第02講-平面向量的數(shù)量積(教師版)

第02講平面向量的數(shù)量積（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第13題,5分數(shù)量積的運算律向量的模長運算2022年新Ⅱ卷，第4題,5分數(shù)量積及向量夾角的坐標表示平面向量線性運算的坐標表示2021年新I卷，第10題,5分數(shù)量積的坐標表示坐標計算向量的模逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式2021年新Ⅱ卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律無2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系3能用坐標表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題【命題預測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應用，易理解，易得分，需重點復習。知識講解1．平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))數(shù)量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個向量．2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因為a·b＝0時，有可能a⊥b.3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模時，一定要先求出a2再進行開方．考點一、求平面向量的數(shù)量積1．（重慶·高考真題）設向量，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積運算與線性運算的坐標表示即可求解.【詳解】因為，所以，，故.故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設向量，的夾角的余弦值為，且，，則．【答案】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．4．（浙江·高考真題）已知平面上三點、、滿足，，，則的值等于．【答案】【分析】根據(jù)可得，，展開可得，代入即可得到答案．【詳解】解：由可得，，，，所以，即．故答案為：5．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則；．【答案】【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點的坐標是解答的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.1．（上?！つM預測）已知，，求；【答案】4【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算求解，【詳解】由題意得，故答案為：42．（上?！じ呖颊骖}）若的夾角為，則.【答案】/0.5【分析】先求出，進而由求出答案.【詳解】因為的夾角為，所以，于是.故答案為：.3．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）已知向量,,若，則．【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為,，所以，所以，即，所以.故答案為：.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC考點二、辨析數(shù)量積的運算律1．（上?！じ呖颊骖}）若，，均為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運算的運算法則判斷．【詳解】選項A是向量加法的結合律，正確；選項B是向量數(shù)量積運算對加法的分配律，正確；選項C是數(shù)乘運算對向量加法的分配律，正確；選項D．根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與共線的向量，右邊是與共線的向量，兩者一般不可能相等，也即向量的數(shù)量積運算沒有結合律存在．D錯．故選：D．2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.【詳解】如圖所示，,當時，與垂直，，所以成立，此時，∴不是的充分條件，當時，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.3．（湖北·高考真題）已知為非零的平面向量．甲：乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量運算法則，結合充分，必要條件的定義，即可判斷.【詳解】若，則，因為為非零的平面向量，所以，或，所以甲不是乙的充分條件，反過來，，能推出，所以甲是乙的必要條件.綜上可知，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.故選：B1．（2023·全國·模擬預測）有關平面向量的說法，下列錯誤的是（

