2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第10章-第9節(jié) 概率與統(tǒng)計的綜合問題【課件】

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第9節(jié)概率與統(tǒng)計的綜合問題1.會從統(tǒng)計圖表中提取有效信息，用以解決概率問題.2.能夠解決概率與回歸分析、獨立性檢驗的綜合問題．考點一

統(tǒng)計圖表與概率例1(12分)為了解決家長接送孩子放學(xué)的問題，教育部提出推行課后服務(wù)“5＋2”模式，即學(xué)校每周5天都要開展課后服務(wù)，每天至少開展2h，結(jié)束時間要與當?shù)卣Ｏ掳鄷r間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時間講新課.為了課后服務(wù)的有序開展，某教育局就課后服務(wù)的時長在網(wǎng)絡(luò)上進行意見征集，并從中隨機抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)從樣本中隨機抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長超過200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長也超過200min的概率；(2)為了進一步了解課后服務(wù)時長的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時長超過180min的人中分層抽取10人，再從這10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時長在[180，200)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.[思路分析]

(1)先根據(jù)頻率分布直方圖求出課后服務(wù)時長超過200min的調(diào)查表份數(shù)，再設(shè)出相關(guān)事件并求概率，最后根據(jù)條件概率的概率計算公式求解即可；(2)先根據(jù)題意及分層隨機抽樣的知識求出X的所有可能取值，然后求解相應(yīng)的概率，列出分布列，求得數(shù)學(xué)期望.[規(guī)范解答]

解(1)依題意，課后服務(wù)時長超過200min的調(diào)查表共有100×(0.0075＋0.0025)×20＝20(份)①，(1分)設(shè)事件A為其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長超過200min，事件B為另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時長也超過200min，(2)根據(jù)題意及分層隨機抽樣的知識可知，抽取的10人中，建議課后服務(wù)時長在[180，200)內(nèi)的有6人，則X的所有可能取值為0，1，2，3④，(7分)[滿分規(guī)則]?得步驟分①②⑤每列一個式子并計算正確可得1分；?得關(guān)鍵分③是條件概率公式得2分，④隨機變量取值不要多寫也不能漏寫；?得計算分⑥正確計算期望可得2分.訓(xùn)練1

某社區(qū)為了了解居民收看杭州亞運會的情況，隨機調(diào)查了100名居民，獲得他們?nèi)站湛春贾輥嗊\會的時長數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成6組：[0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．(1)試估計該社區(qū)居民日均收看杭州亞運會的時長的平均值；解根據(jù)題意，估計該社區(qū)居民日均收看杭州亞運會的時長的平均值為(0.5×0.1＋1×0.3＋1.5×0.4＋2×0.6＋2.5×0.4＋3×0.2)×0.5＝1.875小時．(2)以頻率估計概率，從該社區(qū)居民中隨機抽取3人，以X表示其中日均收看杭州亞運會的時長在(1.5，2.5]的居民人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；解由條件可知，從該社區(qū)居民中隨機抽取1人，其日均收看杭州亞運會的時長在(1.5，2.5]的概率估計為(0.6＋0.4)×0.5＝0.5，所以X的分布列為(3)經(jīng)過進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這100名居民收看杭州亞運會的方式有：①收看新聞或收看比賽集錦，②收看比賽轉(zhuǎn)播或到現(xiàn)場觀看．他們通過這兩種方式收看的日均時長與其日均收看杭州亞運會的時長的比值如下表：日均收看杭州亞運會的時長在[0，0.5]，(0.5，1.5]，(1.5，3]的居民通過方式①收看的平均時長分別記為μ1，μ2，μ3，寫出μ1，μ2，μ3的大小關(guān)系．(結(jié)論不要求證明)解μ1＝0.5×1＝0.5小時，因為(0.5，1]，(1，1.5]的人數(shù)之比為3∶4，因為(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]的人數(shù)之比為3∶2∶1，所以μ2＞μ3＞μ1.考點二

回歸分析與概率(1)在所統(tǒng)計的5個年借閱量中任選2個，記其中低于平均值的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.感悟提升高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進行考查，求解時注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵．訓(xùn)練2

擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國古代傳統(tǒng)民間酒宴上的助興游戲，屬于酒令的一種，又稱“擊鼓催花”，在唐代時就已出現(xiàn)．杜牧《羊欄浦夜陪宴會》詩句中有“球來香袖依稀暖，酒凸觥心泛艷光”，可以得知唐代酒宴上擊鼓傳花助興的情景．游戲規(guī)則為：鼓響時，開始傳花(或一小物件)，鼓響時眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時花在誰手中(或其序位前)，誰就上臺表演節(jié)目(多是唱歌、跳舞、說笑話或回答問題、猜謎、按紙條規(guī)定行事等)．某單位組織團建活動，9人一組，共9組，玩擊鼓傳花，組號x(前五組)與組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計結(jié)果如表：x12345y22344若女性人數(shù)y與組號x(組號變量x依次為1，2，3，4，5，…)具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)從前5組中隨機抽取3組，若3組中女性人數(shù)不低于3人的有X組，求X的分布列與期望．解由題可知X的所有可能取值為1，2，3，則X的分布列為考點三

獨立性檢驗與概率例3(2024·廣州模擬)某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運動的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖.(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)α＝0.001的獨立性檢驗，是否可以認為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運動有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡排球運動是否男生

女生

解由等高堆積條形圖知，2×2列聯(lián)表為性別是否喜歡排球運動是否男生3070女生6040感悟提升高考常將獨立性檢驗與分布列等交匯在一起進行考查，由2×2列聯(lián)表解決相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解2×2列聯(lián)表，能利用2×2列聯(lián)表正確計算出各組數(shù)據(jù)．訓(xùn)練3

(2024·杭州模擬)在杭州亞運會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了亞運會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組[45，55)，第二組[55，65)，第三組[65，75)，第四組[75，85)，第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.(1)求a，b的值，并估計這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1)；解由題意知20b＝10a＋0.45，(2a＋b＋0.065)×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，所以平均值為50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，解補全2×2列聯(lián)表：所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為參加寧波賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別有關(guān).解X的所有可能取值為2，3，4，微點突破概率與函數(shù)、數(shù)列在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式、數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn).例1

某盒子內(nèi)裝有60個小球(除顏色之外其他完全相同)，其中有若干個黑球，其他均為白球.為了估計黑球的數(shù)目，設(shè)計如下實驗：從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實驗結(jié)果.進行上述實驗共5次，記錄下第i次實驗中實際抽到黑球的數(shù)目xi.已知從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為p(0<p<1). (1)求X的分布列；解從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，∵從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為p(0<p<1).∴X～B(4，p)，∴X的分布列為X01234P(1－p)44p(1－p)36p2(1－p)24p3(1－p)p4②據(jù)①估計該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由.解估計盒子中黑球的數(shù)目為60p0＝39.理由如下：例2

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃；若未命中，則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5. (1)求第2次投籃的人是乙的概率；解第2次投籃的人是乙分為兩種情況：第1次投籃的人是甲且投籃未命中，其概率為0.5×(1－0.6)＝0.2；第1次投籃的人是乙且投籃命中，其概率為0.5×0.8＝0.4，所以第2次投籃的人是乙的概率為0.2＋0.4＝0.6.(2)求第i次投籃的人是甲的概率；解設(shè)第i次投籃的人是甲為事件Ai，(2)從學(xué)生中隨機抽取n人(n∈N*)，記這n人的合計得分恰為n＋1的概率為Pn，求P1＋P2＋…＋Pn.解因為這n人的合計得分為n＋1分，所以其中只有1人計劃選擇校本課程二，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(2024·西安調(diào)研)某市為了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了3000名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)按照分層隨機抽樣，從[40，50)和[80，90)中隨機抽取了9名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的9名學(xué)生中隨機推薦3名學(xué)生參加體能測試.記推薦的3名學(xué)生來自[40，50)的人數(shù)為X，求X的分布列；解運動時間在[40，50)的人數(shù)為3000×0.02×10＝600.運動時間在[80，90)的人數(shù)為3000×0.01×10＝300.按照分層隨機抽樣共抽取9人，則在區(qū)間[40，50)內(nèi)抽取的人數(shù)為6，在區(qū)間[80，90)內(nèi)抽取的人數(shù)為3.∴隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，2.(2024·長沙調(diào)研)隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量越來越大，為了滿足消費者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛.某“鬧鬧”水果店對某品種的“湖南沃柑”進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：試銷單價x(元)34567產(chǎn)品銷量y件201615126(1)經(jīng)計算相關(guān)系數(shù)r≈－0.97，變量x，y線性相關(guān)程度很高，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；3.為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方圖：(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過2500小時不超過2500小時合計A型

B型

合計

根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)？解由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70臺,則A型不超過2500小時的有30臺,同理,B型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50臺,則B型不超過2500小時的有50臺．列聯(lián)表如下：

超過2500小時不超過2500小時合計A型7030100B型5050100合計12080200零假設(shè)為H0：使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān)，所以依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)．(2)用分層隨