冪級(jí) 數(shù)教學(xué)課件

冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義5如果給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)序列u1(x),u2(x),…，un(x),…，那么由此函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù).對(duì)于每一個(gè)確定的值x0∈I，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1u

n(x)成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，即如果級(jí)數(shù)(x0)收斂，那么稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(x)的收斂點(diǎn).所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域；如果級(jí)數(shù)(x0)發(fā)散，那么稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(x)的發(fā)散點(diǎn),所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因而有一個(gè)確定的和s.這樣，在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和s可以看成是x的函數(shù)s(x)，稱此函數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這個(gè)和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)(x)的收斂域，并寫成s(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和，記作sn(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)

則在收斂域上有l(wèi)imn→∞sn(x)=s(x),且稱rn(x)=s(x)-sn(x)

為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，于是有l(wèi)imn→∞r(nóng)n(x)=0.二、冪級(jí)數(shù)的定義【例27】二、冪級(jí)數(shù)的定義定理9二、冪級(jí)數(shù)的定義給出的冪級(jí)數(shù)在數(shù)軸上既有收斂點(diǎn)(不僅是原點(diǎn))又有發(fā)散點(diǎn).如果從原點(diǎn)沿著數(shù)軸向右走，最初只遇到收斂點(diǎn)，然后只遇到發(fā)散點(diǎn)，這兩部分的分界點(diǎn)可能是收斂點(diǎn)也可能是發(fā)散點(diǎn).從原點(diǎn)沿著數(shù)軸向左方走情形也是如此.由定理9可以證明左右分界點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是一樣的，如圖11-1所示.在圖11-1中，R(R>0)是分界點(diǎn).圖11-1二、冪級(jí)數(shù)的定義推論如果冪級(jí)數(shù)

不是僅在x=0一點(diǎn)收斂,也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):當(dāng)|x|<R時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)|x|>R時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=R與x=-R時(shí),冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

正數(shù)R通常稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，(-R，R)稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間再由冪級(jí)數(shù)在x=R與x=-R處的收斂性就可以決定它的收斂域是(-R，R)，［-R，R)，(-R，R］，［-R，R］這四個(gè)區(qū)間之一.二、冪級(jí)數(shù)的定義規(guī)定：(1)冪級(jí)數(shù)只在x=0處收斂,R=0，收斂區(qū)間x=0;(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂,R=＋∞，收斂區(qū)間為(-∞，＋∞)

如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?我們有下面定理：二、冪級(jí)數(shù)的定義定理10二、冪級(jí)數(shù)的定義二、冪級(jí)數(shù)的定義二、冪級(jí)數(shù)的定義【例28】二、冪級(jí)數(shù)的定義二、冪級(jí)數(shù)的定義【例29】三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2

冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂,則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)3三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)4冪級(jí)數(shù)

的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(-R，R)內(nèi)可導(dǎo),并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.即逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的