極限運(yùn)算法則

極限運(yùn)算法則兩個(gè)重要極限一、極限運(yùn)算法則本節(jié)要建立極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則.在下面的討論中，沒有表明自變量變化過程的記號(hào)“l(fā)im”是指對(duì)x→x0和x→∞均成立.但在論證時(shí),只證明了x→x0的情形.定理1

（極限的四則運(yùn)算法則）設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B，則（1）lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).（3）limf(x)/g(x)=AB=limf(x)/limg(x)B≠0.一、極限運(yùn)算法則

證明因?yàn)閘imf(x)=A,limg(x)=B，所以由第三節(jié)定理1得f(x)=A+α,g(x)=B+β，其中α和β是無(wú)窮小.（1）由于f(x)±g(x)=A±B+α±β,而α±β是無(wú)窮小，故由第三節(jié)定理1得lim［f(x)±g(x)］=A±B=limf(x)±limg(x).（2）由于f(x)·g(x)=A+αB+β=AB+αB+Aβ+αβ,又由無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)知，αB+Aβ+αβ是無(wú)窮小，故由第三節(jié)定理1知lim［f(x)·g(x)］=A·B=limf(x)·limg(x).一、極限運(yùn)算法則

一、極限運(yùn)算法則法則（1）和（2）均可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形.若limf1(x),limf2(x),…,limfn(x)都存在，則有l(wèi)im［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］=limf1(x)±limf2(x)±…±limfn(x)，lim［f1(x)·f2(x)·…·fn(x)］=limf1(x)·limf2(x)·…·limfn(x).注意一、極限運(yùn)算法則

推論1若limf(x)存在，而C為常數(shù)，則lim［Cf(x)］=Climf(x),即常數(shù)因子可以移到極限符號(hào)外面.推論2若limf(x)存在，而n是正整數(shù)，則lim［f(x)］n=［limf(x)］n.一、極限運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則要求參與運(yùn)算的各個(gè)函數(shù)極限均存在，且法則（3）還必須滿足分母的極限不為零；否則，不能直接使用法則.注意一、極限運(yùn)算法則

【例1】一、極限運(yùn)算法則

【例2】一、極限運(yùn)算法則

【例3】一、極限運(yùn)算法則【例4】一、極限運(yùn)算法則【例5】一、極限運(yùn)算法則【例6】一、極限運(yùn)算法則【例7】一、極限運(yùn)算法則【例8】一、極限運(yùn)算法則定理2

（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)y=f［g(x)］是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成，f［g(x)］在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，若一、極限運(yùn)算法則（1）對(duì)u0或x0為無(wú)窮大的情形，也可得到類似的定理.（2）定理2表明，若函數(shù)f(u)和g(x)滿足該定理的條件，則作代換u=g(x)，可把求注意一、極限運(yùn)算法則二、兩個(gè)重要極限

數(shù)學(xué)中常常會(huì)對(duì)一些重要且有典型意義的問題進(jìn)行研究并加以總結(jié)，以期通過對(duì)該問題的解決帶動(dòng)一類相關(guān)問題的解決，下面介紹的重要極限就體現(xiàn)了這樣的一種思路，利用它們并通過函數(shù)的恒等變形與極限的運(yùn)算法則就可以使得兩類常用極限的計(jì)算問題得到解決.1.證明在圖1-38所示的單位圓中,設(shè)∠AOB=x,先假設(shè)0<x<π/2,點(diǎn)A處的切線與OB的延長(zhǎng)線相交于D，又BC⊥OA，故二、兩個(gè)重要極限

易見，三角形AOB的面積<扇形AOB的面積<三角形AOD的面積，所以1/2sinx<1/2x<1/2tanx,即sinx<x<tanx,不等式兩邊同時(shí)除以sinx，整理得cosx<sinx/x<1.因?yàn)閏osx,sinxx,1都是偶函數(shù),所以上面的不等式在－π/2<x<0時(shí)也成立.再由二、兩個(gè)重要極限

二、兩個(gè)重要極限【例9】【例10】二、兩個(gè)重要極限【例11】二、兩個(gè)重要極限2.

證明先考慮x取正整數(shù)n而趨于+∞的情形.二、兩個(gè)重要極限

同樣的，比較xn與xn+1的展開式的各項(xiàng)可知，除前兩項(xiàng)相等外，從第三項(xiàng)起，xn+1的各項(xiàng)都大于xn的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，而且xn+1還多了最后一個(gè)正項(xiàng)，因而xn+1>xn,即{xn}為單調(diào)增加數(shù)列.因?yàn)槎?、兩個(gè)重要極限

下面考慮x取任意正實(shí)數(shù)而趨于+∞的情形.對(duì)于任何正實(shí)數(shù)x，總可找到正整數(shù)n，使得n≤x<n+1，當(dāng)x→+∞時(shí)，有n→∞，因?yàn)槎?、兩個(gè)重要極限

其中□代表自變量的某個(gè)函數(shù),在自變量的變化過程中是無(wú)窮大.二、兩個(gè)重要極限利用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，若令y=1/x，則第二個(gè)重要極限變?yōu)槠涓话愕男问绞瞧渲小醮碜宰兞康哪硞€(gè)函數(shù),在自變量的變化過程中是無(wú)窮小.注意二、兩個(gè)重要極限【例12】【例13】二、兩個(gè)重要極限三、柯西極限存在準(zhǔn)則定理3（柯西極限存在準(zhǔn)則）數(shù)列{xn}收斂的充分必要條件是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時(shí)，恒有|xm－xn|<ε.