）A．若，，則 B．若與共線且模長相等，則C．若且與方向相同，則 D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判斷A選項；利用平面向量的概念可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取，因為，，則、不一定共線，A錯；對于B選項，若與共線且模長相等，則或，B錯；對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；對于D選項，恒成立，D對.故選：ABC.2．（2022·江蘇南通·海安高級中學?？级＃╆P于平面向量，下列說去不正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】令時可判斷A；利用，可判斷B；由可知與的模長相等，但不一定為0可判斷C；與共線的向量，與共線，可判斷D．【詳解】時，，與可任取，故A錯；，故B對；可知與的模長相等，不一定為0，∴，故C錯；與共線的向量，與共線的向量．∴，D錯．故選：ACD.3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）關于平面向量，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．【答案】ACD【分析】由數(shù)量積性質可判斷A，由分配律可判斷B，由相反向量可判斷C，由向量垂直可以判斷D.【詳解】對于A，若，則不一定有，A錯誤；對于B，根據(jù)分配律即可得到，B正確；對于C，若，則可能，那么，C錯誤；對于D，若，則有，那么就不一定有，D錯誤.故選：ACD考點三、模長綜合計算1．（湖南·高考真題）已知向量，，則=.【答案】2【分析】由向量模的坐標表示計算．【詳解】故答案為：2．2．（全國·高考真題）設非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．【答案】A【詳解】由平方得，即，則，故選A.【點睛】本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎題.3．（江蘇·高考真題）已知向量的夾角為，則．【答案】7【分析】將模平方，結合數(shù)量積公式，化簡計算，即可得答案.【詳解】.故答案為：74．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設為單位向量，且，則.【答案】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.5．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.1．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預測）平面向量與的夾角為，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉化為平面向的數(shù)量積可求出結果.【詳解】因為，所以，.故選：B2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)模長的坐標運算可得，分析可得同向，進而可求結果.【詳解】因為，即，則同向，所以.故選：D.3．（2023·陜西西安·交大附中?？寄M預測）已知，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質可求得的值.【詳解】因為，，且與的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選：A.考點四、夾角綜合計算1．（福建·高考真題）已知，是非零向量且滿足，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩個向量垂直，數(shù)量積等于0，得到，代入兩個向量的夾角公式得到夾角的余弦值，進而得到夾角.【詳解】，設與的夾角為，故選：B.【點睛】方法點睛：求解向量夾角長選擇夾角公式，還要注意向量的夾角范圍.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）已知向量滿足，且，則與的夾角為．【答案】【分析】由向量的數(shù)量積與夾角公式計算即可.【詳解】因為，所以，而，故與的夾角為.故答案為：2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知平面向量不共線，若，則當?shù)膴A角為時，的值是.【答案】2【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結果.【詳解】因為，所以，所以，，，整理得，得（負值已舍去）.故答案為：.3．（全國·高考真題）向量滿足，且，則與夾角的余弦值等于．【答案】/【分析】利用向量數(shù)量積公式得到，解出即可.【詳解】解得.故答案為：.4．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【分析】由向量的數(shù)量積運算公式，再應用向量夾角公式求夾角，最后結合向量反向共線求出夾角即可.【詳解】∵，，∴.∵，∴，，則，設向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.5．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）已知單位向量，若對任意實數(shù)x，恒成立，則向量的夾角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長的關系結合一元二次不等式恒成立的解法計算即可.【詳解】設向量的夾角為θ，因為，所以，則，即恒成立.所以，解得，故的夾角的取值范圍是.故選：A.考點五、垂直綜合計算1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．2．（安徽·高考真題）設向量，，則下列結論中正確的是A． B．C．與垂直 D．【答案】C【分析】由向量的坐標運算求得向量的模，兩向量的數(shù)量積，向量的垂直，向量的平行，可得選項.【詳解】因為向量，，，所以，選項A錯誤；因為，選項B錯誤；因為，所以，所以與垂直，選項C正確；因為1×1-0×1≠0，所以向量，，不平行，選項D錯誤。故選：C.【點睛】本題考查向量的坐標運算，關鍵在于熟知向量的模，向量的數(shù)量積，向量的平行，向量的垂直的坐標表示，屬于基礎題.3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知點，，點在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函數(shù)對稱軸設出點坐標，再由向量垂直的坐標表示計算可得．【詳解】由題意函數(shù)圖象的對稱軸是，設，因為，所以，解得或，所以或，故選：C．4．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質，結合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質，考查了數(shù)學運算能力.1．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎蛄?，且滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)投影向量公式可求出結果.【詳解】因為，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C2．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）（多選）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項根據(jù)向量的數(shù)量積運算判斷；B選項根據(jù)模長公式計算；C選項利用向量共線的關系結合模長公式計算；D選項根據(jù)向量的加法進行判斷.【詳解】因為，所以，則A正確；，則B正確；因為//，所以設，因為，所以，解得，所以或，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）（多選）已知向量，，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】AC【分析】根據(jù)與的數(shù)量積為可得A正確；根據(jù)向量平行的坐標表示可得B錯誤；根據(jù)模長公式可得C正確；求出投影向量可得D錯誤.【詳解】因為，，所以，，故A正確；因為，故B錯誤；，，故C正確；因為在上的投影向量是，故D錯誤.故選：AC．考點六、求參數(shù)值或范圍綜合計算1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量，若，則.【答案】【分析】求出，由垂直關系列出方程，求出答案.【詳解】，因為，所以，解得.故答案為：3．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）已知平面向量，，的夾角為，，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】對兩邊平方，再由數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：A.4．（2023·河南·河南省內鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預測）已知，與的夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍.【答案】【分析】由題意，根據(jù)向量夾角為銳角，可得其數(shù)量積大于零的不等式，且可得向量不共線，可得不成比例的不等式，可得答案.【詳解】，由向量與的夾角是銳角，，解得或；且向量與不共線，則，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.1．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）已知向量，，且，則實數(shù)的值為（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐標表示，結合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因為，，.所以.所以.故選：A2．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學校校考模擬預測）已知向量，，，且，則實數(shù)（

）A．-1 B．0 C．1 D．任意實數(shù)【答案】B【分析】首先求出的坐標，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，又，且，所以，解得.故選：B.3．（2023·吉林白山·統(tǒng)考二模）已知向量，，，若，則．【答案】/0.4【分析】由向量線性運算及垂直的坐標表示求參數(shù)值即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，得．故答案為：考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

2．（全國·高考真題）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，，設，則，，，則當，時，取得最小值，故選：．3．（福建·高考真題）已知，，，若點是所在平面內一點，且，則的最大值等于（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當，即時取等號．考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．1．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）在邊長為2的菱形中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以為基底，求，利用函數(shù)性質求最小值.【詳解】邊長為2的菱形中，，如圖所示，

