2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 新高考53A版 專題11 概率與統(tǒng)計(jì)

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)

11.1隨機(jī)事件、古典概型

考點(diǎn)隨機(jī)事件的概率、古典概型

1.(2018課標(biāo)II文55分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的

概率為()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案D設(shè)兩名男生為A,B,三名女生為a,be則從5人中任選2人有

(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學(xué)的有(a,b),(a,c),(b,c)洪3種,

3

所以所求概率為前MOB

方法總結(jié)古典概型概率的求法：

m

(1)應(yīng)用公式P(A)=R求概率的關(guān)鍵是尋求基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù).(2)基本事件

個(gè)數(shù)的確定方法：

①列舉法:此法適用于基本事件較少的古典概型；

②列表法:此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法；

③畫樹(shù)狀圖法:畫樹(shù)狀圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問(wèn)題或較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的

探求.

2.(2017課標(biāo)II文,11,5分)從分別寫有L2345的5張卡片中陵機(jī)抽取1張，放回言再陵機(jī)抽取1張，則抽得

的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()

答案D本題考查古典概型.

畫出樹(shù)狀圖如圖:

第一張234

金業(yè)，N"N

第二張1234S121451234s1234512145

102

可知所有的基本事件共有25個(gè)，滿足題意的基本事件有10個(gè)，故所求概率P：25：'故選D.

思路分析由樹(shù)狀圖列出所有的基本事件，可知共有25個(gè)，滿足題目要求的基本事件共有10個(gè).由古典概型

102

概率公式可知所求概率P=2S=5

易錯(cuò)警示本題易因忽略有放回的抽取而致錯(cuò).

疑難突破當(dāng)利用古典概型求概率時(shí)，應(yīng)區(qū)分有放回抽取與無(wú)放回抽取.有放回抽取一般采用畫樹(shù)狀圖法列

出所有的基本事件，而無(wú)放回抽取一般采用窮舉法.

3.（2016課標(biāo)I文35分）為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的

2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）

1125

A.三B.5戶D%

答案C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:（紅黃）、（紅白）、（紅紫）、（黃白）、（黃紫）、

（白紫），共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇（亦即黃色和白色的花不在同一花壇）的選法有4種,所以所

求事件的概率P=6=［故選j

解后反思從4種顏色的花中任選2種共有6種情況，不重不漏地列舉出所有情況是解題關(guān)鍵.

評(píng)析本題主要考查了古典概型、不重不漏地將所有情況列舉出來(lái)是解題關(guān)鍵.

4.（2016課標(biāo)出文55分）小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是MJN中的一個(gè)字母,

第二位是1,23,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是（）

fl11

A."B1C."D.

答案C小敏輸入密碼后兩位的所有可能情況如下:

(L1),(L2),(L3),(I,4),(I,5),

(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)洪15種.

而能開(kāi)機(jī)的宓碼只有一種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率為15

5.（2016北京文,6,5分）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為（）

A5B5C.25D.

答案B設(shè)這5名學(xué)生為甲、乙、丙、丁、戊，從中任選2人的所有情況有（甲，乙）,（甲，丙）,（甲，?。?（甲,戊）,

（乙，丙）,（乙，丁）,（乙,戊），

（丙，丁）,（丙成）,

（丁成），

共4+3+2+1=10種.

其中甲被選中的情況有（甲，乙）,（甲，丙）,（甲，?。?（甲，戊）洪4種,

42

105

故甲被選中的概率為.故選B.

易錯(cuò)警示在列舉基本事件時(shí)要不重不漏,可畫樹(shù)狀圖：

甲乙丙丁

八八△?

匕丙丁加丙丁成丁氏戍

評(píng)析本題考查古典概型，屬中檔題.

6.（2015課標(biāo)I文,4,5分）如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).

從1,2,345中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）

1

D元

答案C從1,23,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有10種取

法:Q23),Q,2,4),(L2,5),(134),(1,3,5),(L45),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)成一組勾股數(shù)的有1

種:(3,4,5),故所求事件的概率P：10,故選C.

