2025年中圖版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)第=page11頁(yè)，總=sectionpages11頁(yè)2025年中圖版高一數(shù)學(xué)下冊(cè)階段測(cè)試試卷98考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、如圖，在△ABC中，AB=AC=m，P為BC上任意一點(diǎn)，則PA2+PB?PC的值為（）A.m2B.m2+1C.2m2D.（m+1）22、函數(shù)y=ax+2（a＞0；且a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0；1）

B.（2；1）

C.（-2；0）

D.（-2；1）

3、已知數(shù)列滿足則的最小值為（A）（B）（C）（D）4、【題文】已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為底面是邊長(zhǎng)為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()．A.B.C.D.5、【題文】直線的傾斜角是A.30°B.120°C.60°D.150°6、直線l1：kx﹣y+2=0到直線l2：x+2y﹣3=0的角為45°，則k=（）A.﹣3B.-2C.2D.37、若2，a，b，c，9成等差數(shù)列，則c-a的值為（）A.2.5B.3.5C.1.5D.3評(píng)卷人得分二、填空題(共9題，共18分)8、設(shè)是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意都有（除數(shù)），則稱是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題：①數(shù)域必含有兩個(gè)數(shù)；②整數(shù)集是數(shù)域；③若有理數(shù)集則數(shù)集必為數(shù)域；④數(shù)域必為無(wú)限集；⑤存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域.其中正確的命題的序號(hào)是_______.（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填填上）9、已知是等比數(shù)列，則公比______________．10、設(shè)集合A={x|-1＜x＜2}，則A∪B=____．11、五個(gè)數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，則a=____，這五個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是_________12、【題文】函數(shù)R)為奇函數(shù)，則____．13、【題文】將按從小到大的順序排列是________________。14、【題文】一張坐標(biāo)紙對(duì)折一次后，點(diǎn)與點(diǎn)重疊，若點(diǎn)與點(diǎn)重疊，則_______________;15、下列結(jié)論：①函數(shù)y=和y=（）2是同一函數(shù)；②函數(shù)f（x﹣1）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)f（3x2）的定義域?yàn)閇0，]；③函數(shù)y=log2（x2+2x﹣3）的遞增區(qū)間為（﹣1，+∞）；其中正確的個(gè)數(shù)____16、某學(xué)校高一年段共有480名學(xué)生，為了調(diào)查高一學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，計(jì)劃用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30名學(xué)生作為樣本：將480名學(xué)生隨機(jī)地從1～480編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成30組（1～16號(hào)，17～32號(hào)，，465～480號(hào)），若從第1組中用抽簽的方法確定的號(hào)碼為5，則第8組中被抽中的學(xué)生的號(hào)碼是______．評(píng)卷人得分三、作圖題(共7題，共14分)17、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來(lái)水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．18、作出下列函數(shù)圖象：y=19、作出函數(shù)y=的圖象．20、畫(huà)出計(jì)算1++++的程序框圖．21、以下是一個(gè)用基本算法語(yǔ)句編寫(xiě)的程序；根據(jù)程序畫(huà)出其相應(yīng)的程序框圖．

22、繪制以下算法對(duì)應(yīng)的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據(jù)函數(shù)f（x）=

對(duì)變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．23、已知簡(jiǎn)單組合體如圖；試畫(huà)出它的三視圖（尺寸不做嚴(yán)格要求）

評(píng)卷人得分四、證明題(共2題，共20分)24、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過(guò)點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．25、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過(guò)點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．評(píng)卷人得分五、解答題(共3題，共15分)26、【題文】求函數(shù)的最小值。27、【題文】已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則的值是．28、某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)的圖象；先列表，并填寫(xiě)了一些數(shù)據(jù)，如表：

。ωx+φ0π2πx____________

__________________f（x）______________________________（1）請(qǐng)將表格填寫(xiě)完整；并畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖；

（2）寫(xiě)出如何由f（x）=sinx的圖象變化得到的圖象，要求用箭頭的形式寫(xiě)出變化的三個(gè)步驟．評(píng)卷人得分六、綜合題(共4題，共20分)29、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點(diǎn)為M點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P；使∠POM=90°．若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90°，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出K點(diǎn)的坐標(biāo)．30、已知開(kāi)口向上的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-3；0）；B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB不小于90°．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求系數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D；求△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值．

（4）設(shè)E，當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上是否存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．31、如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AM，E為垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的長(zhǎng)是方程x2-（k-2）x+2k=0的兩個(gè)根；

