2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第6章-第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【課件】

第六章數(shù)列第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE同一個(gè)qaba1qn－13.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝_______.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為______.(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為______.(4)當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或

0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列.am·anqmqn常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒××××解析(1)在等比數(shù)列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0滿足b2＝ac，但a，b，c不成等比數(shù)列.(3)當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，則S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比數(shù)列.

3.(選修二P37T3改編)在等比數(shù)列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，則an＝_______________.3·2n－1或2·3n－1解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，4.已知在等比數(shù)列{an}中，a1a3a11＝8，則a2a8＝________.4解析設(shè)公比為q，則an＝a1qn－1，則a1·a1q2·a1q10＝8，考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的求解例1(1)(2022·全國乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6＝(

) A.14

B.12 C.6 D.3D解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，(2)(2023·天津卷)已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為(

)A.3 B.18 C.54 D.152C解析因?yàn)閍n＋1＝2Sn＋2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1＋2，兩式相減得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54.(3)(多選)(2024·廣東名校聯(lián)考)我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.則下列說法正確的是(里為古代計(jì)量長(zhǎng)度的單位)(

)A.該人第五天走的路程為12里

B.該人第三天走的路程為42里C.該人前三天共走的路程為330里

D.該人最后三天共走的路程為42里AD感悟提升訓(xùn)練1(1)(2023·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若8S6＝7S3，則{an}的公比為________.解析由8S6＝7S3，可知數(shù)列{an}的公比q≠1，(2)(2024·唐山模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a3＝1，2S3＝7a2，則S5＝________.解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明例2(2024·湖南名校質(zhì)檢)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*). (1)證明：{an＋1＋3an}為等比數(shù)列；∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.解由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n－1(n∈N*)，則an＋1＝－3an＋5·2n－1，設(shè)an＋1＋x·2n＝－3(an＋x·2n－1)，則an＋1＝－3an－5x·2n－1，則x＝－1，故an＋1－2n＝－3(an－2n－1)，又a1－20＝1，∴{an－2n－1}是以1為首項(xiàng)，－3為公比的等比數(shù)列，∴an－2n－1＝1×(－3)n－1，an＝2n－1＋(－3)n－1，感悟提升訓(xùn)練2(2024·重慶九校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為已知條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：若選擇不同的組合分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.證明選①②作條件證明③.因?yàn)閿?shù)列{an}，{Sn＋a1}是等比數(shù)列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)，選①③作條件證明②.因?yàn)閍2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的公比q＝2，所以{Sn＋a1}是等比數(shù)列.選②③作條件證明①.因?yàn)閿?shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列，且a2＝2a1，則數(shù)列{Sn＋a1}是以2a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，Sn＝a1·2n－a1，所以an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－a1－(a1·2n－1－a1)＝a1·2n－1(n≥2)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a1，也符合上式，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)角度1項(xiàng)的性質(zhì)例3(1)(2024·駐馬店統(tǒng)考)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a3，a7是關(guān)于x的方程x2－mx＋4＝0的兩實(shí)根，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(

) A.8

B.9 C.16 D.18B解析由根與系數(shù)的關(guān)系可得a3a7＝4，(2)(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.－2解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.角度2和的性質(zhì)例4(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝(

) A.120 B.85 C.－85 D.－120C解析易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……為等比數(shù)列，AB感悟提升1.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2.涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項(xiàng)的符號(hào)對(duì)其的影響.B291解析等比數(shù)列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，則(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，又S4＝10S2，Sn>0，∴S6－10S2＝81S2，課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0).所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7，解得q＝2(q＝－3舍去)，所以a5＝a1q4＝1×24＝16.C解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.3.(2024·佛山質(zhì)檢)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，則a2＋a4的值為(

) A.30

B.10 C.9 D.6B解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閧an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則a1>0，q>0，C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，首項(xiàng)為a1，因?yàn)?a5，a3，2a4成等差數(shù)列，所以2a3＝4a5＋2a4，即2a1q2＝4a1q4＋2a1q3，5.(2024·洛陽調(diào)研)龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為(

) A.16 B.12 C.10 D.8B解析由題意，得{an}是以2為公比的等比數(shù)列，解得a1＝8，∴l(xiāng)og2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.D解析法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q1，ACD解析由{Sn}是等差數(shù)列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，∵{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴數(shù)列{an＋Sn}是等差數(shù)列，因此A正確；8.(2023·上海卷)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公比q＝2，則S6＝________.1899.(2024·鹽城調(diào)研)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________(答案不唯一). ①anan＋1<0；②|an|<|an＋1|.(－2)n解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由anan＋1<0，可知q<0，又|an|<|an＋1|，所以|q|>1，所以q<－1，所以q可?。?，設(shè)a1＝－2，則an＝－2·(－2)n－1＝(－2)n(答案不唯一).10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S8－2S4＝5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為________.20解析在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，Sn>0，因?yàn)镾8－2S4＝5，則S8－S4＝5＋S4，易知S4，S8－S4，S12－S8是等比數(shù)列，所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，所以an＋1＋1＝2an＋2，即an＋1＋1＝2(an＋1)，因?yàn)閍1＋1＝2≠0，所以數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*).12.Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.