7.(2015廣東文,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次

品的概率為()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

答案B記3件合格品分別為Ai,A2fA3,2件次品分別為Bi&,從5件產(chǎn)品中任取2件，有

(ALA2),(ALA3),(AI,B1),(ALB2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2>(A3,BJ(A3,B2),(BI,B2)洪1。種可能.其中恰有一件次

品有6種可能，由古典概型概率公式得所求事件概率為.選B.

8.(2014課標(biāo)I理,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng).則周六、周日都有同學(xué)參

加公益活動(dòng)的概率為()

1357

ASBSC?DS

答案D由題意知4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種情況，而4位同學(xué)都選

周六有1種情況,4位同學(xué)都選周日有1種情況，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為

P=故選D.

9.(2014陜西文,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方

形邊長(zhǎng)的概率為()

A：B：C：D：

答案B設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C、D,中心為0,從這5個(gè)點(diǎn)中，任取兩個(gè)點(diǎn)的事件分別為AB、

AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10種,其中只有頂點(diǎn)到中心。的距離小于正方形的邊

42

長(zhǎng),分別是AO、BO、CO、DO洪有4種.故滿足條件的概率「=破=$故選B.

評(píng)析本題考查古典概型知識(shí)，考查分析問(wèn)題及閱讀理解的能力.理解只有頂點(diǎn)到中心的距離小于邊長(zhǎng)是解

題的關(guān)鍵.

10.（2013課標(biāo)I文,3,5分）從123,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是（）

1111

.2?3_4

A.B.C.D.

答案B從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）6種不同的結(jié)果，取出的2個(gè)

1

數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有Q,3）,（2,4）2和結(jié)果，概率為1故選B.

11.（2012安徽文,10,5分）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.

從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）

1234

5555

A.DB.rC.nD.

答案B將同色小球編號(hào).從袋中任取兩球，所有基本事件為（紅，白”,（紅，白2）,（紅，黑1）,（紅，黑2）,（紅，黑3）,（白

L白2）,（白1,黑1）,（白1,黑2）,（白1,黑3）,（白2,黑1）4（02,黑2）,（白2,黑3）,（黑1,黑2）,（黑1,黑3）,（黑2,黑3）,共有15

62

個(gè)基本事件，而一白一黑的共有6個(gè)，故所求概率P="=5故選B.

評(píng)析本題主要考查古典概型概率的求解，同時(shí)考查了列舉法.

12.（2011課標(biāo)文,6,5分）有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組每位同學(xué)參加各個(gè)小組的

可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（）

1123

3234

AA.DB.Cr.nD.

答案A甲、乙兩人都有3種選擇，共有3x3=9種情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3種情況...甲、

31

乙兩人參加同一興趣小組的概率P=*=5故選A.

評(píng)析本題主要考查古典概型的概率運(yùn)算，屬容易題.

13.(2011浙江文,8,5分)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球

的概率是()

1339

.1010^.5、而

A.DB.C.D.

答案D解法一(直接法):所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類:兩紅一白有6種取法，

一紅兩白有3種取法，而從5個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共有10種，所以所求概率為施,故選D.

解法二(間接法):至少有一個(gè)白球的對(duì)立事件為所取3個(gè)球中沒(méi)有白球,即只有3個(gè)紅球，共1種取法，故所求

概率為l-1%10,故選D.

14.(2016四川文,13,5分)從238,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率

是.

答案0

解析所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個(gè).

記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,

則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9)洪2個(gè).

21

..P(A)=12=6

易錯(cuò)警示對(duì)a,b取值時(shí)要注意順序.

評(píng)析本題考查了古典概型.正確列舉出基本事件是解題的關(guān)鍵.

15.(2014課標(biāo)I文,13,5分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的

概率為.

