高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】雙曲線應(yīng)用(1)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA040學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期一課題雙曲線的應(yīng)用（1）教科書書名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師趙蒙北京市第二中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：鞏固雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，解決簡單的實際應(yīng)用問題，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用．教學(xué)重點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點：分析并解決與雙曲線相關(guān)的實際應(yīng)用問題．教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動3分鐘16分鐘3分中知識回顧問題探究課堂小結(jié)知識回顧1．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）雙曲線的概念一般地，我們把與平面內(nèi)兩個定點的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線．（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)，，利用雙曲線解決實際問題的基本步驟：（）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（）根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)回顧雙曲線的焦點坐標(biāo)、范圍、對稱軸、頂點、漸近線和離心率標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：坐標(biāo)原點頂點，，實軸和虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；漸近線離心率，，其中例1雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖（1））．它的最小半徑為12ｍ，上口半徑為13ｍ，下口半徑為25ｍ，高為55ｍ．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1ｍ）．問題1求此雙曲線的方程，應(yīng)從何處著手？分析題目條件，正確理解題意．追問1雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面是我們學(xué)過的哪種曲面？旋轉(zhuǎn)面．我們回憶一下立體幾何中的相關(guān)概念：一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體．這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．追問2“此雙曲線”與“雙曲線型冷卻塔的外形”之間是什么關(guān)系？實際問題抽象成為數(shù)學(xué)問題，先將雙曲線型冷卻塔的外形抽象成一個曲面，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面．反之，“雙曲線型冷卻塔的外形”與經(jīng)過它的軸的平面的交線，就是“此雙曲線”的一部分．追問3題目中的“半徑”是什么意思？垂直于軸的平面與“雙曲線型冷卻塔的外形”相交，所得到的圓的半徑。追問4“最小半徑”與該雙曲線有什么聯(lián)系？“最小半徑”等于該雙曲線實軸長的一半。追問5如何恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系？根據(jù)前面的分析，應(yīng)在冷卻塔的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系。具體來說，以最小半徑所在的直線為軸，雙曲線的虛軸所在的直線作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．追問6如何求雙曲線的方程？根據(jù)前面的分析，設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用已知條件列出方程組求解．解：根據(jù)雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合．這時，上、下口的直徑，都平行于軸，且，．設(shè)雙曲線的方程為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．因為直徑是實軸，所以，又因為點和點都在雙曲線上，所以由方程②，得（負(fù)值舍去），代入方程①，得．化簡得．③解方程③，得（負(fù)值舍去），因此所求雙曲線的方程為．例2動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡．問題2如何求點的軌跡？追問1點的軌跡是什么呢？點的軌跡方程是指點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式．軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形．追問2如何用集合表示點的軌跡？設(shè)是點到直線的距離，根據(jù)題意，動點的軌跡就是集合．QUOTE45}追問3上面集合中的等式，如何用坐標(biāo)表示？由兩點間距離公式和點到直線距離公式，可得．追問4如何化簡上述方程？點的軌跡是什么呢？上述方程可化為，兩邊平方，并化簡，得，即．則點的軌跡是焦點在軸上，實軸長為6，虛軸長為的雙曲線．追問5此前我們學(xué)習(xí)橢圓時，做過這樣一道類似的題目：動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點的軌跡．比較這兩題，你有什么發(fā)現(xiàn)？平面內(nèi)到定點的距離與到定直線（直線不經(jīng)過點）的距離的比是常數(shù)的點的軌跡可能是橢圓，也可能是雙曲線．課堂小結(jié)1．雙曲線的實際應(yīng)用2．用坐標(biāo)法求動點的軌跡坐標(biāo)法是解析幾何中最基本的研究方法．用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．課后作業(yè)1．相