湖北省武漢市江岸區(qū)2024-2025學年高三上學期1月期末考試數(shù)學試題 含解析

2024~2025學年度高三元月調(diào)考數(shù)學試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集，結合交集并集概念計算即可.【詳解】根據(jù)題意，陰影部分表示并集去掉交集.，則.故陰影部分表示.故選：C.2.若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法、除法運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B3.已知，且在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)推出與的關系，再根據(jù)投影向量的定義求出在上的投影向量.【詳解】已知，將等式兩邊同時平方可得.根據(jù)向量平方的展開式,所以，化簡可得，即，這表明.根據(jù)向量投影向量的定義，所以在上的投影向量為.因為，所以.則在上的投影向量為.故在上的投影向量為.故選：A.4.葫蘆擺件作為中國傳統(tǒng)工藝品，深受人們喜愛，它們常被視為吉祥物，象征福祿，多子多福.如圖所示的葫蘆擺件從上到下可近似看作由一個圓柱與兩個完整的球組成的幾何體，若上，中，下三個幾何體的高度之比為，且總高度為，則下面球的體積與上面球的體積之差約為（）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件求出上下兩個球的半徑，結合球的體積公式求兩個球的體積，相減可得結論.【詳解】設下面球的半徑為，因為上，中，下三個幾何體的高度之比為，則上面球的半徑為，圓柱的高為，由已知，所以，故下面球的半徑為，上面球的半徑為，所以下面球的體積為，上面球的體積為，又，所以下面球的體積與上面球的體積之差約為，故選：A.5.某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】在甲單獨參加某項比賽條件下，結合分堆問題的處理方法及分步乘法計數(shù)原理求滿足條件的方法數(shù)，再在甲不單獨參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數(shù)原理及排列知識求滿足條件的方法數(shù)，最后利用分類加法原理求結論.【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：第一類：甲單獨參加某項比賽，先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有種，再將余下人，安排到與下的三個項目，由于每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，故滿足條件的報名方法有,所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有種，第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有種方法，再安排余下三人，有種方法，所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有種，所以滿足條件的不同的報名方法共有種方法.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象如圖，點在的圖象上，過分別作軸的垂線，垂足分別為，若四邊形為平行四邊形，且面積為，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由條件求，，由此確定函數(shù)的周期，列方程確定，再求結論.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，點，，所以，所以，因為平行四邊形的面積為，所以，所以，結合對稱性可得函數(shù)的周期為，又，所以，又點在的圖象上，所以，所以，結合圖象可得，，所以，，所以，所以故選：D.7.設雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線上，過點作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，且，則雙曲線兩條漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式得到，再由雙曲線的定義和余弦定理得到，最后結合三角形的面積公式求出漸近線斜率即可.【詳解】設，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，則，又，則，在中，由余弦定理可得：，于是，，而，因此，化簡得，即，所以，即，所以雙曲線兩條漸近線的斜率為.故選：C8.設函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】依題意，將轉化為，在定義域內(nèi)同正同負，函數(shù)圖象與軸的交點重合，得到，進而，利用導數(shù)求出最小值.【詳解】可看作，在定義域內(nèi)二者均單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)同正，因此只需函數(shù)圖象與軸的交點重合，如圖所示：令，得，所以，所以，令，，當時，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，最小值為，所以的最小值為2，故選：D.【點睛】關鍵點點睛：可看作，在定義域內(nèi)同正同負，因此函數(shù)圖象與軸的交點重合.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正四棱臺的體積為，則（）A.正四棱臺的高為B.與平面所成的角為C.平面與平面夾角的正切值為D.正四棱臺外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)棱臺的體積公式即可求解A，根據(jù)線面垂直可得為與平面所成的角，是平面與平面所成的夾角，即可利用三角形的邊角關系求解BC，根據(jù)勾股定理，可求解半徑，進而根據(jù)球的表面積公式即可求解D.【詳解】在正四棱臺中，，令上下底面中心分別為，連接，如圖，對于A，，故，A正確；對于B，平面，在直角梯形中，，取中點，連接，有平面,故為與平面所成的角，由于，故，因此與平面所成的角為，平面平面，故與平面所成的角為，B錯誤，對于C,過作，由于平面，平面，,平面，故平面，平面，故，則是平面與平面所成夾角，因此，故C正確，對于D，設外接球的球心為，連接,設，則，故，解得，，故表面積為，D正確，故選：ACD.10.設函數(shù)，則（）A.當時，在上單調(diào)遞增B.當時，有兩個極值點C.對，點是的對稱中心D.當時，直線不是的切線【答案】ABC【解析】【分析】選項A根據(jù)可判斷；選項B根據(jù)極點的定義判斷即可；選項C由可判斷；選項D，根據(jù)斜率為0求得切線為可判斷.【詳解】由得，選項A：當時，，故在上單調(diào)遞增，故A正確；選項B：當時，，可得，當時，，當時，，當時，，故有兩個極值點，故B正確；選項C：，，故的對稱中心為，故C正確；選項D：當時，，得由得，，故斜率為0時切線方程為，即，故D錯誤，故選：ABC11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于兩點，與軸交于兩點，點是上一個動點，則（）A.點在上B.面積的最大值為C.曲線恰好經(jīng)過個整點（即橫，縱坐標均為整數(shù)的點）D.【答案】BD【解析】【分析】將點代入曲線方程判斷A，由方程取求點的坐標，取求坐標，求直線與曲線的交點，由此判斷B，求直線與曲線的交點，判斷C，求到點距離和為的點的軌跡，求該軌跡與已知曲線的交點，由此判斷D.