2023考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班習(xí)題解析

考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班習(xí)題解析

目錄

高等教學(xué)

耀盛

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)...........................................................1

考點(diǎn)I:函數(shù)的有界性、奇偶性、周期性與單調(diào)性......................................1

考點(diǎn)n：極限的概念與性質(zhì).........................................................2

考點(diǎn)m：未定式極限的計(jì)算.........................................................4

考點(diǎn)w：確定極限中的參數(shù).........................................................6

考點(diǎn)v：無(wú)窮小量的階.............................................................8

考點(diǎn)VI：函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)與間斷點(diǎn)...................................................10

考點(diǎn)VD：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).................................................11

考點(diǎn)皿：數(shù)列極限................................................................12

第二章一元函數(shù)微分學(xué)......................17

考點(diǎn)I：導(dǎo)數(shù)與微分的概念.......................................................17

考點(diǎn)n：導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算.......................................................19

考點(diǎn)m：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.............................................................22

考點(diǎn)W：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值.................................................24

考點(diǎn)V：曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線...............................................28

考點(diǎn)VI：不等式的證明...........................................................30

考點(diǎn)W：方程根的存在性與個(gè)數(shù)....................”?33

考點(diǎn)皿:微分中值定理的應(yīng)用................................................?，?“、35

第三章一元函數(shù)積分學(xué).........................................................39

考點(diǎn)I：原函數(shù)的概念...........................................................39

考點(diǎn)n：定積分的概念與性質(zhì).....................................................40

考點(diǎn)山：不定積分的計(jì)算......42

考點(diǎn)W：定積分的計(jì)算.....—..................................................44

0

考點(diǎn)V：變限積分...............................................................47

考點(diǎn)VI：反常積分...............................................................50

考點(diǎn)VH：定積分的應(yīng)用...........................................................52

考點(diǎn)皿:積分綜合題.............................................................56

第四章多元函數(shù)微分學(xué)...........................................................61

考點(diǎn)I：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念...................................................61

考點(diǎn)n:偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算...................................................62

考點(diǎn)HI：方程變換問(wèn)題...........................................................66

考點(diǎn)IV：多元函數(shù)的極值問(wèn)題.....................................................69

第五章二重積分.................................................................75

考點(diǎn)I：二重積分的概念與性質(zhì)...................................................75

考點(diǎn)n：對(duì)稱性的利用...........................................................76

考點(diǎn)田：坐標(biāo)系的選擇............................................79

考點(diǎn)IV：積分次序的選擇............................................-...........83

考點(diǎn)V：區(qū)域分塊...............................................................86

考點(diǎn)W：二重積分的綜合與應(yīng)用...................................................88

第六章常微分方程................;..............................................90

考點(diǎn)I:可分離變量的微分方程...................................................90

考點(diǎn)U：齊次方程...............................................................92

考點(diǎn)m：一階線性微分方程.......................................................93

考點(diǎn)N：可降階微分方程.........................................................95

考點(diǎn)V：常系數(shù)線性微分方程.....................................................96

考點(diǎn)VI：微分方程的解與線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)..................................99

考點(diǎn)VU：微分方程的應(yīng)用.........................................................102

第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)一、數(shù)三）...................................105

考點(diǎn)I:常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂.........................................................105

考點(diǎn)H：寨級(jí)數(shù)的概念...........................................................109

考點(diǎn)in：寨級(jí)數(shù)的和函數(shù)的計(jì)算...................................................“2

考點(diǎn)IV：函數(shù)的解級(jí)數(shù)展開(kāi)式的計(jì)算...............................................117

第八章多元函數(shù)積分學(xué)（數(shù)一專題）.............................................1煤

考點(diǎn)I:三重積分.........................................;....................1加二

%

考點(diǎn)n：第一類曲線積分.........................................................no

考點(diǎn)m：第二類曲線積分.........................................................122

考點(diǎn)N：格林公式、積分與路徑無(wú)關(guān)...............................................123

