高三空間幾何復(fù)習(xí)

PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直空間向量基本定理：任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底。特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用表示。推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使

或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有

注意：證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的兩個(gè)依據(jù)實(shí)數(shù)對(duì)定理共線向量共面向量向量?jī)蓚€(gè)向量共線三個(gè)向量共面點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)共線四個(gè)點(diǎn)共面中點(diǎn)公式重心公式APBO單位正交基底，空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)xyzO(x,y,z)ijkPP’OP=OP’+P’P=Xi

+y

j+z

k啟示：空間向量OP

=(x,y,z)

Xiy

jz

k則叫做點(diǎn)A

在此空間坐標(biāo)系o-xyz的坐標(biāo)；

xyzOA3.坐標(biāo)①向量的坐標(biāo)給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)

為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)使有序數(shù)組(a1,a2,a3)叫做在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，

記作.(a1,a2,a3)②點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量

于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使記作Ax,y,z分別稱作點(diǎn)A的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),豎坐標(biāo).3.空間內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)確定xyz設(shè)則二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(注：分母不為零)問(wèn)題1：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)注：空間一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).問(wèn)題2：M=（x，y，z），若M是線段AB的中點(diǎn)，則常用結(jié)論1：若M(x,y,z)是線段AB的中點(diǎn)，則常用結(jié)論2：若M(x,y,z)是△ABC的重心，則問(wèn)題2：若M(x,y,z)分的比為λ，則二、距離與夾角1.距離公式（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)2.兩個(gè)向量夾角公式注意：（1）當(dāng)時(shí)，同向；（2）當(dāng)時(shí)，反向；（3）當(dāng)時(shí)，。思考：當(dāng)及時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？Ⅶ面面面1、空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)O

練習(xí)1.如圖建立直角坐標(biāo)系,已知正方體的棱長(zhǎng)為2,且E為的中點(diǎn),求各點(diǎn)的坐標(biāo)解:請(qǐng)問(wèn):向量的坐標(biāo)是?四．課堂練習(xí)例1練習(xí)2直線●A●Pl點(diǎn)A和不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出l上的任意一點(diǎn)P。A給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量

,那么過(guò)點(diǎn)A,以向量

為法向量的平面是完全確定的.l3.平面的向量表示：

一個(gè)定點(diǎn)和平面的一個(gè)法向量，不僅可以表示出平面，還可以表示出平面內(nèi)的任意一點(diǎn)。第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見(jiàn)，取z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。三、平行關(guān)系：四、垂直關(guān)系：證明:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系xyzA1D1C1B1ACBDFEA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以3.2.3空間的角的計(jì)算四、異面直線成角lmlm(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,則a′,b′所夾的銳角或直角叫a與b所成的角.練習(xí)179頁(yè)-例1、例3嚴(yán)謹(jǐn)：思維的良好品質(zhì)當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角是90°當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平面平行時(shí)，直線與平面所成的角是0°

OPAα關(guān)鍵：過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的垂線線面所成角斜線斜足線面所成角（銳角∠PAO）射影AOBC

如圖,直線OA與平面

所成的角為

1,平面內(nèi)一條直線OC與OA的射影OB所成的角為

2,設(shè)∠AOC為

求證:cos

=cos

1×cos

2最小角原理AOBC斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。若直線l1與平面所成的角為60°

，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角為

，最大的角為

。90°60°Ol1SACBOFE如圖，

ACB=90，S為平面ABC外一點(diǎn)，SCA=SCB=60，求SC與平面ACB所成的角直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：二、線面角：182頁(yè)-例2例1：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，OBA

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。平面角由射線--點(diǎn)--射線構(gòu)成。二面角由半平面--線--半平面構(gòu)成。

lABPQAB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)度量以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。10

lOAB平面角是直角的二面角叫做直二面角一“作”二“證”三“計(jì)算”1.頂點(diǎn)在棱上；2.兩邊在兩面內(nèi)；3.兩邊垂直于棱.注意:二面角的平面角必須滿足:

法向量在求二面角中的應(yīng)用：一個(gè)二面角的平面角α與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角β的關(guān)系是

。ll知識(shí)要點(diǎn)3相等或互補(bǔ)（二面角是鈍角還是銳角要視具體情況而定）ll三、面面角：二面角的范圍：①法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角“同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等”ABCA1B1C13）二面角的大小解法2步驟：1、求兩個(gè)半平面的法向量2、求兩個(gè)法向量的夾角3、當(dāng)兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)（外）部，所求角是法向量的夾角的補(bǔ)角，否則所求角是法向量的夾角面B—AB1的法向量設(shè)面AB1C1的法向量為：所求角為?求二面角方法:②.應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α-l-β的面α上取一點(diǎn)A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α-l-β的平面角.OADCBHS1S①.定義法：以二面角的棱上某一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角.α

ABC的邊BC在平面α內(nèi)，A在平面α內(nèi)的射影是P，設(shè)

ABC的面積為S，它和平面α交成二面角θ(0o<θ<90o)，射影

PBC的面積為S1，求證:S1=Scosθ.ABCPDθ④面積射影法:S射=S原cosθS1=SPBC=BC×PD

，S2=SABC=BC×AD，用此公式就可以求出二面角的平面角(異面直線上兩點(diǎn)的距離公式)⑥公式法：如圖，

CBF=為二面角的平面角在

CBF中，由余弦定理可求得，再由Rt△ECF可得EF2=d2+m2+n2－2mncos(0o，180o)

EFmndBClmd例、已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=cm，求二面角的度數(shù)CDABE求二面角方法:②.應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α-l-β的面α上取一點(diǎn)A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α-l-β的平面角.③.作垂面法:作棱的垂面，則它和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角.

④.向量法:利用兩平面的法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系求得.⑤.cosθ=OADCBHS1S①.定義法：以二面角的棱上某一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角即二面角的平面角.⑥.公式法:l2=m2+n2+d2－2mncosθ.求二面角方法:②.應(yīng)用三垂線（逆）定理法：在二面角α-l-β的面α上取一點(diǎn)A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，則∠ACB即為α-l-β的平面角.③.作垂面法:作棱的垂面，則它和二面角