2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-高考難點(diǎn)突破系列(一)導(dǎo)數(shù)中的綜合問(wèn)題-第三課時(shí) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【課件】

高考難點(diǎn)突破系列(一)導(dǎo)數(shù)中的綜合問(wèn)題第三課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)題型一數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點(diǎn)例1(2024·南昌模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)2＋bex(a，b∈R)，若a＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.解函數(shù)y＝f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝0有3個(gè)根，由g′(x)<0解得0<x<2；由g′(x)>0解得x<0或x>2，所以g(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0；當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞，作出g(x)的大致圖象如圖所示，作出直線y＝b.感悟提升含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴x＝1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，∴x＝1也是φ(x)的最大值點(diǎn)，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)可知，題型二利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)例2已知函數(shù)f(x)＝(2a＋1)x2－2x2lnx－4，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，?x>0，ex>x＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解∵f(x)＝(2a＋1)x2－2x2lnx－4，∴f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝4x(a－lnx).∵當(dāng)0<x<ea時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0，ea)上單調(diào)遞增；∵當(dāng)x>ea時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(ea，＋∞)上單調(diào)遞減.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，ea)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ea，＋∞).(2)記p：f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；q：a>ln2.求證：p是q的充要條件.要求：先證充分性，再證必要性.證明先證充分性.由(1)知，當(dāng)x＝ea時(shí)，f(x)取得最大值，即f(x)的最大值為f(ea)＝e2a－4.由f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，得e2a－4>0，解得a>ln2.∴a>ln2.再證必要性.∵a>ln2，∴e2a>4.∴f(ea)＝e2a－4>0.∵a>ln2>0，?x>0，ex>x＋1，∴e2a>2a＋1>2a.∴?x1∈(e－a，ea)，使f(x1)＝0；∵f(ea＋1)＝－e2a＋2－4<0，∴?x2∈(ea，ea＋1)，f(x2)＝0.∵f(x)在(0，ea)上單調(diào)遞增，在(ea，＋∞)上單調(diào)遞減，∴?x∈(0，＋∞)，x≠x1且x≠x2，易得f(x)≠0.∴當(dāng)a>ln2時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).感悟提升利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類(lèi)問(wèn)題在求解過(guò)程中可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)≤f(1)＝－1＜0，所以f(x)不存在零點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，所以f(x)不存在零點(diǎn)；(ⅰ)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(1)＝a－1＝0，所以函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)閒(1)＝a－1＞0，所以a＞1滿足條件；即0＜a＜1滿足條件.綜上，若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(0，＋∞).題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)例3已知函數(shù)f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).(1)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍；解由題意，得f′(x)＝ex＋a.若a≥－1，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≥f(0)＝0，符合題意；若a<－1，令f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴f(x)在(0，ln(－a))上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈(0，ln(－a))時(shí)，f(x)<f(0)＝0，不符合題意.綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞).易知y＝x＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴t＝x，得a＝x－lnx.則原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程a＝x－lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令φ′(x)<0，得0<x<1；令φ′(x)>0，得x>1，∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(1)＝1，∴a≥1.當(dāng)a＝1時(shí)，易知方程1＝x－lnx只有一個(gè)實(shí)數(shù)解x＝1，不符合題意.下證當(dāng)a>1時(shí)，a＝x－lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令g(x)＝x－lnx－a(a>1)，則g(x)＝φ(x)－a，易知g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.∵g(e－a)＝e－a>0，g(1)＝1－a<0，∴g(x)在(e－a，1)上有一個(gè)零點(diǎn).易知g(ea)＝ea－2a，令h(a)＝ea－2a，則當(dāng)a>1時(shí)，h′(a)＝ea－2>0，∴h(a)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)a>1時(shí)，h(a)>h(1)＝e－2>0，即g(ea)＝ea－2a>0，∴g(x)在(1，ea)上有一個(gè)零點(diǎn).∴當(dāng)a>1時(shí)，a＝x－lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.綜上，a的取值范圍為(1，＋∞).得ex＝ea(lnx＋a)，∴xex＝xea(lnx＋a)，即xex＝ea＋lnx(lnx＋a).令u(x)＝xex，則有u(x)＝u(a＋lnx).當(dāng)x>0時(shí)，u′(x)＝(x＋1)ex>0，∴u(x)＝xex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x＝a＋lnx，即a＝x－lnx.下同法一.感悟提升涉及函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.解曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，故a的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞).微點(diǎn)突破

隱零點(diǎn)問(wèn)題在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，常常會(huì)遇到f′(x)零點(diǎn)不可求的情形，此時(shí)可先論證f′(x)有零點(diǎn)，再虛設(shè)零點(diǎn)，最后運(yùn)用零點(diǎn)代換，化簡(jiǎn)函數(shù)極值的策略來(lái)解決問(wèn)題，這是隱零點(diǎn)問(wèn)題常用的處理方法.隱零點(diǎn)的零點(diǎn)代換處理策略被廣泛應(yīng)用于零點(diǎn)討論、不等式證明、求最值等各種題型中，是零點(diǎn)不可求問(wèn)題中一個(gè)必備的基本處理方法，真題中也十分常見(jiàn).例

(2024·青島質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－alnx.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒(méi)有零點(diǎn)；所以f′(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，故當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn).證明

由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).記h(x)＝g′(x)＝ex－2x－1?h′(x)＝ex－2，當(dāng)x∈(0，ln2)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(ln2，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，故h(x)即g′(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，又g′(0)＝0，g′(ln2)＝1－2ln2<0，故當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，故g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閙是整數(shù)，所以mmax＝－1.課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知函數(shù)f(x)＝x－aex，a∈R，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解f(x)＝0等價(jià)于x－aex＝0，當(dāng)x＜1時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，又當(dāng)x＜0時(shí)，h(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)＞0，且x→＋∞時(shí)，h(x)→0，∴可畫(huà)出h(x)大致圖象，如圖所示.由f′(x)＝0，得x＝e，∴當(dāng)0<x<e時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，(2)若0<a<1，求證：f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，e)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).3.(2024·太原模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝xex－x－1，討論方程f(x)＝lnx＋m－2的實(shí)根個(gè)數(shù).解由f(x)＝lnx＋m－2，得xex－x－lnx＋1＝m，x>0，令h(x)＝xex－x－lnx＋1，令m(x)＝xex－1(x>0)，則m′(x)＝(x＋1)·ex>0，∴m(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，m(x)<0，h′(x)<0，則h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，m(x)>0，h′(x)>0，則h(x)單調(diào)遞增；又易知，當(dāng)x→0＋時(shí)，h(x)→＋∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞.∴當(dāng)m<2時(shí)，方程f(x)＝lnx＋m－2沒(méi)有實(shí)根；當(dāng)m＝2時(shí)，方程f(x)＝lnx＋m－2有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)m>2時(shí)，方程f(x)＝lnx＋m－2有2個(gè)實(shí)根.4.(2024·鄭州模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－x＋1，g(x)＝aex－x＋lna，若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(x)＝g(x