【詳解】將點代入曲線的方程的左側可得，所以點不在曲線上，A錯誤；由，取可得，解得，所以，所以，取，可得，故，所以，取，可得，所以，即，所以，所以直線與曲線交于點，結合圖象可得點的縱坐標的絕對值的最大值為，所以面積最大值為，B正確；由，取，可得，所以直線與曲線交于點，直線與曲線交于點，所以曲線經(jīng)過點，C錯誤；坐標平面內(nèi)到定點的距離和為的點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，由已知，又，故，所以橢圓方程為，聯(lián)立，所以，所以，所以，所以，故橢圓與曲線的交點為，，如圖：故曲線上的所有點都滿足故選，D正確；故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題解決關鍵在于結合曲線方程，確定曲線的范圍及曲線上的關鍵點的坐標.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中和的系數(shù)，即可得的展開式中的系數(shù).【詳解】的展開式的通項式當時，,當時，,的展開式中含的系數(shù)為.故答案為：.13.已知為等差數(shù)列的前項和，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及求和公式計算得解.【詳解】由等差數(shù)列可知，，即，所以，故答案為：1514.在中，，點是上的點，平分面積是面積的3倍，當?shù)拿娣e最大時，__________.【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用到角公式求出點的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，數(shù)形結合，得到當在點處時，的面積最大，結合余弦定理和同角的平方關系計算即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，由，得，又，所以，則，設，直線的斜率分別為，則，又，由到角公式得，即，得，整理得，即，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓.所以當在點處時，的面積最大.此時，在中，由余弦定理得，又為銳角，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最大值.【答案】（1）（2）在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，【解析】【分析】（1）由條件結合導數(shù)的幾何意義可得，列方程求即可；（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合單調(diào)性求最值.【小問1詳解】因為函數(shù)在處的切線為，所以，，又函數(shù)的導函數(shù)，所以，所以；【小問2詳解】由（1）知當，當且僅當時取等號，當，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，.16.如圖所示，多面體滿足四邊形是等腰梯形，是正方形.平面平面（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線線垂直，即可求證平面，進而根據(jù)面面垂直的判定求證，（2）建立空間直角坐標系，求解兩個平面的法向量，根據(jù)向量的夾角即可求解.【小問1詳解】在等腰梯形中，，所以.正方形中，，因為平面平面，且平面平面，且，平面,所以平面，平面，從而,又因為平面，且，故平面.而平面，所以平面平面.【小問2詳解】分別取中點由等腰梯形和正方形的性質(zhì)知由（1）知，，故可以為原點，為軸正方向建立坐標系.因為，所以設.則,設平面和平面的一個法向量分別為，則.取，則，取，則故.所以平面和平面夾角的余弦值為.17.某醫(yī)學研究團隊經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某良性腫瘤與惡性腫瘤的一項醫(yī)學指標有明顯差異，利用該指標可制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為患惡性腫瘤，小于或等于的人判定為患良性腫瘤.此檢測標準的漏診率是將惡性腫瘤判定為良性腫瘤的概率，記為；誤診率是將良性腫瘤判定為惡性腫瘤的概率，記為.（1）若利用臨界值進行判定時，隨機抽取男女患者各200名進行檢驗，發(fā)現(xiàn)共有11名男性患者出現(xiàn)診斷問題（漏診或誤診），請完成如下的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷出現(xiàn)診斷問題是否與性別有關？出現(xiàn)診斷問題人數(shù)未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)總計男性人數(shù)11200女性人數(shù)總計36400（2）經(jīng)過大量調(diào)查，得到良性腫瘤和惡性腫瘤患者該指標的頻率分布直方圖如下：假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.設函數(shù)，求的解析式，并解釋取得最小值時臨界值的實際意義.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，無關；（2），答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二階列聯(lián)表計算卡方，再根據(jù)獨立性檢驗規(guī)則進行判斷即可；（2）根據(jù)題中條件進行計算，再利用分段函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】依題意，列出列聯(lián)表為：出現(xiàn)診斷問題人數(shù)未出現(xiàn)診斷問題人數(shù)總計男性人數(shù)11189200女性人數(shù)25175200總計36364400零假設：出現(xiàn)診斷問題與性別無關，則，故可以認為，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)證明零假設不成立，即認為出現(xiàn)診斷問題與性別無關；【小問2詳解】當時，，當時，.所以.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，有0.08.在實際中，以取得最小值時的臨界值為標準，可以使漏診率與誤診率的和最小，是檢測效果最好的臨界值.18.設拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，且的最小值為4.（1）求的方程；（2）設過的另一直線交于兩點，且點在直線上.（i）證明：直線過定點；（ii）對于（i）中的定點，當?shù)拿娣e為時，求直線的方程.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）或【解析】【分析】（1）借助弦長公式構造方程，結合二次函數(shù)得到最值計算即可；（2）（i）設直線方程：.直曲聯(lián)立.另外，由前問求出.進而得到直線方程，化簡得到.即可求出定點.（ii）先求出和直線方程，還求出點到直線的距離，根據(jù)面積公式計算出點坐標，即可求出直線方程.【小問1詳解】設直線方程：，代入中，消去得.設，則.當時，有的最小值為.，故的方程為.【小問2詳解】（i）設直線方程：.由消去得.①又由（1）知，同理.直線的斜率.直線方程為，化簡得②由①②得，即.由得，即證明直線過定點.（ii）由（i）知，直線方程為：，點到直線的距離，，解得或6.所以點坐標為，或.且，或.直線方程為或.【點睛】方法點睛：處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為k），（2）利用條件得到有