（1）求k的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)M離開(kāi)點(diǎn)B多少距離時(shí)，△AED的面積是△DEM面積的3倍？請(qǐng)說(shuō)明理由．32、如圖，已知：⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，以直線O1O2為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，直線AB切⊙O1于點(diǎn)B，切⊙O2于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C（0，2），交x軸于點(diǎn)M．BO的延長(zhǎng)線交⊙O2于點(diǎn)D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半徑的長(zhǎng)；

（2）求線段AB的解析式；

（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△MO2P與△MOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與此時(shí)k=的值，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、A【分析】【分析】過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D，利用勾股定理表示出AB、AP的長(zhǎng)，再根據(jù)D是BC的中點(diǎn)，整理得到AB2-AP2=PB?PC，把AB=m代入求解即可．【解析】【解答】解：作AD⊥BC交BC于D；

AB2=BD2+AD2①

AP2=PD2+AD2②

①-②得：

AB2-AP2=BD2-PD2；

∴AB2-AP2=（BD+PD）（BD-PD）；

∵AB=AC；∴D是BC中點(diǎn)；

∴BD+PD=PC；BD-PD=PB；

∴AB2-AP2=PB?PC．

∴PA2+PB?PC=AB2=m2．

故選A．2、D【分析】

令x+2=0；解得x=-2；

此時(shí)y=a=1；故得（-2，1）

此點(diǎn)與底數(shù)a的取值無(wú)關(guān)；

故函數(shù)y=ax+2（a＞0；且a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，1）

故選D．

【解析】【答案】由指數(shù)函數(shù)的定義可知；當(dāng)指數(shù)為0時(shí)，指數(shù)式的值為1，故令指數(shù)x-1=0，解得x=1，y=2，故得定點(diǎn)（1，2）．

3、C【分析】試題分析：由an+1-an=2n可得a2-a1=2，a3-a2=4an-an-1=2n-2，以上n-1個(gè)式子相加可得，an-a1=2+4+6++2n-2=∴an=3+n（n-1）∴當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).考點(diǎn)：1.數(shù)列遞推式；2.數(shù)列的函數(shù)特性．【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】如圖所示：S△ABC＝×××sin60°＝

∴VABC-A1B1C1＝S△ABC×OP＝×OP＝∴OP＝

又OA＝××＝1；

∴tan∠OAP＝＝由∠OAP∈

得∠OAP＝【解析】【答案】B5、D【分析】【解析】本題考查了斜率與傾斜角之間關(guān)系。

解：設(shè)直線的傾斜角為

故選D【解析】【答案】D6、A【分析】【解答】直線l1：kx﹣y+2=0的斜率為k，直線l2：x+2y﹣3=0的斜率為﹣

則根據(jù)一條直線到另一條直線的角為45°可得tan45°=

解得k=﹣3；

故選：A．

【分析】先根據(jù)根據(jù)直線的方程求斜率，再利用一條直線到另一條直線的角的計(jì)算公式求得k的值。7、B【分析】解：∵2，a，b；c，9成等差數(shù)列；

∴2a=2+b，2c=9+b；

∴2a-2c=2-9=-7；

∴c-a==3.5；

故選：B．

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)分別表示出a和c；作差即可．

本題主要考查了等差中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵時(shí)表示出a和c．【解析】【答案】B二、填空題(共9題，共18分)8、略

【分析】試題分析：因?yàn)楣盛僬_；任意兩個(gè)整數(shù)相除，商不一定都是整數(shù)，故②錯(cuò)誤；若則就不是數(shù)域，故③錯(cuò)誤；因?yàn)楸貫槿我庖粋€(gè)數(shù)域的子集，故數(shù)域必為無(wú)限集，故④正確；例如在數(shù)域中，可將換成其它的任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，得到的集合都是數(shù)域，所以存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域，故⑤正確.綜上正確的有①④⑤.考點(diǎn)：對(duì)及時(shí)定義的概念的理解和運(yùn)用.【解析】【答案】①④⑤9、略

【分析】試題分析：∵等比數(shù)列{},∴．考點(diǎn)：等比數(shù)列基本量的計(jì)算．【解析】【答案】10、略

【分析】

集合A={x|-1＜x＜2}，

則A∪B={x|-1＜x＜2}∪=R；

故答案為R．

【解析】【答案】直接根據(jù)兩個(gè)集合的并集的定義求出A∪B．

11、略

【分析】【解析】

因?yàn)槲鍌€(gè)數(shù)1，2，3，4，a的平均數(shù)是3，所以5*3=1+2+3+4+a,則a=5,則【（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2】/5=【解析】【答案】5，12、略

