3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.2對數(shù)運(yùn)算法則講義新人教B版必修第二冊

PAGEPAGE9對數(shù)運(yùn)算法則課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).(重點(diǎn))2.能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).(難點(diǎn))3.會(huì)運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行一些簡潔的化簡與證明.(易錯(cuò)點(diǎn)、重點(diǎn))1.通過對數(shù)運(yùn)算法則的學(xué)習(xí),培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.通過對數(shù)換底公式的學(xué)習(xí),提升邏輯推理的核心素養(yǎng).問題:有了乘法口訣,我們就不必把乘法還原成加法來計(jì)算.那么,有沒有類似乘法口訣的東西,使我們不必把對數(shù)式還原成指數(shù)式就能計(jì)算呢?答案有.1.對數(shù)的運(yùn)算法則假如a>0,且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么:(1)loga(MN)=①logaM+logaN;loga(N1N2…Nk)=②logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,…,k).(2)logaMα=③αlogaM.(3)logaMN=④logaM-logaN2.換底公式logab=⑤log思索:運(yùn)用換底公式時(shí),應(yīng)留意什么?提示①在運(yùn)用換底公式時(shí),底數(shù)大于0且不等于1,底數(shù)的取值不唯一,應(yīng)依據(jù)實(shí)際狀況選擇.②換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)變更,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題.3.換底公式常用推論(1)loganbn=log(2)logambn=nm(3)logab·logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1);(4)logab·logbc·logcd=logad(a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,c≠1,d>0).探究一利用對數(shù)的運(yùn)算法則求值例1(1)計(jì)算:log327+lg4+lg25+-1(2)計(jì)算下列各式的值:①lg5100;②log2(47×25);③(lg2)2解析(1)原式=32+lg102+1=32+2+1=9(2)①lg5100=15lg102=25②log2(47×25)=log247+log225=log222×7+log225=2×7+5=19.③(lg2)2+lg20×lg5=(lg2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1-(lg2)2=1.思維突破對數(shù)式的化簡求值一般是正用或逆用公式,對真數(shù)進(jìn)行處理,選哪種策略化簡取決于問題的實(shí)際狀況,一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.1.計(jì)算下列各式的值:(1)2log23-log2638+log27-7(2)log33+lg25+lg4-log2(log216).解析(1)2log23-log2638+log27-7=log29-log2638+log2=log29×8(2)原式=12log33+lg(25×4)-2=12+2-2=探究二對數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用例2(易錯(cuò)題)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b),則log4ab的值為易錯(cuò)辨析:將對數(shù)形式化為代數(shù)形式時(shí),忽視真數(shù)的取值范圍致誤.答案1解析依題意,得a>0,b>0,a-2b>0,原式可化為ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,等號兩邊同時(shí)除以b2得ab2-5ab+4=0,解得ab∵a-2b>0,∴ab>2,∴a∴l(xiāng)og4ab易錯(cuò)點(diǎn)撥在將對數(shù)形式轉(zhuǎn)化成其他形式時(shí),肯定要先確定字母的取值范圍,再求值.2.已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,則xy=答案1解析∵2lg(x+y)=lg2x+lg2y,∴l(xiāng)g(x+y)2=lg4xy,∴(x+y)2=4xy,即(x-y)2=0,∴x=y,∴xy探究三對數(shù)換底公式的應(yīng)用例3已知3a=4b=c(c>0,且c≠1),且1a+1解析由3a=4b=c(c>0,且c≠1),得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1又1a+1b=2,所以logc3+logc4=log即c2=12,所以c=23.思維突破應(yīng)用換底公式時(shí)的留意點(diǎn)(1)利用換底公式可以把不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),要留意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.(2)題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時(shí),要留意將指數(shù)式與對數(shù)式化成一種形式.3.(1)(變條件)將本例中的條件“1a+1b=2”改為“1a(2)(變條件、變結(jié)論)將本例條件改為“已知正數(shù)a,b,c滿意3a=4b=6c”,求證:1c-1a=解析(1)由3a=4b=c(c>0,且c≠1)得a=log3c,b=log4c,所以1a=1log3c=logc3,1又1a-1b=2,所以logc3-logc4=logc即c2=34,所以c=3(2)證明:設(shè)3a=4b=6c=k(k>1),則a=log3k,b=log4k,c=log6k,所以1c-1a=1log6k-=logk63=logk12b=12log4k=所以1c-1a=1.計(jì)算log84+log82等于()A.log86 B.8C.6 D.1答案Dlog84+log82=log8(4×2)=log88=1.2.若2a=3b(ab≠0),則log32=()A.ba B.C.ab D.a答案A2a=3b?alg2=blg3,故log32=lg2lg3=ba3.下列等式成立的是()A.loga(x-y)=logax-logayB.logaxlogC.logaxy=logax-logaD.logaxy=答案C4.若3a=2,則2log36-log38=(用a表示).