2

答案3

解析設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為ai、a?,1本語(yǔ)文書為b,在書架上的排法有

aiazEaibazazaibazbaibaiazbazai,共6種，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有aiazbazmib.baiazba2aL共4種，

42

G_3

因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=

16.(2014課標(biāo)II文,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則

他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

1

答案3

解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種,其中顏色相同

31

的有3種，所以所求概率為

17.(2014江蘇,4,5分)從1,236這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率

是.

1

答案3

解析從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.

滿足條件的有(2,3),(1,6),共2種情況.

21

故P=6=3

18.(2014浙江文,14,4分)在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無(wú)獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中

獎(jiǎng)的概率是

答案

解析設(shè)A為一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,B為二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券(為無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，則甲、乙兩人抽取的所有可能結(jié)果為AB、BA、

21

AC、CA、BC、CB,共6種.而甲、乙兩人都中獎(jiǎng)的情況有AB、BA,共2種.故所求概率為

19.(2013課標(biāo)II文,13,5分)從123,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是.

答案0.2

解析任取兩個(gè)不同的數(shù)的情況有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中和為

2

5的有2種，所以所求概率為加=02

20.(2018北京文,17,13分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影類

第一類第二類第三類第四類第五類第六類

型

電影部

14050300200800510

數(shù)

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；

(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩

類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的

電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)

解析Q)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,

第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200x0.25=50.

50

故所求概率為

(2)由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是

140x0.4+50x0.2+300x0.15+200x0.25+800x0.2+510x0.1

=56+10+45+50+160+51

=372.

372

故所求概率估計(jì)為

(3)增加第五類電影的好評(píng)率,減少第二類電影的好評(píng)率.

21.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分

層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng).

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率.

解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式

等基本知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.

(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3:2:2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同

學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.

(2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中陲機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為

{A,BHA,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,Q{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{CE},{C,F},{GG},{D,E},{D,F},{D,G},{E,

F},{E,G},{F,G}洪21種.

②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是F,G,則從抽

出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.

所以，事件M發(fā)生的概率P(M)=21.

易錯(cuò)警示解決古典概型問(wèn)題時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：

Q)忽視基本事件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤；

(2)列舉基本事件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤；

(3)在求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)時(shí)，一個(gè)按有序，一個(gè)按無(wú)序處理導(dǎo)致錯(cuò)誤.

22.(2017山東文,16,12分)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家ALAZA?和3個(gè)歐洲國(guó)家中選擇2

個(gè)國(guó)家去旅游.

(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；

(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括Ai但不包括Bi的概率.

解析(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

W:{Ai,A2},{Ai,A3}r{A2,A3}f{Ai,Bi},{Ai,B2},{Ai/B3},{A2,Bi},{A2,B2},{A2,B3},{A3,Bi}r{A3,B2},{A3,B3},{Bi,B2},{Bi,B

3HB2B},共15個(gè).

所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有:伊1人2},快143},依2人3},共3個(gè)，

則所求事件的概率P=.

(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

有:{ALB1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,BI},{A2,B*{A2,BJ{A3,BJ{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè).

包括Al但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè)，

2

則所求事件的概率p=,

方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟：

1.求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹(shù)狀圖法;

2.求出事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;

3.代入公式P(A)=R求解.

23.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采用分層抽樣的

方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.

(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)；

(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為AI,A2,A3,A4,AS,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙

打比賽.

(i)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果；

(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為As和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率.

解析(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.

(2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為

{AI/A2},{AI,A3},{AI,A4},{AIIA$},{AI/A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5}/{A3,A6},{A41A5},{A4,A

6},{ASA}洪15種.

(ii)編號(hào)為As和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為

{ALA5},{ALA6},{A2,AS},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,AS},{A4,A6},{A5,A6},共9種.

93

因此，事件A發(fā)生的概率P(A)=1S=5

評(píng)析本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式

等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.