考點(diǎn)V：第一類曲面積分.........................................................126

考點(diǎn)VI：第二類曲面積分...................................................128

考點(diǎn)W：高斯公式與斯托克斯公式.................................................129

考點(diǎn)皿：多元積分的應(yīng)用.........................................................133

線性代數(shù)

第九章行列式....................................................................137

考點(diǎn)I；期型行列式...........................................................137

考點(diǎn)口：抽象型行列式...........................................................140

第十章矩陣......................................................................142

考點(diǎn)I:矩陣基本運(yùn)算與矩陣的幕的計(jì)算...........................................142

考點(diǎn)n：矩陣的初等變換.........................................................143

考點(diǎn)田：伴隨矩陣與可逆矩陣.....................................................144

考點(diǎn)IV：矩陣的秩................................................................146

考點(diǎn)V：矩陣方程................................................................148

第H—章向量....................................................................151

考點(diǎn)I:向顯組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān).............................................151

考點(diǎn)口：向量組之間的線性表示...................................................153

第十二章線性方程組.............................................................157

考點(diǎn)I：線性方程組有解的條件...................................................157

考點(diǎn)n：齊次線性方程組的解集、基礎(chǔ)解系等概念..................................158

考點(diǎn)田：線性方程組的解的結(jié)構(gòu)...................................................161

考點(diǎn)W：解具體線性方程組.......................................................163

考點(diǎn)V：解抽象線性方程組.......................................................168

考點(diǎn)VI：公共解與同解問(wèn)題.......................................................170

第十三章矩陣的特征值與特征向量...............................................173

考點(diǎn)I：特征值與特征向量的概念.................................................173

考點(diǎn)n：計(jì)算特征值與特征向量...................................................176

考點(diǎn)田：透過(guò)特征值與特征向康計(jì)算矩陣...........................................180

考點(diǎn)W：矩陣相覦問(wèn)題...........................................................182

考點(diǎn)V：利用相似對(duì)角化計(jì)算矩陣的賽.............................................186

第十四章二次型..................................................................189

考點(diǎn)I：二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形...............................................189

考點(diǎn)n：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.......................................................192

考點(diǎn)m：正、負(fù)慣性指數(shù).........................................................197

考點(diǎn)N：正定二次型.............................................................199

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第十五章隨機(jī)事件與概率.......................................................201

考點(diǎn)I：隨機(jī)事件的運(yùn)算律與常用概率公式……;...................................201

考點(diǎn)D：古典概型、幾何概型與伯努利概型........................................204

第十六章隨機(jī)變量及分布.......................................................207

考點(diǎn)I：隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律與概率密度..................................207

考點(diǎn)n：常見(jiàn)一維分布...........................................................209

考點(diǎn)m：隨機(jī)變量的函數(shù)的分布...................................................2H

第十七章多維隨機(jī)變量的分布..................................................214

考點(diǎn)I：二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律與概率密度..............................214

考點(diǎn)n：邊緣分布與條件分布.....................................................217

考點(diǎn)m：二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布............................................219

第十八章隨機(jī)變量的數(shù)字特征...................................................225

考點(diǎn)I：期望與方差的概念與計(jì)算.................................................225

考點(diǎn)口：協(xié)方差與相關(guān)系數(shù).......................................................228

第十九章數(shù)理統(tǒng)計(jì)...............................................................233

考點(diǎn)I：數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念.....................................................233

考點(diǎn)H：抽樣分布...................................235

考點(diǎn)DI：矩估計(jì)與最大似然估計(jì)...................................................237

高等數(shù)學(xué)

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

考點(diǎn)I:函數(shù)的有界性、奇偶性、周期性與單調(diào)性

Q以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()

?ln(secx+tanx)在(AF-,,kir+?)內(nèi)有定義,其中k為整數(shù).

②ln(secx*tanx)是奇函數(shù).

③ln(secx+tanx)是周期函數(shù)，且最小正周期為E

④In(即cx+tanx)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上均單謝減少.

