3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式講義新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE6第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系.(重點(diǎn))2.初步學(xué)會(huì)用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過運(yùn)用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系,培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.在學(xué)習(xí)利用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),培育學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.在日常生活中,購買火車票有一項(xiàng)規(guī)定:伴同成人旅行,身超群過1.2m(含1.2m)而不超過1.5m的兒童,享受半價(jià)客票(簡稱兒童票),超過1.5m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票.每一名成人旅客可免費(fèi)攜帶一名身高不足1.2m的兒童,超過一名時(shí),超過的兒童應(yīng)買兒童票.問題:在上述情境中,假如設(shè)兒童的身高為hm,如何用含h的不等式來描述一名買兒童票的兒童的身高?答案1.2≤h≤1.5.1.基本領(lǐng)實(shí)實(shí)數(shù)a,b大小的比較:依據(jù)a>b?①a-b>0;a=b?②a-b=0;a<b?③a-b<0結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的④差與⑤0的大小思索1:x2+1與2x兩式都隨x的改變而改變,其大小關(guān)系并不明顯,你能想個(gè)方法比較x2+1與2x的大小嗎?提示作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.思索2:當(dāng)x=3時(shí),x≥3成立嗎?提示當(dāng)x=3時(shí),x≥3成立.事實(shí)上,當(dāng)x>3和x=3中有一個(gè)成立時(shí),x≥3就成立.2.重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2⑥≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.探究一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1某汽車公司因發(fā)展須要,需購進(jìn)一批汽車,安排運(yùn)用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車,依據(jù)須要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿意上述全部不等關(guān)系的不等式組.解析設(shè)購買的A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛,則40x思維突破(1)將多個(gè)不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路①讀懂題意,把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言,找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量;②選取恰當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.(2)常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于,高于,超過小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超過符號(hào)語言><≥≤1.一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料須要主要原料磷酸鹽4噸、硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車皮乙種肥料須要主要原料磷酸鹽1噸、硝酸鹽15噸.現(xiàn)有磷酸鹽10噸、硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行生產(chǎn).請用不等式或不等式組把題目中的不等關(guān)系表示出來.解析設(shè)x,y分別為安排生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù),則4x探究二作差法比較大小例2已知x≤1,比較3x3與3x2-x+1的大小.解析3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵x≤1,∴x-1≤0,3x2+1≥1,∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.思維突破作差法比較大小的基本步驟2.(1)(變條件)把例2中的“x≤1”變?yōu)椤皒∈R”,再比較3x3與3x2-x+1的大小;(2)(變條件)把例2中的兩個(gè)代數(shù)式變?yōu)?x2+1與2x2+3x-1,其他條件不變,比較這兩個(gè)代數(shù)式的大小.解析(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).易知3x2+1≥1,當(dāng)x>1時(shí),x-1>0,∴3x3>3x2-x+1;當(dāng)x=1時(shí),x-1=0,∴3x3=3x2-x+1;當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.(2)3x2+1-(2x2+3x-1)=x2-3x+2=(x-2)(x-1),∵x≤1,∴x-2<0,x-1≤0,∴(x-2)(x-1)≥0,∴3x2+1≥2x2+3x-1.探究三不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用例3為打造“書香校內(nèi)”,某學(xué)校安排用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍組建中、小型兩類圖書角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書角需科技類書籍80本,人文類書籍50本;組建一個(gè)小型圖書角需科技類書籍30本,人文類書籍60本.設(shè)組建中型圖書角x個(gè),用不等式組將題目中的不等關(guān)系表示出來,并求出那些符合題意的組建方案.解析因?yàn)榻M建中型圖書角x個(gè),所以組建小型圖書角(30-x)個(gè),則0<x<30解得18≤x≤20,x∈N*,所以x的取值是18,19,20.當(dāng)x=18時(shí),30-x=12;當(dāng)x=19時(shí),30-x=11;當(dāng)x=20時(shí),30-x=10.故有三種組建方案:方案一,組建中型圖書角18個(gè),小型圖書角12個(gè);方案二,組建中型圖書角19個(gè),小型圖書角11個(gè);方案三,組建中型圖書角20個(gè),小型圖書角10個(gè).易錯(cuò)點(diǎn)撥(1)依據(jù)實(shí)際問題列不等式(組)的關(guān)鍵是通過分析找出問題中的不等關(guān)系,并確定不等號(hào),然后寫出不等號(hào)兩邊的代數(shù)式.(2)依據(jù)實(shí)際問題列出不等式(組),應(yīng)從符合實(shí)際意義動(dòng)身,而不能拘于某一種形式.3.某公司有20名技術(shù)人員,安排開發(fā)A、B兩類電子器件共50件,每類每件所需人員和預(yù)料產(chǎn)值如下:產(chǎn)品種類每件須要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬元/件)A類17.5B類16現(xiàn)制訂安排欲使總產(chǎn)值最高,則應(yīng)開發(fā)A類電子器件件,最高產(chǎn)值為萬元.