【分析】【解析】

試題分析：由題意可知,函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以根據(jù)奇函數(shù)有所以

考點(diǎn)：奇函數(shù)性質(zhì).【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】可解得對(duì)稱軸方程為由得所以【解析】【答案】14.815、0【分析】【解答】對(duì)于①，函數(shù)y==|x|（x∈R），和y=（）2=x（x≥0）的定義域不同；

對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同；∴不是同一函數(shù)，命題①錯(cuò)誤；

對(duì)于②；函數(shù)f（x﹣1）的定義域?yàn)閇1，2]；

即x∈[1；2]，∴x﹣1∈[0，1]；

∴f（x）的定義域是[0；1]；

令0≤3x2≤1，即0≤x2≤

解得﹣≤x≤

∴函數(shù)f（3x2）的定義域?yàn)閇﹣]；命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，∵x2+2x﹣3＞0；即（x+3）（x﹣1）＞0；

解得x＜﹣3或x＞1；

∴函數(shù)y=log2（x2+2x﹣3）的遞增區(qū)間是（1；+∞），命題③錯(cuò)誤；

綜上；正確的命題個(gè)數(shù)為0．

故答案為：0．

【分析】①根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同；對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是否為同一函數(shù)；

②根據(jù)函數(shù)f（x﹣1）的定義域求出f（x）的定義域，再求函數(shù)f（3x2）的定義域即可；

③根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)y=log2（x2+2x﹣3）的單調(diào)區(qū)間即可．16、略

【分析】解：因?yàn)樵O(shè)第1組抽出的號(hào)碼為5；

所以第8組應(yīng)抽出的號(hào)碼是（8-1）×16+5=117；

故答案為：117

根據(jù)題意可得在第1組中隨機(jī)抽到的號(hào)碼；根據(jù)組數(shù)與每組內(nèi)的人數(shù)可得第8組抽取的號(hào)碼．

抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來(lái)決定，若總體個(gè)數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個(gè)數(shù)較多且個(gè)體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個(gè)體差異較大，可采用分層抽樣【解析】117三、作圖題(共7題，共14分)17、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對(duì)稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．18、【解答】?jī)绾瘮?shù)y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定義域是[0；+∞），圖象在第一象限，過(guò)原點(diǎn)且單調(diào)遞增，如圖所示；

【分析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別畫(huà)出題目中的函數(shù)圖象即可．19、【解答】圖象如圖所示。

【分析】【分析】描點(diǎn)畫(huà)圖即可20、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)計(jì)的程序框圖時(shí)需要分別設(shè)置一個(gè)累加變量S和一個(gè)計(jì)數(shù)變量i，以及判斷項(xiàng)數(shù)的判斷框．21、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據(jù)題目中的程序語(yǔ)言，得出該程序是順序結(jié)構(gòu)，利用構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用，即可畫(huà)出流程圖．22、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數(shù)是分段函數(shù)，當(dāng)x取不同范圍內(nèi)的值時(shí)，函數(shù)解析式不同，因此當(dāng)給出一個(gè)自變量x的值時(shí)，必須先判斷x的范圍，然后確定利用哪一段的解析式求函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)解析式分了三段，所以判斷框需要兩個(gè)，即進(jìn)行兩次判斷，于是，即可畫(huà)出相應(yīng)的程序框圖．23、

解：幾何體的三視圖為：

【分析】【分析】利用三視圖的作法，畫(huà)出三視圖即可．四、證明題(共2題，共20分)24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點(diǎn)；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點(diǎn)；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．五、解答題(共3題，共15分)26、略

【分析】【解析】解：可看作點(diǎn)

到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)

【解析】【答案】27、略

【分析】【解析】

試題分析：首先研究函數(shù)的性質(zhì)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，時(shí)，取極大值1，時(shí)，取極小值當(dāng)時(shí)，因此方程有7個(gè)根，則方程必有兩個(gè)根其中