24.(2015山東文,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下

表：(單位:人)

參加書法社團(tuán)未參加書法社近

參加演講社團(tuán)85

未參加演講社團(tuán)230

(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)AiAAAAS名女同學(xué)Bi.BzB?.現(xiàn)從

這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求Ai被選中且Bi未被選中的概率.

解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，

故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人，

竺?

453

所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P==

(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：

{AI,B1},{AI,B2},{AI,B3},{A2,BI},{A2fBJ

{A2,BJ{A3,B1},{A3,B2HA3,B3HA4,B1},

{A4,B2MA4,B3HA5,B1HA5,B2MA5,B3},

共15個(gè).

根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“Ai被選中且Bi未被選中”所包含的基本事件有：

{AI,BZ},{ALBS}洪2個(gè).

2

因此Ai被選中且Bi未被選中的概率為P=".

評(píng)析本題考查隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí).

25.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個(gè)座位，其座位號(hào)為1,234,5.乘客PiRHRR的座位號(hào)分

別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車.乘客Pi因身體原因沒(méi)有坐自己的1號(hào)座位，這時(shí)司

機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就

座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.

(1)若乘客Pi坐到了3號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時(shí)共有4種坐法.下表給ti了其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊?/p>

余下兩種坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處)；

(2)若乘客Pi坐到了2號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座,求乘客Ps坐到5號(hào)座位的概整

乘客

P1P2P3P4P5

32145

32451

座位號(hào)

解析(1)余下兩種坐法如下表所示:

乘客

PiP2P3P4Ps

32415

座位號(hào)

32541

(2)若乘客Pi坐到了2號(hào)座位，其他乘客按規(guī)則就座，則所有可能的坐法可用下表表示為:

于是，所有可能的坐法共8種.

設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.

41

所以p(A)=a=2

1

答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是2

評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識(shí)與方法分析和解決實(shí)

際問(wèn)題的能力，考查推理論證能力、應(yīng)用意識(shí).

26.(2014四川文,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字123，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完

全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.

⑴求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c"的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.

解析(1)由題意知,(a,b,c)所有可能的結(jié)果為

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(121),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(22

3),(231),(232),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),31,3),(321),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(332),(333),共27種.

設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A,

則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.

所以P(A)=27=，

1

因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為‘

(2)設(shè)"抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B,

則事件不包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.

3?

fi279

所以P(B)=1-P()=1-=

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a,b.c不完全相同”的概率為n

評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算，考查應(yīng)用意識(shí).

27.（2014天津文,15,13分）某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表:

一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)

男同學(xué)ABC

女同學(xué)XYZ

現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加笈識(shí)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）.

（1）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；

（2）設(shè)M為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)"，求事件M發(fā)生的概率.

解析Q）從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為

{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y）,{B,Z},{CX},{C,Y）,{C,ZHX,Y},{X,Z},{Y,Z）洪15種.

（2）選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為

{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y）洪6種.

62

15_5

因此，事件M發(fā)生的概率為

評(píng)析本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考

查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.

28.（2016山東文,16,12分）某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所

示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)

則如下：

①若xy43,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；

②若xyz8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

(1)求小亮獲得玩具的概率；

(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.

解析用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間。與點(diǎn)集S={(xry)|x€N,yGN,

l<x<4,l<y<4}-----對(duì)應(yīng).

因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4x4=16,

所以基本事件總數(shù)n=16.

(1)記“xy43”為事件A,

則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，

即(LD,(L2),(L3),(2,1),⑶1).

55

所以P/)：16,即小亮獲得玩具的概率為

(2)記“xyi8”為事件8,“3<寸<8”為事件6

則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè)，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).

63

所以P(B)=

事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).

53

所以P（C）="因?yàn)?產(chǎn)

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

易錯(cuò)警示本題出錯(cuò)的原因有兩個(gè):Q）理解不清題意，不能將基本事件列舉出來(lái);（2：冽舉基本事件有遺漏.