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.

dDA.

(W)依次分析這四個(gè)命題.記/(])=In(secx+tanx).

①考慮/(x)的定義域要使得該函數(shù)有定義,需secxjanx均有定義且secx+tanx>0.sec%

tanxit|AF-：,Air+-)(A-為整數(shù))內(nèi)有定義,而secx+tanx=干,1+sinx在這些區(qū)間內(nèi)均

大于號(hào).故secx+lan*的符號(hào)取決于cosx的符號(hào).由于當(dāng)左為奇數(shù)時(shí),cos4住(ATT-三,AF+￡)內(nèi)小

「筆故ln(secx+tun4)僅在(2AF-m,2腦1+T)(4為整數(shù))內(nèi)行定義,命題⑴不正確，

②f(-^)=ln(secx-tunx).于,是

f(x)+/(-x)=ln(secx+tanx)+In(secx-tanx)=ln(scc2x-tan2x)=In1=0.

從而/(工)是奇函數(shù).命即②正確.

③由命題①以及2H為secX,tanx的共同周期可知2n為/(、)的周期，故該函數(shù)為周期函數(shù).

并且2宣為最小正周期.命題③不正確.

④計(jì)算((1).

…、secxtunx+sec2x

J(x)=-----------------=secx.

secx+lanx

在(2/Hr+制內(nèi),secx>。，故/(x)在該區(qū)間內(nèi)單.調(diào)增加1.該區(qū)間為/(z)的一個(gè)單

調(diào)增加區(qū)間./(X)的每個(gè)單調(diào)區(qū)間均為單調(diào)增加區(qū)間.命題④不正確.

綜上所述,應(yīng)選A.

2若/(X)=-/(-》)，在(0,+8)內(nèi)/?)>0,r(x)>0,則/(功在(-8,0)內(nèi)()

(A)/(#)<0，r(x)<0.(B)//(x)<0,r(x)>0.

(C)/Xx)>0,/"(x)<0.(D)ff(x)>0./*(x)>0.

(O)c.

(法一)由于/(“)=-/(-#),故/'⑴=-/，(-#)?(-1)=/'(7),/"⑴

當(dāng)X￡(-8,0)時(shí)，一*€(0,+8).由于當(dāng)〃W(0,+8)時(shí)，/%〃)>0,/*(U)>0.故

/'(7>0/(7)>0.

因此,/'(4)=/'(-#)>o./*(x)=-/“(7)<0.應(yīng)選仁

(法二)排除法.

取/(?)=/，則/(r)=3/,/"(x)=6x.在(0,+8)內(nèi)1(x)>o,/w(x)>0,而在

(-8.0)內(nèi)./，(*?)>0/(#)V0.由此可以排除選項(xiàng)A、B、D.

ain(”一2)

3函數(shù)/(工)=在F列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)右井()

x(x-l)(x-2)2

(A)(-1,0).(B)(0,l).(C)(l,2).(1))(2,3).

?A.

/(.*)的不連續(xù)點(diǎn)為#=0.*=1和#=2.

由sin(-3)sin3一*sin(-2)__sin2r

lim/(x)=(lim/(x)=lim=

L?一卜(-l)(-2)(-3)~W?蟲?X?(-1)-(-2/~丁，

知在區(qū)間(-1,0)內(nèi)/(4)有界.

注意到

lim/(x)=lim—如1C二UI

lim-0C.

物/⑴=四汽髭*.-2x-2

于是，/(、)在區(qū)間(0,1),(1,2),(2,3)內(nèi)無(wú)界.

因此,應(yīng)選A.

考點(diǎn)U:極限的概念與性質(zhì)

Q卜列各個(gè)極限式中,極限值存在的個(gè)數(shù)為(

1

Ilim|,v|7,②lim.vsin—,?lim-sin④lim-sin

x"一exxL--xT

(A)l個(gè).(B)2個(gè).(1))4個(gè).

B.