由此可得所以

考點(diǎn)：偶函數(shù)的性質(zhì)，曲線的交點(diǎn)與方程的根.【解析】【答案】28、略

【分析】解：（1）由

當(dāng)=0時(shí)，可得x=f（x）=0；

當(dāng)=時(shí)；可得x=2π，f（x）=2；

當(dāng)=π時(shí)，可得x=f（x）=0；

當(dāng)=時(shí)；可得x=5π，f（x）=-2；

當(dāng)=2π時(shí)，可得x=f（x）=0；

簡(jiǎn)圖如下：

（2）f（x）=sinx的圖象變化得到的圖象；

（2）函數(shù)f（x）=sinx

第一步：y=sinxy=sin（x-）

第二步：y=sin（x-）

→橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變可得y=sin（x-）

第三步：y=sin（x-）y=2sin（x-）

（1）根據(jù)ωx+φ=0，π，2π，依次求解出x，填入圖框即可．

（2）根據(jù)“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)圖象即可．

（3）根據(jù)平移變換的規(guī)律即可得到．

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫(huà)三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫(huà)出圖形，是基礎(chǔ)題．【解析】2π；5π；0；2；0；-2；0六、綜合題(共4題，共20分)29、略

【分析】【分析】（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b；c的值；得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90?．設(shè)（a，a2-4a）；過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽R(shí)t△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90?．過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，解得；

∴拋物線的解析式為y=x2-4x；

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P；使∠POM=90?．

x=-=-=2，y===-4；

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2；-4）；

設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為（a，a2-4a）；

過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸；垂足為E；過(guò)M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．

則∠POE+∠MOF=90?；∠POE+∠EPO=90?．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90?；

∴Rt△OEP∽R(shí)t△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；

（3）過(guò)頂點(diǎn)M作MN⊥OM；交y軸于點(diǎn)N．則∠FMN+∠OMF=90?．

∵∠MOF+∠OMF=90?；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90?；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0；-5）．

設(shè)過(guò)點(diǎn)M，N的直線的解析式為y=kx+b，則；

解得，∴直線的解析式為y=x-5；

聯(lián)立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

另一個(gè)交點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，-）；

∴拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90?．坐標(biāo)為（，-）．30、略

【分析】【分析】（1）由拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-3；0），B（1，0），得出c與a的關(guān)系，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)度，即可得出a的取值范圍；

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，得出拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，進(jìn)而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，過(guò)B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h，根據(jù)h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）連接CE，過(guò)點(diǎn)N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據(jù)三角形的面積公式求出S△CAEF=S四邊形EFCB，根據(jù)NP∥CE，求出，設(shè)過(guò)N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點(diǎn)的直線的解析式，組成方程組求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0；-3a）；

答：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0；-3a）．

（2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO?OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范圍為0＜a≤；

答：系數(shù)a的取值范圍是0＜a≤．

（3）作DG⊥y軸于點(diǎn)G；延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)H，如圖．

∵拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（-3；0），B（1，0）．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴拋物線方程為y=ax2+2ax-3a，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直線DC過(guò)定點(diǎn)H（3，0）．

過(guò)B作BM⊥DH；垂足為M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值為1；

答：△BCD中CD邊上的高h(yuǎn)的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，，；

設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連接CN，則N（-1，0），CN將△ABC的面積平分，

連接CE；過(guò)點(diǎn)N作NP∥CE交y軸于P，顯然點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線上，從而NP必與AC相交，設(shè)其交點(diǎn)為F，連接EF；

因?yàn)镹P∥CE，所以S△CEF=S△CEN；

由已知可得NO=1，；而NP∥CE；

∴，得；

設(shè)過(guò)N、P兩點(diǎn)的一次函數(shù)是y=kx+b，則；

解得：；

即；①

同理可得過(guò)A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)為；②

解由①②組成的方程組得，；

故在線段AC上存在點(diǎn)滿足要求．

答：當(dāng)∠ACB=90°，在線段AC上存在點(diǎn)F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（-，-）．31、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系；列出方程組解答；

（2）根據(jù)（1）中k的值解方程，求出AD和BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意列方程組得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分別代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

當(dāng)k=12時(shí)原方程可化為x2-10x+24=0；

解得x=4或x=6；

∵3AB=2BC；∴AB=4，BC=6．

當(dāng)k=時(shí)原方程可化為x2+x+=0，解得x=-或x=-1（不合題意舍去）．

故AB=4；BC=6；

∵△AED的面積是△DEM的高相同；

∴△AED的面積是△DEM面積的3倍則AE=3ME；設(shè)

ME=x；則AE=3x，設(shè)BM=y．

在Rt△AED與Rt△MBA中；∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故兩三角形相似；

由勾股定理得AB2+BM2=16x2①，解得BM=；

即=，即=②；

整理得x4-4x2+4=0，解得x2=2，x=．