答案20;330解析設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x(0≤x≤50,x∈N*)件,總產(chǎn)值為y萬元,則開發(fā)B類電子器件(50-x)件,由x2+50由題意,得總產(chǎn)值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,當(dāng)且僅當(dāng)x=20時(shí),y取得最大值,且最大值為330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件,最高產(chǎn)值為330萬元.1.下列能表示“a不比b小”的不等關(guān)系的是()A.a-b>0 B.a-b<0C.a-b≥0 D.a-b≤0答案C“a不比b小”意味著“a與b的差大于等于0”,故選C.2.在開山工程爆破時(shí),已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米,人跑開的速度是每秒4米,為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100米以外的平安區(qū),導(dǎo)火索的長度x(厘米)應(yīng)當(dāng)滿意的不等式為()A.4×2x≥100 B.4×2x≤100 C.4×2x>100 D.4×2x<100答案C當(dāng)導(dǎo)火索的長度為x厘米時(shí),燃燒的時(shí)間為2x秒,人跑開的距離為4×2x米,為了保證平安,有4×2x>100.3.若實(shí)數(shù)a>b,則a2-abba-b2.(填“>”或“<”)

答案>解析因?yàn)?a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0,即a2-ab>ba-b2.4.設(shè)x∈R,比較x1+x2解析x1+x2-12=2x-1-邏輯推理——作差法證明不等式已知a>0,求證:a+1a素養(yǎng)探究:用作差法證明不等式的關(guān)鍵是對差式進(jìn)行變形,其方法有配方、通分、分解因式等.解答本題可利用配方法把差式化為完全平方式以確定其符號(hào),過程中體現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng).證明a+1a-2=(a)2+1a2-2=∴a+1a已知a,b均為正實(shí)數(shù),證明:a3+b3≥a2b+ab2.證明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).當(dāng)a=b時(shí),a-b=0,則a3+b3=a2b+ab2;當(dāng)a≠b時(shí),(a-b)2>0,∵a,b均為正實(shí)數(shù),∴a+b>0,則a3+b3>a2b+ab2.綜上所述,a3+b3≥a2b+ab2.1.下列說法正確的是()A.某人的月收入x元不高于2000元可表示為“x<2000”B.小明的身高為x,小華的身高為y,則小明比小華矮可表示為“x>y”C.變量x不小于a可表示為“x≥a”D.變量y不超過a可表示為“y≥a”答案C對于A選項(xiàng),x應(yīng)滿意x≤2000,故A錯(cuò)誤;對于B選項(xiàng),x,y應(yīng)滿意x<y,故B錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),x與a的關(guān)系可表示為“x≥a”,故C正確;對于D選項(xiàng),y與a的關(guān)系可表示為“y≤a”,故D錯(cuò)誤.2.某校對高一美術(shù)生劃定錄用分?jǐn)?shù)線,要求專業(yè)成果x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成果z超過45分,用不等式組表示為()A.x≥95y≥380z>45答案D3.設(shè)M=x2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是()A.M>N B.M=N C.M<N D.與x有關(guān)答案A∵M(jìn)-N=x2+x+1=x+122∴M>N.4.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A、B的大小關(guān)系是()A.A≤B B.A≥BC.A<B或A>B D.A>B答案B∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=a-b22+5.不等式a2+4≥4a中,等號(hào)成立的條件為.

答案a=2解析令a2+4=4a,則a2-4a+4=0,即(a-2)2=0,∴a=2.6.某商品的包裝上標(biāo)有質(zhì)量(500±1)克,若用x表示商品的質(zhì)量,則可用含肯定值的不等式表示該商品的質(zhì)量為.

答案|x-500|≤1解析∵某商品的包裝上標(biāo)有質(zhì)量(500±1)克,若用x表示商品的質(zhì)量,則-1≤x-500≤1,∴|x-500|≤1.7.已知a,b為實(shí)數(shù),則(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).(填“>”“<”或“=”)

答案<解析因?yàn)?a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=a2-2a-15-(a2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).8.已知甲、乙、丙三種食物的維生素A,B含量及成本如下表:甲乙丙維生素A(單位/kg)600700400維生素B(單位/kg)800400500成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三種食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物,并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.試用x,y表示混合食物成本c元,并寫出x,y所滿意的不等關(guān)系.解析依題意得c=11x+9y+4z,又x+y+z=100,∴c=400+7x+5y.由600x得2∴x,y所滿意的不等關(guān)系為29.(多選)下列不等式正確的是()A.x2+3>2x(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab答案ACD對于A選項(xiàng),x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x;對于B選項(xiàng),a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)2,(a-b)2≥0,但a+b的符號(hào)不能確定,∴B不肯定正確;對于C選項(xiàng),a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1);對于D選項(xiàng),a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.10.已知a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù),P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P與Q的大小關(guān)系是()A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q答案A∵P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,且a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù),∴等號(hào)取不到,∴P>Q,故選A.11.一個(gè)棱長為2的正方體的上底面有一點(diǎn)A,下底面有一點(diǎn)B,則A、B兩點(diǎn)間的距離d滿意的不等式為.

答案2≤d≤23解析最短距離是棱長2,最長距離是正方體的體對角線長23.故2≤d≤23.12.當(dāng)m>1時(shí),m3與m2-m+1的大小關(guān)系為.

答案m3>m2-m+1解析m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1),∵m>1,∴(m-1)(m2+1)>0,∴m3>m2-m+1.13.已知a,b,