評(píng)析本題主要考查了古典概型，理解題意,不重不漏地列舉出基本事件是解題關(guān)鍵.

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)

11.1隨機(jī)事件、古典概型

應(yīng)用創(chuàng)新題組

1.（2022屆西南八省名校聯(lián)考,7I數(shù)學(xué)成就與古典概型）哥德巴赫猜想作為數(shù)論領(lǐng)域存在時(shí)間最久的未解

難題之一，自1742年提出至今,已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界近三個(gè)世紀(jì).哥德巴赫猜想是"任一大于2的偶數(shù)都可寫成

兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和"，如14=3+11.根據(jù)哥德巴赫猜想，拆分22的所有質(zhì)數(shù)記為集合A,從A中陵機(jī)選取兩個(gè)不同

的數(shù)，其差大于8的概率為（）

1234

55尸5

AA.nB.C.D.

答案B因?yàn)?2=3+19=5+17=11+11,所以A={3511,17,19},所以從A中任取兩個(gè)不同的數(shù)，基本事件

有{3,5},{3,11},{3,17},{3,19},{5,11},{5,17},{5,19},{11,17},{11,19},{17,19）洪10個(gè)，滿足兩數(shù)之差大于8的基

42

本事件為{3,17},{3,19},{5,17},{5,19}洪4個(gè)，所以P：1?上故選B.

2.（2022屆云南大理統(tǒng)測(cè),10I素材創(chuàng)新）某班級(jí)有40名同學(xué)，為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，他們擬參加

"學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)"平臺(tái)上的黨史知識(shí)競(jìng)賽，因?yàn)榍捌跍?zhǔn)備情況不同,所以他們獲獎(jiǎng)的概率也不同，其中，有20名同

學(xué)獲獎(jiǎng)概率為0.9,12名同學(xué)獲獎(jiǎng)概率為0.8,8名同學(xué)獲獎(jiǎng)概率為。7,現(xiàn)從中隨機(jī)選出一名同學(xué)，他獲獎(jiǎng)的概

率為（）

A.0.83B.0.78C.0.76D.0.63

答案A由題意得獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值為20x0.9+12x0.8+8x0.7=33.2,所以從40名同學(xué)中隨機(jī)選出一名同

3X2

學(xué)獲獎(jiǎng)的概率為題=0.83,故選A.

3.(2022屆北京市中關(guān)村中學(xué)開(kāi)學(xué)測(cè)試,18)某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有

"廚余垃圾""有害垃圾""可回收物""其他垃圾”.另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.

每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取20張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則,每正確

投放一張卡片得5分，投放錯(cuò)誤得。分.比如將寫有"廢電池”的卡片放入寫有"有害垃圾"的箱子，得5分,

放入其他箱子，得0分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照

［0,20］,(20,40］,(40,60］,(60,80］,(80,100］分組,繪成頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)分別求出所抽取的20人中得分落在［0,20］和(20,40］內(nèi)的人數(shù)；

(2)從所抽取的20人中得分落在［0,40］內(nèi)的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過(guò)20

分的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機(jī)放入四個(gè)箱子，能否認(rèn)為該選手不會(huì)得到100分?請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析(1)由題意知，所抽取的20人中得分落在［0,20］內(nèi)的人數(shù)為0.0050x20x20=2,

得分落在(20,40］內(nèi)的人數(shù)為0.0075x20x20=3.

所以所抽取的20人中得分落在［0,20］內(nèi)的人數(shù)為2,得分落在(20,40］內(nèi)的人數(shù)為3.

(2)X的所有可能取值為0,1,2.

q1鋁①

IBIB

p(X=0)=S=,P(X=l)="^=,

陰3

P（X=2）=孝=n

.X的分布列為

1636

L,、八C訶TTU_m5

.-E（X）=0x+lx+2x=.

（3）答案不唯一.

答案示例1:可以認(rèn)為該選手不會(huì)需到130分.

