八年級數(shù)學下冊第一部分基礎知識篇第5課一元二次方程的應用一元二次方程例題課件浙教版

例1.如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：一元二次方程的實際應用，矩形面積公式二聯(lián)重要結(jié)論：根據(jù)矩形的面積公式建立一元二次方程.重要方法：數(shù)形結(jié)合三解解：四悟應用一元二次方程解決實際問題時要檢驗方程的根是否符合實際情況.設AB為xm，則BC為（50﹣2x）m，例1.如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．根據(jù)題意得方程：x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，當x=10時BC=50﹣2x=30＞25（不合題意，舍去），答：可以圍成AB的長為15米，BC長為20米的矩形舉一反三思路分析:根據(jù)可以砌100m長的墻的材料，即總長度是100米，AB=x米，則BC=（100﹣2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式得出函數(shù)關系式，進而得出最值.學校準備在校園里利用圍墻的一段，圍成一個矩形植物園．如圖所示：現(xiàn)已備足可以砌100米長的墻的材料，請設計一種能使圍成面積最大的砌墻方法．失誤防范一元二次方程解應用題的基本步驟：審題；找已知量和未知量及等量關系；設未知量；用所設未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關量；列方程；解方程；檢驗.例2.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：一元二次方程的實際應用，解方程二聯(lián)重要結(jié)論：用一元二次方程解決增長類問題.重要方法：列方程求解三解解：四悟建立數(shù)學模型，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵.（1）設每輪傳染中平均每人傳染了x個人，根據(jù)題意得1+x+x（x+1）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人（2）64×7=448答：第三輪將又有448人被傳染例2.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？舉一反三思路分析:設1個人傳染x人，第一輪共傳染（x+1）人，第二輪共傳染（x+1）2人，由此列方程解答，再進一步求問題的答案．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，問經(jīng)過三輪傳染后共有多少個人患流感？失誤防范一元二次方程應用于傳染類問題：解答此題的關鍵是找出題目中蘊含的數(shù)量關系：1個人傳染x人，第一輪有（x+1）人，第二輪共傳染（x+1）2人，n輪共傳染（x+1）n人．此類問題首先建立數(shù)學模型，利用一元二次方程來解決問題.讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵.例3.小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2．”他的說法對嗎？請說明理由．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：一元二次方程的實際應用，列方程求解二聯(lián)重要結(jié)論：用一元二次方程解決幾何類問題.重要方法：列方程求解三解解：四悟解答本題時找到等量關系建立方程和運用根的判別式是關鍵．（1）設其中一個正方形的邊長為xcm，則另一個正方形的邊長為（10﹣x）cm，由題意得x2+（10﹣x）2=58，解得：x1=3，x2=73×4=12，4×7=28.所以小林應把繩子剪成12cm和28cm的兩段.（2）假設能圍成.由（1）得x2+（10﹣x）2=48化簡得x2﹣10x+26=0因為b2﹣4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0所以此方程沒有實數(shù)根，所以小峰的說法是對的舉一反三思路分析:根據(jù)弧長等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”，得出扇形半徑長，再利用扇形面積公式求出即可.我們知道，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形．類似地，我們把弧長等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”．小明準備將一根長為120cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲圍成一個“等邊扇形”．小明想使這兩個“等邊扇形”的面積之和等于625cm2，他該怎么剪？舉一反三失誤防范一元二次方程應用于面積問題：（1）根據(jù)面積之和列出一元二次方程，求解；（2）根據(jù)兩正方形的面積之和得一元二次方程，再根據(jù)方程有沒有實數(shù)解判斷說法是否正確；解決此類問題的關鍵是理清題目中的數(shù)量關系，根據(jù)相等關系列出一元二次方程，解方程.例4.菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植規(guī)模，造成該蔬菜滯銷．李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價對外批發(fā)銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：銷售，打折，更優(yōu)惠.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應用，增長率問題.重要方法：列方程求解三解解：（1）設平均每次下調(diào)的百分率為x．由題意得，5（1﹣x）2=3.2．解這個方程，得x1=0.2，x2=1.8，因為降價的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．（2）小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．理由：方案一所需費用為：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需費用為：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購買更優(yōu)惠．四悟在解決有關增長率的問題時，注意其固定的等量關系是解答本題的關鍵.舉一反三果農(nóng)李明種植的草莓計劃以每千克15元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴大種植，造成該草莓滯銷．李明為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克9.6元的單價對外批發(fā)銷售．（1）求李明平均每次下調(diào)的百分率；（2）小劉準備到李明處購買3噸該草莓，因數(shù)量多，李明決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供其選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金400元．試問小劉選擇哪種方案更優(yōu)惠，請說明理由．舉一反三思路分析:（1）設出平均每次下調(diào)的百分率，根據(jù)從15元下調(diào)到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)優(yōu)惠方案分別求得兩種方案的費用后比較即可得到結(jié)果．答案：（1）設平均每次下調(diào)的百分率為x．由題意，得15（1﹣x）2=9.6．解這個方程，得x1=0.2，x2=1.8．因為降價的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．（2）小劉選擇方案一購買更優(yōu)惠．理由：方案一所需費用為：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需費用為：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小劉選擇方案一購買更優(yōu)惠．失誤防范1.常見題型--利潤贏虧問題：

銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等

有關關系式：商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價

商品利潤率=商品利潤/商品進價

商品售價=商品標價×折扣率

存款利率問題：利息=本金×利率×期數(shù)

本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）失誤防范2.解答此類問題需要注意的事項：列一元二次方程解應用題首先，要適當?shù)丶僭O未知數(shù)，這一步非常關鍵，往往影響后面解方程的計算量；再仔細分析題意，列出方程，解方程，得到方程的解；這時一定要注意檢驗方程的解是否符合實際意義，不符合實際意義的解要舍去；最后答題.對于帶有單位的應用題，在假設、答題中要帶著單位，中間過程不需要單位.例5.山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20千克.若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應降價多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：銷售，降低，獲利.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應用，增長率問題.重要方法：列方程求解三解解：（1）設每千克核桃應降價x元．根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化簡得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃應降價4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元．因為要盡可能讓利于顧客，所以每千克核桃應降價6元．

此時，售價為：60﹣6=54（元），

%=90%.

