高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識專題講解與訓(xùn)練52-二項(xiàng)式定理

1/19高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識專題講解與訓(xùn)練專題52二項(xiàng)式定理【考綱要求】1.了解“楊輝三角”的特征，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及其簡單應(yīng)用.2．掌握二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決有關(guān)的簡單問題.【知識清單】知識點(diǎn)1.二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理，這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即展開式的第項(xiàng)；.2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，，一直到，.知識點(diǎn)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當(dāng)時，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值．當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)和相等，且同時取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即，2.注意:（1）．分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng).(2)．在通項(xiàng)公式中，含有、、、、、這六個參數(shù)，只有、、、是獨(dú)立的，在未知、的情況下，用通項(xiàng)公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出、,然后代入通項(xiàng)公式求解.(3)．求二項(xiàng)展開式中的一些特殊項(xiàng)，如系數(shù)最大項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)等，通常都是先利用通項(xiàng)公式由題意列方程，求出，再求所需的某項(xiàng)；有時則需先求,計算時要注意和的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.(4)在中，就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與，的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)．知識點(diǎn)3.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用二項(xiàng)式的應(yīng)用（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）證明一些簡單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項(xiàng)式的整除問題；（4）近似計算.當(dāng)充分小時，我們常用下列公式估計近似值：①；②；（5）證明不等式.【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理【典例1】（2020·北京高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【典例2】（2020·全國高考真題（理））的展開式中x3y3的系數(shù)為（）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【解析】展開式的通項(xiàng)公式為（且）所以的各項(xiàng)與展開式的通項(xiàng)的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【典例3】（2020·天津高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【典例4】（2020·江蘇省太湖高級中學(xué)高二期中）的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)是________.【答案】1560【解析】由題意，，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，的展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：1560.【規(guī)律方法】1.二項(xiàng)展開式問題的常見類型及解法(1)求展開式中的特定項(xiàng)或其系數(shù)．可依據(jù)條件寫出第k＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可．(2)已知展開式的某項(xiàng)或其系數(shù)求參數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)．2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮．3．求形如(a＋b＋c)n展開式中特定項(xiàng)的方法逐層展開法的求解步驟：【變式探究】1.（2018·全國高考真題（理））的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由題可得令,則所以故選C.2.（2017·全國高考真題（理））(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為（）A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】，由展開式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.3.（2019·天津高考真題（理））是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.【答案】【解析】，由，得，所以的常數(shù)項(xiàng)為.4.（2017·山東高考真題（理））已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是54，則n=_____________.【答案】【解析】（1+3x）n的展開式中通項(xiàng)公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．∵含有x2的系數(shù)是54，∴r＝2．∴54，可得6，∴6，n∈N*．解得n＝4．故答案為：4．【特別提醒】在應(yīng)用通項(xiàng)公式時，要注意以下幾點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)就隨之確定；②是展開式中的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置；④對二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號問題．=5\*GB3⑤在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法．考點(diǎn)二：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及各項(xiàng)系數(shù)和【典例5】（2020·浙江高三月考）二項(xiàng)式的展開式中，所有有理項(xiàng)（系數(shù)為有理數(shù)，的次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）的系數(shù)之和為________；把展開式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法共有____種．（用數(shù)字作答）【答案】32.144.【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，故所有有理?xiàng)的系數(shù)為；把展開式中的項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的排法共有種.【典例6】（2019·全國高三月考）的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和為________，含的項(xiàng)的系數(shù)是________.【答案】32【解析】根據(jù)題意，的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和為，當(dāng)時，，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是.【典例7】（2020·浙江省高考真題）設(shè)，則a5=________；a1+a2+a3=________．【答案】80；122.【解析】的通項(xiàng)為，令，則，故；.故答案為：80；122【總結(jié)提升】1.賦值法在求各項(xiàng)系數(shù)和中的應(yīng)用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．(2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)．①奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝.②偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.2．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項(xiàng)與第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．3．展開式系數(shù)最大值的兩種求解思路(1)由于展開式系數(shù)是離散型變量，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．(2)由于二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子，可以看作關(guān)于n的數(shù)列，通過判斷數(shù)列單調(diào)性的方法從而判斷系數(shù)的增減性，并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值．【變式探究】1.（2019·內(nèi)蒙古高二期中（理））已知，，則自然數(shù)等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由題意，令，則，因?yàn)?，所以，解?故選：C.2.(2019·石家莊模擬)在(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.【答案】1120x4【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，2n－1＝128，解得n＝8，(1－2x)8的展開式共有9項(xiàng)，中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)14(－2x)4＝1120x4.3.（2020·湖南師大附中高三月考）若，則______.【答案】由題意，由，，∴，令，則，所以.故答案為：.【特別提醒】1.對于二項(xiàng)式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①求二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；[來源:學(xué)_科_網(wǎng)]③證明不等式時，應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.2.對于二項(xiàng)式系數(shù)問題，首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題的一個重要手段.3.多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運(yùn)算級別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.考點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【典例8】（2012·湖北高考真題（理））設(shè)，且，若能被13整除，則（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本題考察二項(xiàng)展開式的系數(shù).由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12選D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））的計算結(jié)果精確到個位的近似值為（）A.106 B.107 C.108 D.109【答案】B【解析】∵，∴.故選：B【典例10】（多選題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“，，”猜想【答案】ABC【解析】由楊輝三角的性質(zhì)以及二項(xiàng)式定理可知A、B、C正確；，故D錯誤.故選：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為14，則_____，展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為______．【答案】【解析】由題，的展開式通項(xiàng)為令，此時所以原式為，令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為故答案為、1【總結(jié)提升】二項(xiàng)式定理應(yīng)用的常見題型及求解策略1．逆用二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵是根據(jù)所給式的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)展開式的要求，使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定理求解．2．利用二項(xiàng)式定理解決整除問題的思路：①觀察除式與被除式間的關(guān)系；②將被除式拆成二項(xiàng)式；③結(jié)合二項(xiàng)式定理得出結(jié)論．3.近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項(xiàng).【特別提醒】用二項(xiàng)式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決.【變式探究】1．（多選題）（2020·江蘇省太湖高級中學(xué)高二期中）設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．中最大的是 D．當(dāng)時，除以2000的余數(shù)是1【答案】ABD【解析】將原二項(xiàng)展開式轉(zhuǎn)化為，再逐一判斷.詳解：由，得，所以，故A正確；，故B正確；中最大的是，故C錯誤；當(dāng)時，，能被2000整除，所以除以2000的余數(shù)是1，故D正確；故選：ABD2.（2019·浙江高考模擬）已知，則_____，_____．【答案】【解析】因?yàn)?，令得，令得，所以，由展開式的通項(xiàng)為，則，故答案為：，.3.若n是正整數(shù)，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數(shù)是.【答案】0或7【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)＝(7＋1)n－1＝8n－1，又因?yàn)?n－1＝(9－1)n－1＝9n＋Ceq\o\al(1,n)9n－1·(－1)＋Ceq\