理由:該選手獲得100分的概率是同，概率非常小，

故可以認(rèn)為該選手不會(huì)得到100分.

答案示例2:不能認(rèn)為該同學(xué)不可能得到100分.

理由:該選手獲得100分的概率是07，雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生,故不能認(rèn)為該選手不會(huì)得到100

分.

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)

11.1隨機(jī)事件、古典概型

一、選擇題

1.（2022屆山西長(zhǎng)治八中階段性測(cè)評(píng),6）從ABC,D四所大學(xué)中0機(jī)選取兩所大學(xué)參與北京冬奧會(huì)的志愿者

工作，則A校被選中的概率為（）

4qi

~rT2

答案A由題意知A校被選中的概率為『二4故選A.

2.（2021四川涼山州二診,3）一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他正整數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù).

我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是"每個(gè)大于2的偶數(shù)可

以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和"，如8=3+5.在不超過(guò)20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)地取兩個(gè)不同的雙其和等于20的概率是

（）

1113

7廣垣「ZB

AA.B.C.D.

答案C在不超過(guò)20的紊數(shù)2,3,5,7,11,13,17,19中，隨機(jī)地取兩個(gè)不同的數(shù),基本事件總數(shù)n=F=28,其

21

THT3

和等于20包含的基本事件有:（3,17）,（7,13）〃.其和等于20的概率P==.

3.（2021江西五市九校協(xié)作體聯(lián)考,4）為了讓居民了解垃圾分類，養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣,讓綠色環(huán)保理念深入

人心,某市將垃圾分為四類:可回收物、餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四類由9位同學(xué)組成四個(gè)

宣傳小組，其中可回收物宣傳小組有3位同學(xué)，餐廚垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣傳小組各有2位同學(xué).現(xiàn)從

這9位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng)，則每個(gè)宣傳小組至少選派1人的概率為（）

答案D現(xiàn)從9位同學(xué)中選派5人到某小區(qū)進(jìn)行宣傳活動(dòng),基本事件總數(shù)n=r=126,

每個(gè)宣傳小組至少選派1人包含的基本事件個(gè)數(shù)m=G（號(hào)）3+弓（%（馬2=60,

1116a1。

―17f71

則每個(gè)宣傳小組至少選派1人的概率p=?==

4.（2022屆廣西柳州鐵一中學(xué)"韜智杯”大聯(lián)考,8）某省新高考綜合改革實(shí)施方案將采用"3+1+2"模

式，"3"為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)所有學(xué)生必考；"1"為必須在物理、歷史中選一科；"2"為再選科目,考生須

在化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)科目中任選兩科.若不考慮主觀因素的影響，選擇各科是等可能的，則某同學(xué)

選擇含有地理學(xué)科組合的概率為（）

qqi

答案B由題意得該同學(xué)選擇含地理學(xué)科組合的概率為弓弓二號(hào)故選B.

5.（2021江西七校聯(lián)考,9）生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人,這里的"六藝"其實(shí)

源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)".為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)

生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了"六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足"數(shù)"必須排在前兩節(jié)，"禮"

和"樂(lè)"必須相鄰安排的概率為（）

77947

.IB_69_71_61

A.B.C.D.

延

答案B由題意知基本事件總數(shù)n="=720.

"數(shù)"必須排在前兩節(jié)，"禮"和"樂(lè)"必須相鄰可以分兩類安排：

①"數(shù)"排在第一位，"禮"和"樂(lè)"兩門課程相鄰排課，則￥L""樂(lè)"相鄰的位置有4個(gè),考慮兩者的順

序，有2種情況，剩下的3個(gè)全排列,安排在其他三個(gè)位置，有、=6種情況，故有4x2x6=48種.