(g)分別考察四個(gè)極限式：

lim|xI"?=limx?lim=0,

>-?0*

limIr|7=lim(-.r)7

1-0-

lim“sin—

.I

sin一

1.1

rlim-sin-lim-----上,極限不存:在,

…xxi)x

I「nn1sin-1=0.

XX

蛭2

因此,①和③的極限值不存在,②和④的極限值存在.應(yīng)選B.

2若數(shù)列1/1的上界不存在，則下列說(shuō)法正確的是()

(A)｛：｝的上界必存在.

(B)對(duì)于任意給定的正數(shù)乩總有正整數(shù)〃,使得乙>M.

(C)對(duì)于任意給定的正數(shù)M,滿足x?<M的n只有有限個(gè).

(D)存在某正數(shù)M和正整數(shù)N,當(dāng)n>/V時(shí).有乙>M.

(fg)B.

⑥對(duì)于選項(xiàng)B,芍慮其有命題：若對(duì)于正數(shù)M,不存在正整數(shù)〃做得了”>的，即對(duì)于任意正

整數(shù)〃，都有匕W“,則M即為數(shù)列|乙1的上界,與題F矛盾.因此，應(yīng)選B.

舉反例來(lái)排除其他三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng).

則=","="一、于是.卜L｝的上界不存在,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于!叫叫=o,故對(duì)于任

nl〃?n=2A,"

意給定的正數(shù)財(cái).滿足x.<w的〃都有無(wú)窮多個(gè)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；而對(duì)于任意給定的正數(shù)M和正整數(shù)

M都能找到〃>N,使得九WM,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

?設(shè)數(shù)列以」收斂，則()

(A)^llimsinx,=0H?tJimx,=0.

■1B?*■

(B)當(dāng)lim(4+/T^T)==0.

(C)當(dāng)lim(#c+x：)=0Ihf.lifux=0.

it..H

(D)當(dāng)lim(/+sif)=OHtJim=0.

<W)I).

(法一)記lim/二”,則由sin4是連續(xù)函數(shù)以及l(fā)in】(K0+sinx?)=0可知,

H—??IT-

+sinxn)=w+sinu=0.

x=a是函數(shù)/(.v)=x+sinx的零點(diǎn).

注意到/(0)=0.又因?yàn)?'(%)=1+(以4NO,所以/(工)單調(diào)增加.于是4=0是/(")的唯

一零點(diǎn).。=0.因此，lim=0.應(yīng)選D.

I?TM

(法二)排除法.

對(duì)選項(xiàng)A,考慮X0=ir+—,JMlinisinx=0,但lim父=ir.

fl0n0T?1t

對(duì)選項(xiàng)B和選項(xiàng)C,考慮x“=-1+',則］而(#"+y|x?|)=0,lim(xw+1：)=0,但lim陽(yáng)，=

fl*f-*

-1.由排除法知,應(yīng)選D.

/3

。下列命題正確的是()

(A)若/(x)和4(、)均在處不連續(xù)，則/(x)g(x)在/處必不連續(xù).

(B)若以G在?％處連續(xù),且/(見(jiàn))=0,MlJlim/(x)g(x)=0.

L"

(C)若存在b>0,使得當(dāng)％w(3-6,&)時(shí),/(*)<g(i),并滿足)=a,limg\x)=

L砧r”6

6,則必有a<b.

(D)若lim/(x)=limg(.t)=b<b,則必存在另>0,使得當(dāng)ie(x0-3,x0)

>-?^0

時(shí)，/(#)<g(x).

您對(duì)于選項(xiàng)D,由于lim[/(x)-g(x)]=a-b<(),故由極限的局部保號(hào)性知，必存在

8>0,使得當(dāng)xe(x0-5,x0)時(shí)、/(%)-g(x)<0.因此，應(yīng)選D.

舉反例來(lái)排除其他三個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng).

