一階微分方程

一階微分方程一、可分離變量的微分方程和齊次方程求解微分方程是學(xué)習(xí)微分方程的主要內(nèi)容之一.微分方程沒有統(tǒng)一的求解公式，但有各種各樣的求解方法.例如，積分的方法，代數(shù)的方法，冪級(jí)數(shù)的方法，拉普拉斯變換的方法以及近似求解方法等.本書僅就一階、二階等幾類常見的微分方程介紹一些初等的求解方法.下面先討論可分離變量的微分方程的解法.可分離變量的微分方程1.

設(shè)有一階微分方程如果其右端函數(shù)能分解成F(x,y)=f(x)g(y)，即有（6-8）則方程（6-8）稱為可分離變量的微分方程，其中f(x),g(y)都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點(diǎn)，可通過積分來求解.一、可分離變量的微分方程和齊次方程設(shè)g(y)≠0，用g(y)除方程的兩端，用dx乘以方程的兩端，使得一端只含y的函數(shù)和dy，另一端只含x的函數(shù)和dx，得再在上述等式兩邊積分，得如果g(y0)=0，則易知y=y0也是方程（6-8）的解.上述求解可分離變量的微分方程的方法稱為分離變量法.一、可分離變量的微分方程和齊次方程

曲線上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線垂直于該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線,求此曲線方程.

解

設(shè)曲線方程為y=y(x),如圖6-1所示.【例1】圖6-1一、可分離變量的微分方程和齊次方程

一、可分離變量的微分方程和齊次方程

求微分方程cosxsinydx－sinxcosydy=0的通解.解這是一階可分離變量的微分方程,整理得兩邊積分得通解ln|siny|=ln|sinx|+ln|C1|(C1為任意常數(shù))，化簡得siny=Csinx(C仍為任意常數(shù)).【例2】一、可分離變量的微分方程和齊次方程一棵小樹剛栽下去的時(shí)候長得比較慢，隨著小樹越長越高，小樹長得越來越快，但長到某一高度后，小樹的生長會(huì)保持穩(wěn)定的速度，然后會(huì)再慢慢降下來.如何為小樹的生長過程建立數(shù)學(xué)模型？

分析

如果假設(shè)樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合小樹前期與后期的生長情形；如果假設(shè)樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間―段的生長過程.因此，假定它的生長速度既與目前的高度成對(duì)比，又與最大高度和目前高度之差成正比.【例3】一、可分離變量的微分方程和齊次方程解設(shè)樹生長的最大高度為H(m)，在t(年）時(shí)的高度為h(t)，則有其中k是比例常數(shù)且k>0.這個(gè)方程稱為Logistic方程.它是可分離變量的―階常微分方程.下面來求解Logistic方程.分離變量,得兩邊積分一、可分離變量的微分方程和齊次方程得故所求通解為其中C(C=1C2>0)是正常數(shù).一、可分離變量的微分方程和齊次方程函數(shù)h(t)的圖形稱為Logistic曲線.圖6-2所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱為S曲線.可以看到，它基本符合前面描述的樹的生長情形.另外還可以計(jì)算得到這說明樹的生長有一個(gè)限制，因此也稱為限制性增長模式.圖6-2一、可分離變量的微分方程和齊次方程生物種群的繁殖、信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷售等都符合這種規(guī)律.一、可分離變量的微分方程和齊次方程齊次方程2.

形如（6-9）的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程.齊次方程（6-9）通過變量替換，可化為可分離變量的方程來求解，令其中u=u(x)是新的未知函數(shù)，則有將其代入方程（6-9），得，（6-10）一、可分離變量的微分方程和齊次方程分離變量，得兩邊積分求出積分后，再將u=y/x回代，便得到方程（6-9）的通解.一、可分離變量的微分方程和齊次方程如果有u0，使得f(u0)－u0=0，則顯然u=u0也是方程（6-10）的解，從而y=u0x也是方程（6-9）的解；如果f(u)－u≡0，則方程（6-9）變成dy/dx=y/x，這是一個(gè)可分離變量方程.注意一、可分離變量的微分方程和齊次方程【例4】一、可分離變量的微分方程和齊次方程【例5】一、可分離變量的微分方程和齊次方程一、可分離變量的微分方程和齊次方程二、一階線性微分方程線性微分方程1.

形如（6-11）的方程稱為一階線性微分方程.其中函數(shù)P(x)，Q(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)Q(x)≡0時(shí)，方程（6-11）變?yōu)椋?-12）這個(gè)方程稱為一階齊次線性微分方程，相應(yīng)地，方程（6-11）稱為一階非齊次線性微分方程.一階齊次線性方程（6-12）是可分離變量的方程，分離變量，得

兩邊積分，得ln|y|=－∫P(x)dx+C1，由此得到方程（6-12）的通解y=Ce－∫P(x)dx，（6-13）其中C（C=±eC1）為任意常數(shù).下面再來討論一階非齊次線性微分方程（6-11）的通解.將方程（6-11）變形為兩邊積分，得二、一階線性微分方程若記∫Q(x)ydx=v(x，則ln|y|=v(x)－∫P(x)dx，即（6-14）其中這個(gè)解與一階齊次線性微分方程的通解式（6-13）相比較，易見其表達(dá)形式一致，只需將式（6-13）中的常數(shù)C換為函數(shù)C(x).由此引入求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解式（6-13）后，將通解中的常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x)，并設(shè)一階非齊次方程的通解為二、一階線性微分方程求導(dǎo)，得將y和y′代入方程（6-11），得即兩邊積分，得從而一階非齊次線性微分方程（6-11）的通解為.（6-15）二、一階線性微分方程公式（6-15）可寫成從中可以看出，一階非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個(gè)特解之和.二、一階線性微分方程

求微分方程y′－ycotx=2xsinx的通解.解這是一階非齊次線性微分方程,利用公式可得【例6】二、一階線性微分方程【例7】二、一階線性微分方程伯努利方程2.

形如

（6-16）的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n≠0，1.

伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性方程.

在方程（6-16）兩端除以yn，得