②"數(shù)"排在第二位，"禮"和"樂(lè)"兩門課程相鄰排課，則"禮""樂(lè)"相鄰的位置有3個(gè),考慮兩者的順

序，有2種情況，剩下的3個(gè)全排列，安排在其他三個(gè)位置有口=6種情況，則有3x2x6=36種情況.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知滿足"數(shù)"必須排在前兩節(jié)，"禮"和"樂(lè)"必須相鄰安排的共有48+36=84種情

817

況，所以滿足"數(shù)"必須排在前兩節(jié)，"禮"和"樂(lè)"必須相鄰安排的概率為PM721：礎(chǔ)故選B.

二、解答題

6.（2022屆河南尖子生二診,18）一個(gè)不透明的布袋中有編號(hào)為2,3的兩個(gè)紅球,編號(hào)為234的三個(gè)黑球，這五

個(gè)球的質(zhì)地和大小完全相同，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.

（1）求取出的兩個(gè)球顏色不同的概率；

（2）求取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不為6的概率.

解析從五個(gè)球中任取兩個(gè)球的基本事件有:紅2紅3,黑2黑3,黑3黑4,黑2黑4,紅2黑2,紅2黑3,紅2

黑4,紅3黑2,紅3黑3,紅3黑4,共10個(gè).

(1)記"取出的兩個(gè)球顏色不同”為事件A,結(jié)果有:紅2黑2,紅2黑3,紅2黑4,紅3黑2,紅3黑3,紅3黑

63

4共6種〃中⑹尸上

3

(2)記”取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為6"為事件B,結(jié)果有:黑2黑4,紅2黑4,紅3黑3,..P(B)=n

記”取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不為6"為事件G則事件B與事件C互為對(duì)立事件，

37

nn

.?.P(C)=1-P(B)=1-=.

7.(2017課標(biāo)ID文,18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6

元，未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣

溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶;

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)

據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的

所有可能值,并估計(jì)Y大于零的概率.

解析(1)當(dāng)最高氣溫低于25時(shí)，這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻

24■吧不

率為-90=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.

(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，

若最高氣溫不低于25,貝ijY=6X450-4X450=900;

若最高氣溫位于區(qū)間［20,25)WJY=6X300+2X(450-300)-4X450=300;

若最高氣溫低于20,則Y=6x200+2x(450-200)-4x450=-100.

所以,Y的所有可能值為900,300,-100.

三7g

當(dāng)最高氣溫不低于20時(shí),Y大于零，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為=0.8,因此Y大

于零的概率的估計(jì)值為08

8.(2021海淀二模,18)為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì),普及冬奧知識(shí)，某地區(qū)小學(xué)陜合開(kāi)展了"冰雪答題

王"冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，將他們的競(jìng)賽成績(jī)(單位:分)用莖葉

圖記錄如下：

男女

58

80669

98570566688

87641866

862219588

(1)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率;

(2)從該地區(qū)參加該活動(dòng)的全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取2人,估計(jì)這4人中男生競(jìng)賽成績(jī)

在90分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多的概率；

(3)為便于普及冬奧知識(shí)，現(xiàn)從該地區(qū)某所小學(xué)參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中陵機(jī)選取10名男生、10名女

生作為冬奧宣傳志愿者.記這10名男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為pi,這10名女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為R,能否認(rèn)

為內(nèi)＞口2?說(shuō)明理由.

解析(1)由莖葉圖可知，隨機(jī)抽取的30名學(xué)生中男生有15名，其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的有5名,

所以隨機(jī)抽取的15名男生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的頻率為

1

所以從該地區(qū)參加該活動(dòng)的男生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率為M

(2)記Ai(i=l,2)表示"第i名男生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上”，Bj(j=l,2)表示"第j名女生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分

以上"工表示"4人中男生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)比女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)多”.

31

同(1),從該地區(qū)參加該活動(dòng)的女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該女生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上的概率為"二三則

121,12

P(C)=P(A1A2?^+A1A2^B2+A1A2B1^+^A2?^+A1&

SiS|S2S2S1

)=P(Ai)-P(A2)P()P()+P(Ai)P(A2)P(VP(