15.4　角的平分線 課堂同步練習 2023- 2024學年滬科版八年級數(shù)學上冊

2023-2024學年滬科版八年級數(shù)學上冊課堂同步練習第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線知識點1用尺規(guī)作角的平分線1.如圖,已知∠AOB,按照以下步驟作圖:①以點O為圓心,適當?shù)拈L為半徑作弧,分別交∠AOB的兩邊于點C,D,連接CD;②分別以點C,D為圓心,大于12CD的長為半徑作弧,兩弧在∠③連接OE交CD于點M.下列結論中錯誤的是()A.∠CEO=∠DEOB.CM=MDC.∠OCD=∠ECDD.S四邊形OCED=12CD·知識點2角平分線的性質定理2.(2023安徽合肥廬江期中)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,作∠CAB的平分線AP交BC于點D.若AB=10,S△ABD=20,則CD的長為.

知識點3角平分線的判定定理3.如圖,P是OC上一點,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F、G分別是OA、OB上的點,且PF=PG,DF=EG.求證:OC平分∠AOB.知識點4三角形的三條內角平分線的性質4.如圖,△ABC的周長為12,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O,過點O作OD⊥BC于點D,當OD=1時,△ABC的面積為.

課后訓練5.(2022內蒙古鄂爾多斯中考,6,★☆☆)如圖,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于點D,EC⊥OB,垂足為C.若EC=2,則OD的長為()A.2B.3C.4D.56.(2021青海中考,5,★☆☆)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,對角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為()A.8B.7.5C.15D.無法確定7.(2023安徽淮南謝家集期中,6,★☆☆)如圖,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于點E,CD=DE,∠CBD=28°,則∠A的度數(shù)為()A.34°B.36°C.38°D.40°8.(2020湖南湘潭中考,15,★☆☆)如圖,點P是∠AOC的平分線上一點,PD⊥OA,垂足為點D,且PD=3,點M是射線OC上一動點,則PM長的最小值為.

9.(2018山東東營中考,15,★☆☆)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,以頂點C為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交AC,BC于點E,F,再分別以點E,F為圓心,大于12EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線CP交AB于點D.若BD=3,AC=10,則△ACD的面積是10.(2022安徽合肥廬江期中,20,★★☆)如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,連接EF,EF與AD相交于點G.(1)求證:AD垂直平分EF;(2)若△ABC的面積為16,AB+AC=8,求DE的長.11.如圖1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線BE,CF相交于點G,∠BAC=50°.(1)求∠BGC的度數(shù);(2)如圖2,連接AG,求證:AG平分∠BAC;(3)若∠ABC和∠ACB的鄰補角的平分線BM,CN相交于點H,連接AH.①∠BHC是多少度?②AH平分∠BAC嗎?請說明理由.12.如圖,△ABC中,∠ABC的平分線與∠ACB的鄰補角∠ACN的平分線相交于點P,連接AP.(1)求證:AP平分∠BAC的鄰補角∠CAM;(2)過點C作CE⊥AP,垂足為E,延長CE交BM于點D,求證:CE=ED;(3)在(2)的條件下,請?zhí)砑右粋€條件,并證明:AP∥BC.答案1.C由題中作圖方法可得OE平分∠COD,∴∠COE=∠DOE,∵OC=OD,OE=OE,∴△COE≌△DOE,∴∠CEO=∠DEO.∵OC=OD,CE=DE,∴OE垂直平分CD,∴CM=MD,S四邊形OCED=12CD·OM+12CD·ME=12CD·OE,由已知條件不能得出∠2.答案4解析如圖,過點D作DH⊥AB于H,∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DH=CD,∵S△ABD=12AB·DH=12×103.證明∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴△PFD和△PGE都為直角三角形,在Rt△PFD和Rt△PGE中,PF=PG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上一點,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC平分∠AOB.4.答案6解析如圖,過點O作OE⊥AB,垂足為E,過點O作OF⊥AC,垂足為F,連接AO,∵BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB,∴OE=OD.∵CO平分∠ACB,OD⊥BC,OF⊥AC,∴OF=OD.∴OD=OE=OF.∵△ABC的周長為12,∴AB+BC+AC=12,∴△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積=12AB·OE+12BC·OD+12AC·OF=12(AB+BC+AC)5.C過點E作EH⊥OA于點H,如圖.∵OE平分∠AOB,EC⊥OB,∴EH=EC.∵∠AOE=15°,OE平分∠AOB,∴∠AOC=2∠AOE=30°.∵DE∥OB,∴∠ADE=30°,∴DE=2HE=2EC.∵EC=2,∴DE=4.∵∠ADE=30°,∠AOE=15°,∴∠DEO=15°,∴∠AOE=∠DEO,∴OD=DE=4.6.B過點D作DE⊥BC于E,如圖,∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DA⊥AB,∴DE=DA=3,∴△BCD的面積=12BC·DE=17.A∵DE⊥AB,DC⊥BC,DE=DC,∴BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD=28°,∴∠A=90°-∠ABC=90°-2×28°=34°.8.答案3解析根據(jù)垂線段最短可知,當PM⊥OC時,PM的長最小.∵OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,∴PM長的最小值=PD=3.9.答案15解析由作圖過程可知CD平分∠ACB,∴點D到∠ACB兩邊的距離相等,∵∠B=90°,BD=3,∴點D到AC邊的距離為3,∴△ACD的面積=12AC×3=110.解析(1)證明:∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°.在Rt△AED和Rt△AFD中,AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF.又∵DE=DF,∴AD垂直平分EF.(2)∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴12AB·DE+12AC∵DE=DF,AB+AC=8,∴1211.解析(1)∵∠BAC=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=130°.∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∴∠GBC=12∠ABC,∠GCB=12∴∠GBC+∠GCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠∴∠BGC=180°-(∠GBC+∠GCB)=115°.(2)證明:如圖,過點G作GM⊥AB,GN⊥BC,GQ⊥AC,垂足分別為M,N,Q,∵BE平分∠ABC,GM⊥AB,GN⊥BC,∴GM=GN.∵CF平分∠ACB,GN⊥BC,GQ⊥AC,∴GN=GQ,∴GM=GQ,∴AG平分∠BAC.(3)如圖,過點H作HP⊥AB,交AB的延長線于點P,過點H作HL⊥AC,交AC的延長線于點L,過點H作HK⊥BC,垂足為K.①∵BM平分∠CBP,BE平分∠ABC,∴∠CBM=12∠CBP,∠EBC=12∴∠EBH=∠EBC+∠CBH=12∠ABC+12∠CBP=12(∠ABC+∠∵∠BGC=115°,∴∠BHC=360°-∠BGC-∠EBH-∠FCH=65°.②AH平分∠BAC.理由:∵BM平分∠CBP,HP⊥AB,HK⊥BC,∴HP=HK,∵CN平分∠BCL,HK⊥BC,HL⊥AC,∴HK=HL,∴HP=HL,∴AH平分∠BAC.解析(1)證明:如圖,過點P作PH⊥BM于點H,PF⊥BN于點F,PG⊥AC于點G,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACN,BP,CP交于點P,∴PH=PF,PF=PG,∴PH=PG,∴AP平分∠BAC的鄰補角∠CAM.(2)證明:由(1)知AP平分∠BAC的鄰補角∠CAM,∴∠DAE=∠CAE.