2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6章-第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和【課件】

第六章數(shù)列第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于____________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時____叫做a與b的等差中項，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知2A＝______.同一個常數(shù)Aa＋b2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝_____________.

(2)前n項和公式：Sn＝_______________＝__________.a1＋(n－1)d3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋_________(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則______________.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為______的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(n－m)dak＋al＝am＋anmd1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(

)(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0且關(guān)于n的二次函數(shù).(

)√√××解析(3)若公差d＝0，則通項公式不是n的一次函數(shù).(4)若公差d＝0，則前n項和不是n的二次函數(shù).2.(選修二P15T4改編)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a4＝________.6解得a1＝0，d＝2，故a4＝a1＋3d＝6.

12即n2－7n－60＝0，解得n＝12，或n＝－5(舍去).4.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a5＝________.90解析由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝2a5＋2a5＋a5，得5a5＝450，即a5＝90.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一等差數(shù)列基本量的求解例1(1)(2024·北京通州區(qū)調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，則an＝(

) A.5n－16 B.5n－11 C.3n－8 D.3n－5A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，(2)(2024·河南名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a5＝10，且a4·a6＝96，則公差為(

)A.－2 B.2 C.－2或2

D.4B解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an>0，∴d>0，∴d＝2.(3)(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝(

)A.25 B.22

C.20 D.15C解析由a2＋a6＝10，可得2a4＝10，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，感悟提升1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.2.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.D解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，B解析設(shè)每人分到的錢數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{an}，數(shù)列{an}的公差d>0，由題意可得，a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝5，故3a1＋3d＝2a1＋7d，5a1＋10d＝5，(3)(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.考點二等差數(shù)列的判定與證明解①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝n2d2，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.感悟提升1.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù))?{an}為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列.2.若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項an，an＋1，an＋2，使得這三項不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可.(2)求{an}的通項公式.考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用C解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因為a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，所以5a6＝80，a6＝16，(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2－a8＋a15＝5，則S17＝(

)A.87 B.86 C.85 D.84C解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2－a8＋a15＝a9＋a8－a8＝a9＝5，角度2和的性質(zhì)例4(1)(2024·廣州調(diào)研)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板(

)A.1125塊 B.1134塊C.1143塊 D.1152塊B解析記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為{an}，則{an}是等差數(shù)列，且公差d＝9，a1＝9.設(shè)每層有k環(huán)，則n＝3k，Sn＝3402，{an}是等差數(shù)列，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差數(shù)列.所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，則S2k－Sk＝1134.角度3和的最值例5

等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？解法一設(shè)公差為d.由S3＝S11，故當(dāng)n＝7時，Sn最大.法三設(shè)公差為d.法四設(shè)公差為d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以當(dāng)n＝7時，Sn最大.感悟提升1.項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)鄰項變號法，利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；(2)函數(shù)法，利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，則S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.訓(xùn)練3(1)(2024·濟(jì)南段考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝16，S6＝8，則S12＝(

)A.－50 B.－60 C.－70 D.－80(2)(2024·武漢聯(lián)考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且

a6＋2a7＋a10＝20，則當(dāng)a7·a8取最大值時，S10＝(

)A.10 B.20 C.25 D.50D解析∵a6＋2a7＋a10＝(a6＋a10)＋2a7＝2a8＋2a7＝20，∴a7＋a8＝10，由已知得a7>0，a8>0，當(dāng)且僅當(dāng)a7＝a8＝5時，等號成立.此時數(shù)列為常數(shù)列，則an＝5，所以S10＝50.(3)(2024·重慶聯(lián)考)等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，公差為d，前n項和為Sn，滿足a7＝3a5，則下列說法正確的是(

)A.d<0 B.a1>0C.當(dāng)n＝5時，Sn最小

D.當(dāng)Sn>0時，n的最小值為8D解析對于A，B，由a7＝3a5得a1＋6d＝3a1＋12d，即a1＝－3d，由于{an}是遞增數(shù)列，所以d>0，a1<0，故A，B錯誤；對于C，an＝a1＋(n－1)d＝－3d＋(n－1)d＝(n－4)·d，由于d>0，故當(dāng)n>4，且n∈N*時，an＝(n－4)d>0，當(dāng)n＝4時，an＝0，當(dāng)n<4，n∈N*時，an＝(n－4)d<0，因此當(dāng)n＝3或n＝4時，Sn最小，故C錯誤；由于d>0，故解得n>7，且n∈N*，故當(dāng)Sn>0時，n的最小值為8，故D正確.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2024·福州質(zhì)檢)在等差數(shù)列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，則a3＋a9＝(

)A.30 B.40

C.60 D.80C解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60.2.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，春分當(dāng)日日影長為6尺，則立夏當(dāng)日日影長為(

) A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺

D.2.5尺D解析設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，則立春當(dāng)日日影長為a4＝9.5尺，春分當(dāng)日日影長為a7＝6尺，所以立夏當(dāng)日日影長為a10＝2a7－a4＝2.5尺.3.(2024·臺州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足對于?m，n∈N*，am＋n＝am＋an，若a2024＝2024，則a1＝(

) A.1

B.2 C.3 D.2022A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，令m＝1，則an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1為常數(shù)，故數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴an＋1－an＝a1＝d.∴a2024＝a1＋(2024－1)d＝2024a1＝2024，則a1＝1.4.(2024·成都診斷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，5S9＝9a9－36，則a4＝(

)A.－2 B.－1 C.1 D.2B解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由5S9＝9a9－36得5(9a1＋36d)＝9(a1＋8d)－36，則36(a1＋3d)＝－36，即a1＋3d＝－1，又a4＝a1＋3d，則a4＝－1.5.(2024·河南名校聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，當(dāng)Sn取得最小值時，n的值為(

) A.4或5 B.5或6 C.4

D.5A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，D7.(多選)(2024·石家莊模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，若S11<S10<S12，則(

) A.d>0

B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0AD解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，對于A，B，因為S11<S10<S12，所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0，故等差數(shù)列的首項為負(fù)，公差為正，所以d>0，a1<0，故A正確，B錯誤；對于C，由S10<S12，可知S12－S10＝a12＋a11>0，8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________.200解析依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，9.(2024·棗莊調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，且S1001＝S1024，則S2024＝________.2解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S1001＝S1024，∴a1002＋…＋a1024＝23a1013＝0，∴a1013＝a1＋1012d＝0，∵a1＝2，∴1012d＝－2，10.已知等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則an＋1的值為________.29得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化簡得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.12.(2023·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通項公式；解設(shè){an}的公差為d，解得a1＝13，d＝－2.所以{an}的通項公式為an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n.(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.13.(多選)(2024·南通聯(lián)考)已知數(shù)列{