第五章-微擾理論-習題答案

PAGEPAGE1第五章微擾理論1．設氫原子中價電子所受有效作用其中試用微擾理論求基態(tài)能量（準確到一級）。[解]：氫原子基態(tài)波函數(shù)能級2．設在表象中的矩陣為其中試用微擾理論求能量本征方程的本征值，準確到二級。[解]表象中的的若無微擾時，應是一個對角矩陣，而此題中不是對角陣，但它的項應是對角陣。 =第一項就是第二項是若準確到二級對三個能級則式中已知，只要求出即可由的矩陣元中可知即 此時只有三項同理或則或則 對于3．轉動慣量為I，電偶極矩為的空間轉子處于勻強電場中，若電場很小，用微擾法計算轉子基態(tài)能量的二級修下。[解]在第三章中第13題，我們已知道轉動慣量為I的剛性轉子的能級為定態(tài)波函數(shù)但基態(tài)是非簡并的?？砂炊☉B(tài)非簡并微擾處理為方便起見，我們選方向與坐標z軸方向一致，則（與與夾角）即一級修正為0而其中當時其余均為04．設體系未受微擾時只有二個能級及，現(xiàn)在受到微擾H/作用,微擾矩陣元為a,b都是實數(shù)，用微擾公式計算能量到二級修正.解：由微擾公式得得∴能量的二級修正值為5．基態(tài)氫原子處于平行電場中,若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降,即求經(jīng)過長時間后氫原子處于2p態(tài)的幾率。 解：對于2p態(tài)，，可取三值，其相應的狀態(tài)為氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從躍遷到的幾率之和。由(取方向為Z軸方向)=0=0由上述結果可知，，∴當時，其中6．粒子處于寬為a的一維無限深勢阱中，若微擾為求粒子能量的一級修正。[解]對寬為a的一維無限深勢阱的本函 即粒子能量的一級修正為07．計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。解：由選擇定則，知是禁戒的故只需計算的幾率而2p有三個狀態(tài)，即(1)先計算z的矩陣元(2)計算x的矩陣元(3)計算的矩陣元(4)計算8．用狄拉克符號求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則[解]因為線性諧振子躍遷幾率當時，躍遷才有可能發(fā)生即且且即當時或當時即或時，當?shù)扔谄渌担磿r所以諧振子的偶極躍遷定則為即只有相鄰能級發(fā)生躍進，其他都不能發(fā)生。9．對于寬度為a的一維無限深勢阱中的粒子（質量為）受到微擾求能量（準確到二級）[解]寬為a的一維無限深勢阱的本函和能級 10．設在表象中（為實數(shù)）（1）用微擾法求能量至二級修正。（2）嚴格求解能量，與微擾法比較。[解]：（1）由已知可知 只需求出又同理（2）設體系本函用矩陣表示由本征方程可得要使上述線性方程有非零解，則必須使其系數(shù)行列式為0與用微擾理論計算的結果相同。11．若設作為波函數(shù)，用變分法求氫原子基態(tài)能量[解]先求歸一化常數(shù)A由歸一化條件即要構造的波函數(shù)已給出，即對于氫原子哈密頓算符為（中只有有關）由公式代入即時，有最小值，也就是基態(tài)能量。其中所以氫原子基態(tài)能量為