答：該店應按原售價的九折出售．四悟根據(jù)題目中的等量關系列出方程是解答本題的關鍵.舉一反三商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．（1）問商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？（2）若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品售價應為多少元？舉一反三思路分析:（1）不降價時，利潤=不降價時商品的單件利潤×商品的件數(shù)．（2）可根據(jù)：降價后的單件利潤×降價后銷售的商品的件數(shù)=2160，來列出方程，求出未知數(shù)的值，進而求出商品的售價．答案：（1）若商店經(jīng)營該商品不降價，則一天可獲利潤100×（100﹣80）=2000（元）．（2）設后來該商品每件降價x元，依題意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，即x2﹣10x+16=0．解得x1=2，x2=8．當x=2時，售價為100﹣2=98（元），當x=8時，售價為100﹣8=92（元）．故商店經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元時，每件商品應售價應為98元或92元．失誤防范1.銷售問題：單件利潤×銷售的商品的件數(shù)=總利潤．2.增長率問題：這種增長率(或降低率)的問題在實際生活普遍存在,有一定的模式，正確解答此類問題的關鍵是掌握好此類問題中的等量關系的確定方法：在存在基礎量a的前提下，若連續(xù)增長（或降低）n次，且平均增長（或降低）率為x，則增長后的數(shù)量為a(1+x)n（或降低后的數(shù)量為a(1－x)n），要特別注意1與x的位置不要調(diào)換.例6.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，點P從A開始沿AC邊向C點以1m/s的速度移動，同時Q點從C沿邊CB以2m/s的速度向點B移動，設移動時間為ts．請解答下列問題：（1）出發(fā)幾秒后，PQ=3？（2）在運動過程中，線段PQ能否把△ABC面積平分？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：△ABC，點移動.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應用，勾股定理的應用，三角形的面積.重要方法：列方程求解三解解：（1）設經(jīng)過t秒，PQ=3，則CP=3﹣t，CQ=2t，∵PQ=3，∴32=（3﹣t）2+4t2解得：t=0（舍去）或t=即經(jīng)過

秒，PQ=3．（2）設經(jīng)過t秒線段PQ把△ABC面積平分，S△PCQ=×2t（3﹣t）=，整理得：2t2﹣6t+9=0∵b2﹣4ac=36﹣4×2×9＜0，∴在運動過程中，線段PQ不能把△ABC面積平分．四悟根據(jù)三角形的面積公式列出一元二次方程是解答本題的關鍵.舉一反三如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始沿AB邊向點B以2cm/s的速度移動，Q從點B開始沿BC向C點以4cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，幾秒鐘后，△PBQ的面積等于16cm2？舉一反三思路分析:

本題中根據(jù)直角三角形的面積公式和路程=速度×時間進行求解即可．答案：設x秒鐘后，△PBQ的面積等于16cm2，其中0＜x＜6，由題意可得：4x（12﹣2x）÷2=16，解得x1=2，x2=4，經(jīng)檢驗均是原方程的解．答：2或4秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．失誤防范1.一元二次方程與幾何運動問題：動態(tài)幾何圖形中邊長的表示：（1）題設運動時間為t，表示出動點有關邊長；（2）再通過幾何性質(zhì)表示出其他邊長；（3）滿足題中要求建立方程.動態(tài)圖形中面積問題：（1）題設運動時間為t，表示出動點有關邊長；（2）再通過幾何性質(zhì)表示出其他邊長；（3）根據(jù)面積建立方程.失誤防范2.幾何動點問題解題技巧：（1）關鍵——以靜代動

把動的點進行轉(zhuǎn)換,變?yōu)榫€段的長度,（2）方法——時間變路程

求“動點的運動時間”可以轉(zhuǎn)化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;（3）常找的數(shù)量關系——面積，勾股定理等由此,學會把動點的問題轉(zhuǎn)化為靜點的問題,是解這類問題的關鍵.

例7.某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量10部以上，每部返利1萬元．（1）若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為

萬元；（2）如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）重點中學與你有約解題技巧一讀關鍵詞：銷售，返利，盈利.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應用，銷售問題.重要方法：列方程求解三解解：（1）27﹣0.2=26.8；（2）設需要銷售出x部汽車，可盈利12萬元，①當銷售10部以內(nèi)（含10部）時，依題意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+0.5x=12，可化為x2+14x﹣120=0，解得x1=﹣20（不合題意，舍去），x2=6，∴當銷售6部汽車，當月可盈利12萬元，②當銷售10部以上時，依題意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+x=12，，可化為x2+19x﹣120=0，解得x1=5，x2=﹣24，均不合題意，應舍去，答：當銷售6部汽車，當月可盈利12萬元．四悟讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系并進行分段討論是解題關鍵．舉一反三小王在某校門口開了一家書包專賣店．該店采用廠家鋪貨方式經(jīng)營，即先銷售后結(jié)帳．在一定銷售數(shù)量內(nèi)，每個書包的進價與銷售量有如下關系：若當月銷售量不超過50個，則每個書包進價為2