則，，，，，由于，所以當時，有最小值.故選：B2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐標求出模長，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量繞坐標原點順時針旋轉得到，所以向量與向量的夾角為，且，所以.故選：B3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結合題干條件得到，然后利用向量的運算將用表示，然后用向量的數(shù)量積進行運算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計算公式，向量在向量上的投影向量為，由題意，，于是，即.又，∴．故選：C4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預測）在中，，點在線段上，，點是外接圓上任意一點，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)余弦定理求出線段的長度，再根據(jù)正弦定理求出外接圓的半徑，最后將寫成后再求，當與同向時，取得最大值.【詳解】在中，，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以，解得，從而，.設外接圓的半徑為，由正弦定理得，故.所以，當與同向時，取得最大值為.故選：A.【點睛】【基礎過關】一、單選題1．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學校考模擬預測）已知向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則向量的夾角為銳角【答案】B【分析】根據(jù)題意結合向量的坐標運算逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，則，所以，解得或，故A錯誤；對于選項B：因為//，所以，解得，故B正確；對于選項C：因為，所以，解得，故C錯誤；對于選項D：當時，，由選項B可知：不共線，所以向量的夾角為鈍角，故D錯誤.故選：B.2．（2023·海南海口·海南華僑中學?？家荒＃┤羝矫嫦蛄颗c滿足，且，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角求解.【詳解】設向量與的夾角為，則，解得，因為，∴.故選：C3．（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）已知向量，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，所以，解得或.故選：C.4．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）已知向量，，記向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積、模的坐標表示求出、、，即可求出，再由二倍角公式計算可得.【詳解】因為，，所以，，，所以，則.故選：D5．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學校考三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.二、多選題6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）設向量，，則（

）A． B．與的夾角為C．與共線 D．【答案】AD【分析】利用向量運算的坐標表示、向量模長、夾角公式以及向量共線、垂直的坐標形式計算求解.【詳解】因為，，所以，，故A正確；因為，，所以，因為兩向量夾角的范圍為，所以與的夾角為，故B錯誤；因為，，所以，又，所以，所以，所以與不共線，故C錯誤，D正確.故選：AD.7．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預測）已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為D．若向量與非零向量共線，則【答案】AD【分析】本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識，一一驗證即可.【詳解】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯誤；與垂直的單位向量的坐標為或，因此C錯誤；因為，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：AD.三、填空題8．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知向量均為單位向量，，向量與向量的夾角為，則.【答案】/【分析】根據(jù)題意，分別求得，，且，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由向量均為單位向量且，可得且，則，，且，又由向量與向量的夾角為，則.故答案為：.9．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】設與的夾角為，則，根據(jù)列式可求出結果.【詳解】設與的夾角為，則，所以，解得且.故答案為：10．（2023·福建寧德·?？级＃┰谄叫兴倪呅沃?，已知，，，，則．【答案】【分析】設，根據(jù)題意化簡求得，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，設，因為，，可得，，又因為，，可得，，兩式相減得到，可得，又由，所以.故答案為：.

【能力提升】一、單選題1．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關系，然后可直接求解.【詳解】因為向量，滿足同向共線，所以設，又因為，，所以，所以或，即或.①當時，；②當時，；所以的值為3或15.故選：D.2．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）已知平面向量，，向量與的夾角為，則（

）A．2或 B．3或 C．2或0 D．3或【答案】A【分析】利用向量的模的坐標公式求，，根據(jù)數(shù)量積的坐標公式求，結合夾角公式列方程求【詳解】因為，，所以，，所以，，又向量與的夾角為，所以，所以，所以或，故選：A.3．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形的邊長為2，點，，分別是邊，，的中點，點是線段上的動點，則的最小值為（

）

A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，設，，（），即可得到、，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到，再結合二次函數(shù)的性質計算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則、、、，設，，（），則，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以當時取得最小值為.

故選：A二、多選題4．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運算律，對選項逐一判斷即可得到結果.【詳解】，故A錯誤；因為，故B正確；，又，所以，故C正確；在方向上的投影向量為，故D錯誤.故選：.5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）已知非零向量，，滿足：在方向上的投影向量為，，且，則下列選項正確的有（

）A．若與共線時，則 B．若時，則與共線C．若，則 D．若，則【答案】ACD【分析】由題意結合投影向量的定義可得，從而得到，進一步可得，根據(jù)向量數(shù)量積的定義分析向量的夾角的范圍，對選項分別進行判斷即可得出答案.【詳解】在方向上的投影向量為，由題意，即由為非零向量，則，又，則設，的夾角為，則，，則又，則，即設，的夾角為，則選項A.由，則，的夾角為，則所以，故選A正確.選項B.當時，由，當時，滿足條件，此時與不共線，故選項B不正確選項C.當時，則則（當時等號成立），故選項C正確.選項D.當時，則（當時等號成立），故選項D正確.故選：ACD三、填空題6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當點在劣弧上運動時，的最小值為．【答案】/【分析】以點為坐標原點建立平面直角坐標系，設，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示結合三角函數(shù)的性質即可得解.【詳解】如圖，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，則，設，則，則，由，得，所以當，即時，取得最小值.故答案為：.7．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知向量，，且，則向量在方向上的投影為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結合向量垂直的性質，求出，再結合投影公式，即可求解．【詳解】向量，，由，得，所以，所以在方向上的投影為．故答案為：.8．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）半徑為的兩圓和圓外切于點，點是圓上一點，點是圓上一點，則的取值范圍為.【答案】【分析】設點關于點的對稱點為，則點在圓上，計算可得出，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】設點關于點的對稱點為，則點在圓上，所以，，因為，所以，，因為，當且僅當、同向且、反向時，，當時，則，所以，，所以，，所以，，因為，則，故當且四邊形為菱形時，，因此，.故答案為：.9