高中數(shù)學(xué)4.1函數(shù)的單調(diào)性與極值4.1.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性課件北師大版

4.1.1

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:名師點(diǎn)撥對(duì)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f'(x)=0,在其余的點(diǎn)恒有f'(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類(lèi)似).(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0,且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f'(x)不恒為0.【做一做1】

f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)是(

)A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)答案:B【做一做2】

函數(shù)y=x2-4x+a的遞增區(qū)間為

,遞減區(qū)間為

.

解析:y'=2x-4,令y'>0,得x>2;令y'<0,得x<2,所以y=x2-4x+a的遞增區(qū)間為(2,+∞),遞減區(qū)間為(-∞,2).答案:(2,+∞)

(-∞,2)思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在定義域上是增加的.(

)(2)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大,函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”.(

)(3)利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)不能忽略定義域.(

)答案:(1)√

(2)√

(3)√探究一探究二探究三思維辨析【例1】

函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像可能是(

)探究一探究二探究三思維辨析解析:從原函數(shù)y=f(x)的圖像可以看出,其在區(qū)間(-∞,0)上是減少的,f'(x)<0;在區(qū)間(0,x1)上是增加的,f'(x)>0;在區(qū)間(x1,x2)上是減少的,f'(x)<0;在區(qū)間(x2,+∞)上是增加的,f'(x)>0.結(jié)合選項(xiàng)可知,只有D項(xiàng)滿(mǎn)足.答案:D反思感悟1.利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性的方法:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性比利用函數(shù)單調(diào)性的定義簡(jiǎn)單得多,只需判斷導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的正負(fù)即可.2.通過(guò)圖像研究函數(shù)單調(diào)性的方法:(1)觀察原函數(shù)的圖像重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn),分析函數(shù)值的變化趨勢(shì);(2)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖像重在找出導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn),分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù).探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f'(x)的圖像如圖所示,則y=f(x)的圖像最有可能的是

(

)探究一探究二探究三思維辨析解析:由f'(x)的圖像知,當(dāng)x∈(-∞,0)∪(2,+∞)時(shí),f'(x)>0,x∈(0,2)時(shí),f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)與(2,+∞)上是增加的,在區(qū)間(0,2)上是減少的,對(duì)照選項(xiàng)知應(yīng)選C.答案:C探究一探究二探究三思維辨析【例2】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=x3-3x+1;分析直接求導(dǎo)數(shù),然后解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式.解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,則3x2-3>0,即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1.∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).令f'(x)<0,則3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1.∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(-1,1).探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為:①確定函數(shù)f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)f'(x);③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開(kāi).探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖像過(guò)點(diǎn)P(1,2),且在點(diǎn)P處的切線斜率為8.(1)求a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.探究一探究二探究三思維辨析解(1)∵函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)P(1,2),∴f(1)=2.∴a+b=1.①又函數(shù)圖像在點(diǎn)P處的切線斜率為8,∴f'(1)=8,又f'(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5.②解由①②組成的方程組,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3),探究一探究二探究三思維辨析解(法一:直接法)f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.當(dāng)a-1≤1,即a≤2時(shí),函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合題意.當(dāng)a-1>1,即a>2時(shí),f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上是增加的,在(1,a-1)上是減少的,由題意知(1,4)?(1,a-1)且(6,+∞)?(a-1,+∞),所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].探究一探究二探究三思維辨析(法二:數(shù)形結(jié)合法)如圖所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].∵在(1,4)內(nèi)f'(x)≤0,在(6,+∞)內(nèi)f'(x)≥0,且f'(x)=0有一個(gè)根為1,∴另一個(gè)根在[4,6]上.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].探究一探究二探究三思維辨析(法三:轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題)f'(x)=x2-ax+a-1.因?yàn)閒(x)在(1,4)上是減少的,所以f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因?yàn)?<x+1<5,所以當(dāng)a≥5時(shí),f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,又因?yàn)閒(x)在(6,+∞)上是增加的,所以f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,所以a≤x+1,因?yàn)閤+1>7,所以當(dāng)a≤7時(shí),f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.綜上知5≤a≤7.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5,7].探究一探究二探究三思維辨析反思感悟恒成立問(wèn)題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.探究一探究二探究三思維辨析∵x2>0,∴2x3-a≥0,∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3是單調(diào)遞增的,∴(2x3)min=16,∴a≤16.∴a的取值范圍是(-∞,16].探究一探究二探究三思維辨析因錯(cuò)誤理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系而致誤【典例】

已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上是減少的?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.易錯(cuò)分析易錯(cuò)誤地認(rèn)為f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充要條件,正確的理解應(yīng)該是充分條件而非充要條件.探究一探究二探究三思維辨析解(1)由已知,得f'(x)=3x2-a.∵f(x)在R上是增函數(shù),∴f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0.∴a的取值范圍是(-∞,0].(2)存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足題意.由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2在(-1,1)上恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3.∴只需a≥3.故存在實(shí)數(shù)a∈[3,+∞),使f(x)在(-1,1)上是減少的.探究一探究二探究三思維辨析糾錯(cuò)心得平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)一定要對(duì)每一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)理解透徹.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意f'(x)>0(或f'(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增(或遞減)的充分條件,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,因此,在已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增加的(或減少的)求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)用f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在區(qū)間(a,b)上恒成立,解出參數(shù)的取值范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增加的,求a的取值范圍.123451.如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像,則下列判斷正確的是(

)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)上是減少的B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,2)上是減少的C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減少的D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,2)上是單調(diào)函數(shù)解析:由導(dǎo)函數(shù)的圖像易判斷在區(qū)間(-3,0)上f'(x)<0,所以f(x)在(-3,0)上是減少的,故選A.答案:A123452.函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(

)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1)解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y'>0?x2+2x-3<0?-3<x<1,∴函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(-3,1).故選D.答案:D123453.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-9lnx在區(qū)間[a-1,a+1]上是減少的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.1<a≤2 B.a≥4C.a≤2 D.0<a≤3答案:A123454.若函數(shù)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函數(shù),則m的取值范圍是

.