次項系數(shù)為0；常數(shù)項為；（2）解：∵，∴方程一般形式為；∴方程二次項為，二次項系數(shù)為；一次項為，一次項系數(shù)為；常數(shù)項為；（3）解：∵，∴∴，∴；方程二次項為，二次項系數(shù)為2；一次項為，一次項系數(shù)為；常數(shù)項為6．11．已知關于x的方程．(1)當a為何值時，方程是一元一次方程；(2)當a為何值時，方程是一元二次方程；(3)當該方程有兩個實根，其中一根為0時，求a的值．【答案】(1)1(2)且(3)【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義及其解得定義，一元一次方程的定義：（1）根據(jù)一元一次方程的定義，即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解；（3）把代入，原方程變形為，再結合，即可求解．【解析】（1）解：∵方程是一元一次方程，∴且，解得：；（2）解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：且；（3）解：當時，原方程為，解得：，∵該方程有兩個實根，∴，∴且，∴．12．（21-22八年級下·江西宜春·期末）已知是方程的一個根．求：(1)的值．(2)代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)2019．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，則，然后把代入原式即可求解；（2）可化簡得原式，然后通分后再次代入后化簡即可．【解析】（1）解：是方程的一個根，，，；（2）解：原式．13．（23-24八年級下·山東濟寧·期中）閱讀理解：材料1．若一元二次方程兩根為，，則，．材料2．已知實數(shù)，滿足，，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得，，．解決問題：(1)一元二次方程的兩根為，，則______，______．(2)已知實數(shù)滿足，，且，求的值．【答案】(1)4，(2)【分析】本題考查是閱讀理解題，解題的關鍵是理解并熟練掌握若一元二次方程兩根為，，則，．（1）根據(jù)材料1提供的關系直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)材料2提供的方法直接求解即可得到答案．【解析】（1）解：∵一元二次方程的兩根為，，∴，，故答案為：4，；（2）解：∵實數(shù)滿足，，∴m，n是方程的兩根，∴，，∴．14．（22-23八年級下·湖南長沙·期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡，得；故所求方程為