冪級數(shù)教學(xué)課件

冪級數(shù)第四節(jié)冪級數(shù)前面我們討論了常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性，其級數(shù)的每一項(xiàng)都是實(shí)數(shù).下面將討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其級數(shù)的每一項(xiàng)都是函數(shù).本節(jié)主要討論一個(gè)最基本的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)——冪級數(shù).一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義如果給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)序列u1(x),u2(x),…，un(x),…，那么由此函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為定義在區(qū)間I上的（函數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級數(shù).對于每一個(gè)確定的值x0∈I，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)如果級數(shù)

收斂，那么稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

的收斂點(diǎn).所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域；如果級數(shù)

發(fā)散，那么稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

的發(fā)散點(diǎn),所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.對于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)都成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，因而有一個(gè)確定的和s.這樣，在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和s可以看成是x的函數(shù)s(x)，稱此函數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)，這個(gè)和函數(shù)的定義域就是級數(shù)

的收斂域，并寫成一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)和，稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和，記作則在收斂域上有,且稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng)，于是有二、冪級數(shù)

形如的級數(shù)稱為x或（x-x0)的冪級數(shù).其中常數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù)

例如都是冪級數(shù).二、冪級數(shù)冪級數(shù)

，由本章第一節(jié)例1知，當(dāng)|x|<1時(shí)，收斂;當(dāng)|x|≥1時(shí)，發(fā)散因此，這冪級數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1）;發(fā)散域?yàn)?/p>

由此可知，這個(gè)冪級數(shù)的收斂域是一個(gè)區(qū)間.事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論對于一般的冪級數(shù)也是成立的.于是有如下定理：【例1】二、冪級數(shù)(阿貝爾Abel定理)如果冪級數(shù)處收斂,則它在滿足不等式|x|<x0的一切x處絕對收斂;如果冪級數(shù)

處發(fā)散,則它在滿足不等式|x|>x0的一切x處發(fā)散證（1）由

收斂，知

存在M，使得定理1二、冪級數(shù)因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，等比級數(shù)

收斂，故

收斂，即級數(shù)

收斂因此級數(shù)

在一切x處絕對收斂.（2）假設(shè)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散，而有一點(diǎn)x1適合x1>x0使級數(shù)收斂,由(1)結(jié)論則級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂,這與所假設(shè)條件矛盾，故如果級數(shù)

在x=x0處發(fā)散,則它在滿足|x|>x0的一切x處發(fā)散二、冪級數(shù)給出的冪級數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(diǎn)（不僅是原點(diǎn)）又有發(fā)散點(diǎn).如果從原點(diǎn)沿著數(shù)軸向右走，最初只遇到收斂點(diǎn)，然后只遇到發(fā)散點(diǎn)，這兩部分的分界點(diǎn)可能是收斂點(diǎn)也可能是發(fā)散點(diǎn).從原點(diǎn)沿著數(shù)軸向左方走情形也是如此.由定理1可以證明左右分界點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是一樣的，如圖11-1所示.在圖11-1中，R（R>0）是分界點(diǎn).圖11-1二、冪級數(shù)推論如果冪級數(shù)

不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):當(dāng)|x|<R時(shí),冪級數(shù)絕對收斂;當(dāng)|x|>R時(shí),冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=R與x=-R時(shí),冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散正數(shù)R通常稱為冪級數(shù)的收斂半徑，（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間再由冪級數(shù)在x=R與x=-R處的收斂性就可以決定它的收斂域是（-R，R），［-R，R），（-R，R］，［-R，R］這四個(gè)區(qū)間之一.二、冪級數(shù)

證對級數(shù)

應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法.（1）如果

存在，由比值審斂法知：當(dāng)|x|<1ρ時(shí)，級數(shù)

收斂，從而級數(shù)

絕對收斂當(dāng)

時(shí)，級數(shù)

發(fā)散，并且從某個(gè)n開始，

，從而級數(shù)發(fā)散，收斂半徑

二、冪級數(shù)(1)冪級數(shù)只在x=0處收斂,R=0，收斂區(qū)間x=0;(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,R=＋∞，收斂區(qū)間為（-∞，＋∞）如何求冪級數(shù)的收斂半徑?我們有下面定理：規(guī)定二、冪級數(shù)如果冪級數(shù)

的所有系數(shù)an≠0,設(shè)則有：(1)當(dāng)ρ≠0時(shí),

(2)當(dāng)ρ=0時(shí),R=＋∞;(3)當(dāng)ρ=＋∞時(shí),R=0定理2二、冪級數(shù)（2）如果ρ=0，任意x≠0，有級數(shù)

收斂，從而級數(shù)

絕對收斂,收斂半徑R=＋∞.（3）如果ρ=＋∞，任意x≠0，級數(shù)

必發(fā)散（否則由定理1知將有點(diǎn)x≠0可使

收斂），收斂半徑R=0二、冪級數(shù)求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域.【例2】二、冪級數(shù)

解則R=1當(dāng)x=1時(shí)，級數(shù)為

，該級數(shù)收斂；當(dāng)x=-1時(shí)，級數(shù)為

，該級數(shù)發(fā)散.故收斂域是（-1，1］則R=0，級數(shù)只在x=0處收斂.則R=＋∞，故收斂域是（-∞，＋∞）二、冪級數(shù)則

，即

收斂，故x∈（0，1）收斂.當(dāng)x=0時(shí)，級數(shù)為

，發(fā)散；當(dāng)x=1時(shí)，級數(shù)為收斂.故收斂域?yàn)?0,1］二、冪級數(shù)求冪級數(shù)

的收斂域

解因?yàn)榧墧?shù)缺少偶次冪的項(xiàng)，應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法，【例3】二、冪級數(shù)當(dāng)

，即

時(shí)，級數(shù)收斂;當(dāng)

，即

時(shí)，級數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=2時(shí)，級數(shù)為

，級數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=-2時(shí)，級數(shù)為

，級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)的收斂域?yàn)槎?、冪級?shù)思考如果冪級數(shù)

在點(diǎn)x=4處收斂，那么它在點(diǎn)x=1處也收斂嗎？反之呢？二、冪級數(shù)性質(zhì)1設(shè)冪級數(shù)

均收斂，且收斂半徑分別為R1和R2,其中R1>0,R2>0,則兩個(gè)級數(shù)對應(yīng)項(xiàng)相加（或相減）得到的新的冪級數(shù)其收斂半徑為R=min{R1,R2}.二、冪級數(shù)性質(zhì)2冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)連續(xù),

在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)二、冪級數(shù)性質(zhì)3冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可積,且對任意x∈（-R，R）可逐項(xiàng)積分即逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.二、冪級數(shù)性質(zhì)4冪級數(shù)

的和函數(shù)s（x）在收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可導(dǎo),并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.即逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.二、冪級數(shù)求冪級數(shù)

的和函數(shù)

解先求收斂域.由得收斂半徑R=1.因?yàn)椤纠?】二、冪級數(shù)

顯然兩邊積分，得即故二、冪級數(shù)又x=1時(shí)，收斂于是得二、冪級數(shù)求冪級數(shù)

的和

解先求收斂域.由得收斂半徑R=1.注意到所求級數(shù)可由級數(shù)【例5】二、冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)而得到，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)所以當(dāng)|x|<1時(shí)，有