第01講-直線的方程(精講)(解析版)

第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：直線的傾斜角與斜率 4高頻考點(diǎn)二：求直線的方程 7高頻考點(diǎn)三：直線過定點(diǎn)問題 11高頻考點(diǎn)四：與直線方程有關(guān)的最值問題 13高頻考點(diǎn)五：直線方程的綜合應(yīng)用 16第一部分：知識點(diǎn)必背知識點(diǎn)一：直線的傾斜角以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當(dāng)直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識點(diǎn)二：直線的斜率1、我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在.2、如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。知識點(diǎn)三：直線方程的五種形式1、直線的點(diǎn)斜式方程已知條件（使用前提）直線過點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）2、直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）3、直線的兩點(diǎn)式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點(diǎn)，（，）（已知兩點(diǎn)）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程4、直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，5、直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程.3.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：直線的傾斜角與斜率典型例題例題1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中學(xué)?？计谀┮阎本€l經(jīng)過點(diǎn)．直線的傾斜角是．【答案】/【詳解】因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的斜率為：，因?yàn)?，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角分別為，由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.又直線的傾斜角均為銳角，且，，.故選：D.例題3．（2023秋·安徽六安·高二六安一中?？计谀┮阎本€和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】直線恒過定點(diǎn)，且，，由圖可知，或.故選：C.例題4．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，又是在部分圖象上的動點(diǎn)，圖象如下：如上圖，，則，只有B、C滿足.故選：BC練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·山東濟(jì)南·高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谀┮阎本€，若直線與垂直，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：A.2．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則.故選：B.3．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于直線的斜率為，且經(jīng)過定點(diǎn)，設(shè)此定點(diǎn)為.而直線的斜率為，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點(diǎn)，只需.故選：C.高頻考點(diǎn)二：求直線的方程典型例題例題1．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D例題2．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）過點(diǎn)且在軸、軸上截距相等的直線方程為.【答案】或【詳解】由題知，若在軸、軸上截距均為，即直線過原點(diǎn)，又過，則直線方程為；若截距不為，設(shè)在軸、軸上的截距為，則直線方程為，又直線過點(diǎn)，則，解得，所以此時直線方程為.故答案為：或例題3．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線方程；(3)邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且所以BC邊上的中線所在直線的方程：（2）BC的斜率：，所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：BC邊上的高所在直線方程：即：.（3）由前兩問知：的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.BC邊的垂直平分線的斜率：，BC邊的垂直平分線的方程:即：例題4．（2023秋·高二課時練習(xí)）由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)，平行于軸；(3)在軸和軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過兩點(diǎn)；(5)在軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與軸的交點(diǎn)到軸的距離是3．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【詳解】（1）由點(diǎn)斜式得，即.（2）因?yàn)橹本€平行于軸，所以斜率等于，由點(diǎn)斜式得，即.（3）因?yàn)樵趚軸和y軸上的截距分別是；所以直線方程的截距式為：，即.（4）由兩點(diǎn)式得，即.（5）斜率，由點(diǎn)斜式得，即.（6）斜率為，因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離是3，所以直線在軸上的截距為，所以所求直線方程為或，即或.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】直線的斜率為，兩直線平行，故所求直線方程為.整理得：.故選：D2．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┣鬂M足下列條件的直線方程：(1)過點(diǎn)，與直線平行；(2)過點(diǎn)，與直線垂直．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所求直線與直線平行，所以所求直線的斜率是，

因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)，所以所求的直線方程是，即；（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率是，因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)，所以直線方程為，即.3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點(diǎn)斜式方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示，

直線過點(diǎn)，，可得直線與軸平行，故邊所在直線的方程為（2）由可得直線的傾斜角為，故斜率，故所在直線的方程為．4．（2023·高二課時練習(xí)）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.（2）因?yàn)?，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點(diǎn)為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.高頻考點(diǎn)三：直線過定點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023春·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）不論取任何實(shí)數(shù)，直線恒過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線方程可整理為：，則由得：，即直線恒過定點(diǎn).故選：B.例題2．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┲本€（）必過點(diǎn).【答案】【詳解】直線方程（）可化為，（），∴由，解得，∴直線（）必過定點(diǎn).故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線都恒過一定點(diǎn)．【答案】證明見解析【詳解】證法一（特殊值法）：取，得到直線，取，得到直線，故與的交點(diǎn)為．將點(diǎn)代入方程左邊，得，∴點(diǎn)在直線上．∴直線恒過定點(diǎn)．證法二（分離參數(shù)法）：由，整理，得．則直線通過直線與的交點(diǎn)．由方程組，得，∴恒過定點(diǎn)．2．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，所以直線必過點(diǎn).故答案為：高頻考點(diǎn)四：與直線方程有關(guān)的最值問題典型例題例題1．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將直線轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線與該直線垂直時，點(diǎn)到該直線的距離取得最大值，此時，解得.故選：C.例題2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意，設(shè)，且可得表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，其中點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，如圖所示，在直角中，可得，可得直線的斜率為；在直角中，可得，可得直線的斜率為，所以的范圍為.故答案為：.

例題3．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【詳解】直線，得，可知直線過定點(diǎn)，如圖，曲線表示以為圓心，2為半徑的上半圓．當(dāng)直線與半圓相切時，，解得．曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．因?yàn)橹本€與曲線有兩個交點(diǎn)，所以．故答案為：.

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線與過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是．【答案】10【詳解】由得，故,由得,由于直線與直線互相垂直，所以,故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值是10故答案為：102．（2023春·北京西城·高一北師大二附中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意可知線段滿足的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，取得最大值4，所以的取值范圍為，故答案為：3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則m的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的下半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個交點(diǎn)，須得，即m的取值范圍為.故答案為：.高頻考點(diǎn)五：直線方程的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).(1)求所在直線的一般式方程；(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動時，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1），所在直線的斜率為：.所在直線方程是，即；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)是，是線段的中點(diǎn)，，，于是有，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，，，即，由得，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.例題2．（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）在三角形中，已知點(diǎn)，，.(1)求邊上中線所在的直線方程；(2)若某一直線過點(diǎn)，且軸上截距是軸上截距的倍，求該直線的一般式方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）∵，，∴線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)，∴，即，故邊上中線所在的直線方程（2）當(dāng)直線在軸和軸上的截距均為0時，可設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，所以所求直線的方程為，即；當(dāng)直線在軸和軸上的截距均不為0時，可設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，則，解得，所以所求直線的方程為，綜上所述，該直線的一般式方程為或.例題3．（2023秋·廣東江門·高二臺山市華僑中學(xué)?？计谥校┲本€經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且_____．(1)求直線的方程；(2)求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．試從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在上面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．①與直線平行，②直線在軸上的截距為．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，，解得，，即，直線與直線平行．可設(shè)直線的方程，把代入可得，直線的方程為，選②直線經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，，解得，，即，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)為且，則過，代入可得，直線的方程，（2）在直線中，令可得，令可得，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知的三個頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（6，6），C（0，2