極限運算法則

極限運算法則兩個重要極限一、極限運算法則本節(jié)要建立極限的四則運算法則和復合函數(shù)的極限運算法則.在下面的討論中，沒有表明自變量變化過程的記號“l(fā)im”是指對x→x0和x→∞均成立.但在論證時,只證明了x→x0的情形.定理1

（極限的四則運算法則）設limf(x)=A,limg(x)=B，則（1）lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).（3）limf(x)/g(x)=AB=limf(x)/limg(x)B≠0.一、極限運算法則

證明因為limf(x)=A,limg(x)=B，所以由第三節(jié)定理1得f(x)=A+α,g(x)=B+β，其中α和β是無窮小.（1）由于f(x)±g(x)=A±B+α±β,而α±β是無窮小，故由第三節(jié)定理1得lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）由于f(x)·g(x)=A+αB+β=AB+αB+Aβ+αβ,又由無窮小的運算性質(zhì)知，αB+Aβ+αβ是無窮小，故由第三節(jié)定理1知lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).一、極限運算法則

一、極限運算法則法則（1）和（2）均可推廣到有限個函數(shù)的情形.若limf1(x),limf2(x),…,limfn(x)都存在，則有l(wèi)im［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］=limf1(x)±limf2(x)±…±limfn(x)，lim［f1(x)·f2(x)·…·fn(x)］=limf1(x)·limf2(x)·…·limfn(x).注意一、極限運算法則

推論1若limf(x)存在，而C為常數(shù)，則lim［Cf(x)］=Climf(x),即常數(shù)因子可以移到極限符號外面.推論2若limf(x)存在，而n是正整數(shù)，則lim［f(x)］n=［limf(x)］n.一、極限運算法則極限的四則運算法則要求參與運算的各個函數(shù)極限均存在，且法則（3）還必須滿足分母的極限不為零；否則，不能直接使用法則.注意一、極限運算法則

【例1】一、極限運算法則

【例2】一、極限運算法則

【例3】一、極限運算法則【例4】一、極限運算法則【例5】一、極限運算法則【例6】一、極限運算法則【例7】一、極限運算法則【例8】一、極限運算法則定理2

（復合函數(shù)的極限運算法則）設函數(shù)y=f［g(x)］是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復合而成，f［g(x)］在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若一、極限運算法則（1）對u0或x0為無窮大的情形，也可得到類似的定理.（2）定理2表明，若函數(shù)f(u)和g(x)滿足該定理的條件，則作代換u=g(x)，可把求注意一、極限運算法則二、兩個重要極限

數(shù)學中常常會對一些重要且有典型意義的問題進行研究并加以總結(jié)，以期通過對該問題的解決帶動一類相關(guān)問題的解決，下面介紹的重要極限就體現(xiàn)了這樣的一種思路，利用它們并通過函數(shù)的恒等變形與極限的運算法則就可以使得兩類常用極限的計算問題得到解決.1.證明在圖1-38所示的單位圓中,設∠AOB=x,先假設0<x<π/2,點A處的切線與OB的延長線相交于D，又BC⊥OA，故二、兩個重要極限

易見，三角形AOB的面積<扇形AOB的面積<三角形AOD的面積，所以1/2sinx<1/2x<1/2tanx,即sinx<x<tanx,不等式兩邊同時除以sinx，整理得cosx<sinx/x<1.因為cosx,sinxx,1都是偶函數(shù),所以上面的不等式在－π/2<x<0時也成立.再由二、兩個重要極限

二、兩個重要極限【例9】【例10】二、兩個重要極限【例11】二、兩個重要極限2.

證明先考慮x取正整數(shù)n而趨于+∞的情形.二、兩個重要極限

同樣的，比較xn與xn+1的展開式的各項可知，除前兩項相等外，從第三項起，xn+1的各項都大于xn的對應項，而且xn+1還多了最后一個正項，因而xn+1>xn,即{xn}為單調(diào)增加數(shù)列.因為二、兩個重要極限

下面考慮x取任意正實數(shù)而趨于+∞的情形.對于任何正實數(shù)x，總可找到正整數(shù)n，使得n≤x<n+1，當x→+∞時，有n→∞，因為二、兩個重要極限

其中□代表自變量的某個函數(shù),在自變量的變化過程中是無窮大.二、兩個重要極限利用復合函數(shù)的極限運算法則，若令y=1/x，則第二個重要極限變?yōu)槠涓话愕男问绞瞧渲小醮碜宰兞康哪硞€函數(shù),在自變量的變化過程中是無窮小.注意二、兩個重要極限【例12】【例13】二、兩個重要極限三、柯西極限存在準則定理3（柯西極限存在準則）數(shù)列{xn}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當m>N，n>N時，恒有|xm－xn|<ε.