選項(xiàng)A：若/(4)=g(x)=「、*‘?！瘎t/(1)?(、?)三1在I=0處連續(xù).選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

”,?<0,

選項(xiàng)B：若/(x)=['**°'g(x)01Mlim/(x)g(x)=1.選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

S,X=0tI

選項(xiàng)C：若/(%)=2z,g(x)=%則當(dāng)4G(0-以0)時(shí)，/(4)<g(#),但lim/(x)=

■T-

limg(z)=0.選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

考點(diǎn)III:未定式極限的計(jì)算

n..3￡+5.2

IInn-----sin一二

-5%+3x

答案)應(yīng)填爭(zhēng).

.22

/S\..3.r+5.2*X3*+56

解Ilim__sin=Inn--------2=Iini§4±12

5x+3x3-5x+3X亍

2lim(tunx)

T

答案)應(yīng)填小工

解)湊重要極限.

lim(lanA;)-???lim(I4-Ianx-1)=liin(I+tunx-1)

7TT

由于

..lanx-1..lanx-I../1\后

lim--------------：-----=iim-------------------------r-r=limI-----------I=-V2,

??xcosx-sinx,-J!-cosx(tanx-1),.?'cosx'

44r4

故原極限等于C-".

"4

3Iitn[+2+…+/i-5/l+24',??+(n-1)]=

(fl)應(yīng)填f-

您根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,1+2+…+〃=4號(hào)山，1+2+=%J）

于是,

原極限=lim[、/"2二)-i]=拿,磯+1)-Vn(n-1)]

4理化v2n(n+l)-">-1)_72巾“___________2〃

2lb4(〃+i)+Vn{n-1)2--4(n+1)+>/n(n-1)

J2.2旦

=kthm-:'--------."-

2-/TTT+尸=r

7nVn

4設(shè)/⑷=lim,（一「，則/（）=

答案）應(yīng)填（21+l）e±

?計(jì)算/（，）.

r-t2i

一.'..：

/⑴“I叫頭）’;7吧（1

由于1而且二=2，，故/（，）=te2'.

??。4—￡

因此，/'（，）=（m"）'=（2/+I）/.

求極限lim,[(1+/)/"出.

x-<?X為

“5

（B）將一提到積分號(hào)外，再使用洛必達(dá)法則可得.

f(I+r)e,wd/

(I+(1+-)『山

人)t.

lim---------------二lim

I?*X

??(1+2.v")<?'2

2J

求極限加'，其中〃是給定的白然數(shù).

71〃

您湊巾要極限.

HI

lim(>>廣+=lim(I+

■

?-o'n

2A+.???+,e?

廣面計(jì)算lim

1-0X

+???+n(/i+1)

■,洛必達(dá)../+2/+

nne"I+2+,,,+/I2n+I

--------■-lim-----------------

，七xJITn

因此,原極限=。產(chǎn).

考點(diǎn)IV：確定極限中的參數(shù)

口加叫（曰七廣…加"______.

?-,0'1+larix/

（X）應(yīng)填-2.

（g）（法一）對(duì)原極限進(jìn)行恒等變形.再湊市要極限

回曰第產(chǎn)="（」iim(|-21alik?rS^-^rr

I+tanx

因?yàn)?/p>

-2tanx1tanx*x

lirn)=lim/產(chǎn)lim滬=-y

s\]+tanxsinkxf?osinkxsinkx~kx*-okxk

所以原極限=e葉=e.

因此，~=1,k=-2.

k

（法二）取對(duì)數(shù)，再求極限.

1-tanx廣=叫法/（田）=c1』

r-'I+tanx

-2iimi

■.

3-田?上"e』羔=e

Qan工~

sinkx~kx

*6

由于原極限=G,故-半=1,即4=-2.

K

已知函數(shù)（）連續(xù),且竺必立,則（）

2/.!■limVL1=I/0:

…（小-1）/（*）

誓)應(yīng)填2.

由于/(4)連續(xù)，故lim/U)=/(0)=0.因此，當(dāng)xfO時(shí),

?r-0,V

1-cosine*)]~yA：2/2(X).

