簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分

簡(jiǎn)單有理分式函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)是指有理式所表示的函數(shù)，它包括有理整式和有理分式兩類：

有理整式f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;

有理分式

其中m，n都是非負(fù)整數(shù)，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是實(shí)數(shù)，并且a0≠0,b0≠0.在有理分式中，n<m時(shí)，稱為真分式；n≥m時(shí)，稱為假分式.利用多項(xiàng)式除法，可以把任意一個(gè)假分式化為一個(gè)有理整式和一個(gè)真分式之和.例如，有理整式的積分很簡(jiǎn)單，下面只討論真分式的積分.(4-10)一、有理函數(shù)的積分最簡(jiǎn)分式的積分1.

下列四類分式（1）Ax－a;（2）A(x－a)n;（3）Mx+Nx2統(tǒng)稱為最簡(jiǎn)分式，其中n為大于等于2的正整數(shù)；A,M,N,a,p,q均為常數(shù)，且p2－4q<0.下面先討論這四類最簡(jiǎn)分式的不定積分.前兩類最簡(jiǎn)分式的不定積分可以由基本積分公式直接得到.對(duì)第三類最簡(jiǎn)分式，將其分母配方得

一、有理函數(shù)的積分

一、有理函數(shù)的積分

上式最后一個(gè)不定積分的求法在上節(jié)的例8中已經(jīng)給出.綜上所述，最簡(jiǎn)分式的不定積分都能被求出，且原函數(shù)都是初等函數(shù).根據(jù)代數(shù)學(xué)的有關(guān)定理可知，任何真分式都可以分解為上述四類最簡(jiǎn)分式的和，因此，有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).一、有理函數(shù)的積分有理分式化為最簡(jiǎn)分式的和2.設(shè)給定真分式P(x)/Q(x)，要把它表示為最簡(jiǎn)分式的和，首先要把分母Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解為一次因式與二次因式的乘積，再根據(jù)這些因式的結(jié)構(gòu)，利用待定系數(shù)法確定所有系數(shù).設(shè)多項(xiàng)式Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解為如下形式：Q(x)=b0(x－a)α…(x－b)β(x2+px+q)λ…(x2+rx+s)μ,一、有理函數(shù)的積分

其中Ai,…,Bi,Mi,Ni,…,Ri及Si等都是常數(shù).對(duì)式（4-16），應(yīng)注意到以下兩點(diǎn)：（1）若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，則分解后含有下列k個(gè)最簡(jiǎn)分式之和：其中A1,A2,…,Ak都是常數(shù).一、有理函數(shù)的積分（2）若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－4q<0，則分解后含有下列k個(gè)最簡(jiǎn)分式之和：M1x+N1(x2+px+q)k+M2x+N2(x2+px其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常數(shù).

（4-17）其中A,B為待定常數(shù)，可用如下方法求出待定系數(shù).一、有理函數(shù)的積分

第一種方法式（4-17）兩端去分母后，得x+3=A(x－3)+B(x－2),整理得x+3=A+Bx－3A+2B.（4-18）因?yàn)檫@是恒等式，等式兩端x的系數(shù)和常數(shù)必須分別相等，于是有從而解得A=－5,B=6.一、有理函數(shù)的積分第二種方法在恒等式（4-18）中，代入特殊的x值，從而求出待定的常數(shù).在式（4-18）中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.同樣得到又如，真分式11+x1+x2可分解為11+x1+x2=A1+x+Bx+C1+x2，兩端去分母后，得1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，一、有理函數(shù)的積分整理得1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）比較式（4-19）兩端x的同次冪的系數(shù)及常數(shù)，有一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)積分舉例3.

去分母,得2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D)=Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),【例1】一、有理函數(shù)的積分比較兩端同次冪系數(shù),得A=2,B=0,C=－1,D=－1.從而一、有理函數(shù)的積分【例2】一、有理函數(shù)的積分

一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分1.由sinx，cosx和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理函數(shù)，記為R(sinx,cosx).三角函數(shù)的積分比較靈活，方法很多.在換元積分法和分部積分法中介紹過(guò)一些方法.這里主要介紹三角函數(shù)有理式的積分方法，其基本思想是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，將三角有理函數(shù)化為有理函數(shù)的積分.二、可化為有理函數(shù)的積分

二、可化為有理函數(shù)的積分【例3】二、可化為有理函數(shù)的積分【例4】二、可化為有理函數(shù)的積分

二、可化為有理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分2.

求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，其基本思想是利用適當(dāng)?shù)淖儞Q將其有理化，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分.下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明.二、可化為有理函數(shù)的積分【例5】【例6】二、可化為有理函數(shù)的積分三、積分表的使用本章介紹了不定積分的概念及計(jì)算方法.必須指出的是：初等函數(shù)在它的定義區(qū)間上不定積分一定存在，但不定積分存在與不定積分能否用初等函數(shù)表示出來(lái)不是一回事.事實(shí)上，有很多初等函數(shù)，它們的不定積分是存在的，但它們的不定積分卻無(wú)法用初等函數(shù)表示出來(lái)，如同時(shí)還應(yīng)了解，求函數(shù)的不定積分與求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別.求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)總可以循著一定的規(guī)則和方法去做，而求一個(gè)函數(shù)的不定積分卻沒(méi)有統(tǒng)一的規(guī)則可循，需要具體問(wèn)題具體分析，靈活應(yīng)用各類積分方法和技