答案2-a解析∵3a=2,∴a=log32,∴2log36-log38=2(log32+log33)-3log32=-log32+2=2-a.5.方程lgx+lg(x+3)=1的解是x=.

答案2解析原方程可化為lg(x2+3x-10)=0,∴x>數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)——利用對數(shù)運(yùn)算求解實(shí)際問題依據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080,則下列各數(shù)中與MN(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093素養(yǎng)探究:從實(shí)際問題中抽象出關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為對數(shù)運(yùn)算,利用運(yùn)算法則求解,在此過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).答案D解析設(shè)MN=3361∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴l(xiāng)gt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故選D.地震的震級R與地震釋放的能量E的關(guān)系式為R=23(lgE-11.4).若A地的地震級別為9.0級,B地的地震級別為8.0級,則A地的地震釋放的能量是B地的地震釋放的能量的答案1010解析由R=23(lgE-11.4),得32故E=103設(shè)A地和B地的地震釋放的能量分別為E1,E2,則E1E2=103——————————————課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練—————————————1.設(shè)a,b,c均為不等于1的正實(shí)數(shù),則下列等式中恒成立的是()A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.loga(bc)=logab·logacD.loga(b+c)=logab+logac答案B利用對數(shù)的換底公式進(jìn)行驗(yàn)證,logab·logca=logcblogc2.lg2516-2lg59+lgA.lg2 B.lg3 C.lg4 D.lg5答案A解法一:lg2516-2lg59+lg32解法二:lg2516-2lg59=lg25163.設(shè)a=log32,則log38-2log36=()A.a-2 B.3a-(1+a)2C.5a-2 D.-a2+3a-1答案A∵a=log32,∴l(xiāng)og38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.4.計(jì)算:log225·log322·log59=()A.3 B.4 C.5 D.6答案D原式=lg25lg2·lg22lg3·2lg5lg2·32lg25.若x=60,則1log3x+A.1 B.12 C.2答案A當(dāng)x=60時(shí),原式=1log360+=log603+log604+log605=log60(3×4×5)=1.6.計(jì)算:(log43+log83)(log32+log92)=()A.1 B.54 C.2 D.答案B(log43+log83)(log32+log92)=12=56log23·32log32=7.已知3a=2,3b=15,則32a-b=答案20解析∵3a=2,3b=15,兩邊取對數(shù)得a=log32,b=log315=-log3∴2a-b=2log32+log35=log320,∴32a-b=20.8.若logab·log3a=4,則b的值為.

答案81解析logab·log3a=lgblga·lgalg3=lgb9.(2024山東淄博高一月考)計(jì)算下列各式的值:(1)lg12.5-lg58+lg1(2)12lg25+lg2+lg10+lg(0.01)-1(3)log2(log264).解析(1)原式=lg252=lg10=1.(2)原式=lg[2512×2×1012×(10=lg(5×2×1012×102)=lg107(3)原式=log2(log226)=log26=1+log23.10.(多選)對于a>0,a≠1,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.若M=N,則logaM=logaNB.若2M=2N,則M=NC.若logaM2=logaN2,則M=ND.若M=N,則M12答案ACD對于A選項(xiàng),當(dāng)M=N≤0時(shí),對數(shù)式無意義,故A中說法不正確;對于B選項(xiàng),因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)且定義域?yàn)镽,所以若2M=2N,則M=N成立,故B中說法正確;對于C選項(xiàng),當(dāng)M2=22,N2=(-2)2時(shí),有l(wèi)ogaM2=logaN2,但M≠N,故C中說法不正確;對于D選項(xiàng),當(dāng)M=N≤0時(shí),x-111.已知f(x)=x+log2x9A.37 B.6 C.36 D.9答案C∵f(x)=x+log2x9-=x+log2∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=[f(1)+f(8)]+[f(2)+f(7)]+[f(3)+f(6)]+[f(4)+f(5)]=9×4=36.12.若2a=5b=10,則a=,1a+1b=答案log210;1解析∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴1a+1b=1lo13.設(shè)方程ln2x-lnx-2=0的兩根是α,β,則logαβ+logβα=.

答案-52解析∵ln2x-lnx-2=0的兩根為α,β,∴l(xiāng)nα,lnβ是方程t2-t-2=0的兩根,∴l(xiāng)nα+lnβ=1,lnα·lnβ=-2,∴l(xiāng)ogαβ+logβα=lnβln=ln2=1+2×2-2=-14.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0且a≠1),求log8yx解析由對數(shù)的運(yùn)算法則,可將等式化為loga[(x2+4)(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],所以(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1),整理得x2y2+x2+4y2-10xy+9