又由于當(dāng)XT0時(shí),』-1~/，故

cos[x/U)J=2——=limj/(x)^y/XO).

I=limlim

?4)-l)/(x)-x2f(x)

因此,/(0)=2.

求正常數(shù)a與〃,使等式lim；-—f-df=1成立.

r?oox-sin4Ah+J

?將原極限改寫為"\綜二這是一個(gè)誓型未定式'對(duì)其使用洛必達(dá)法則可得.

當(dāng)％—?0時(shí),cosxt1.若b*1,則

lim-二.------------------lim---------=0^1.

'"，Ja+/(6-cosx)""7a(6—1)

這與題設(shè)矛盾.因此R=1.

當(dāng)〃=1時(shí)，

2

2.1].-cosX~X]2

原極限=lim---------------------=—lim--------二lim與=下

…，TkC-cusx)J…I…一石―今石

當(dāng)且僅當(dāng)a=4時(shí),原極限=芻=1.因此,a=4.

74

綜上所述,q=4,//=1.

（思考題）設(shè)/品）在％=。的某去心鄰域內(nèi)有定義，同lim|.求

廣?oiZx'J

limM

Ix

（W）由!叫卜--9+,與［==?可知,

?7

即

In卜…：+寫］

lim--------------j-------------------=0.

Ixf

要求|而/12,故可以利用已得結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3X

In卜-X-ln［l+/7一。+-^--11一巨-I

2#」_］：_L2x:J2x-

-----------------z-----------------lim-----------------------==lim--,

x-------…/------------------------------------------------/

JIU

P-I-Y——-

..2/(x)

=lim-----------：---------+hm*4~~=0n.

…X￡-X

.I/

e—1—x—■-―

由于lim----------5--------1-!，故［=-j.

Ixo*-ox6

考點(diǎn)V：無(wú)窮小量的階

Q當(dāng)竄一0時(shí)，/(#)-sin與g(無(wú))=,rln(l-bx)是等價(jià)無(wú)窮小量,則()

(A)a=1,6=-4-?(B)o=1,6=-?

o6

(C)a=-1,6=一；?(D)?=-I=g.

oo

(W)A.

您由題設(shè)知M#0.當(dāng)工―0時(shí),ln(l-舐)~-床,從而

當(dāng)工-?0時(shí)，分母-3及？趨尸0,故分子也趨FO,UPIim(1-acosax)=1-a=0.尸是a=1,從而

L?O

..1-ocosax..1-cosx洛必達(dá)..sinxI

lim-----------；—=lim----------z-■lim-73-=-77.

—3bx—3bx~。?一6ox6//

因此W=1,即b=?..選A.

當(dāng)4To.時(shí),若Z(1+2x),(1-cosx)：均是比4高階的無(wú)窮小依,則a的取值范闈

是()

(A)(2.+8).(B)(L2).(C)(i1).(D)(0,

(fW)B-

?8

解當(dāng).t—?()?時(shí),hi(I+2x)~2x,I-cosx~^2X-若g"(1+2x)和(1-cosx)"均為比x高

a>1.

階的無(wú)窮小hl,則（2*）。與（卜二廣也均為比.1?高階的無(wú)窮小量，即

2解得I<aV2.應(yīng)選B.

—>1,

a

3當(dāng)4To時(shí).1-cosx-cos2x-cos3x與ax為等價(jià)無(wú)窮小垃.求n與a的值.

?記/=lini1-cusXCO^ACOsjx由題設(shè)./二L

?-0ax

（法一）我們先利用函數(shù)的積化和差公式將cosxeos2xcos3x作恒等變形?然后再利用洛

必達(dá)法則來(lái)計(jì)算/.

由積化和差公式,我們有

cos.vcos2.t<'os3.r=(<(>s4.v+cos2x)cos2x=cos6x+cos2x)+-j-cos4x—

=1(1+cns2x+cos4x+cos6x),

從而.

/—cos2.v+