2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型解讀與提分精練（全國版）

專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的常客，并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型） 2模型2.等邊截等長模型（定角模型） 3模型3.等邊內(nèi)接等邊 4 8模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點的同時也增加了趣味性。條件：如圖，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，結(jié)論：①DF=FE；②。證明：如圖，過點D作交于H，則，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中,，∴，∴；∵，∴，∵，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年級上·廣東中山·期末）如圖，中，，，點P從點B出發(fā)沿線段移動到點A停止，同時點Q從點C出發(fā)沿的延長線移動，并與點P同時停止．已知點P，Q移動的速度相同，連接與線段相交于點D(不考慮點P與點A，B重合時的情況)．(1)求證:；(2)求證:；(3)如圖，過點P作于點E，在點P，Q移動的過程中，線段的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由．例2．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與探究問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點M．猜想判斷：（1）當點D在邊的延長線上，點E在邊上時，過點E作交于點F，如圖①．若，則線段、的大小關(guān)系為_______．深入探究：（2）當點D在邊的延長線上，點E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（3）當點D在邊上（點D不與、重合），點E在邊的延長線上時，如圖③．若，，，求的長．例3．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，連PQ交AC邊于D，當PA＝CQ時，DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2024·河南·?？家荒＃﹩栴}背景：已知在中，邊AB上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，同時點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求的值．（1）初步嘗試：如圖①，若是等邊三角形，，且點D?E的運動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點D作交AC于點G，先證，再證，從而求得的值為________；（2）類比探究：如圖②，若中，，且點D，E的運動速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如圖③，若在中，，記，且點D?E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程)．模型2.等邊截等長模型（定角模型）條件：如圖，在等邊中，點，分別在邊，上，且，與相交于點，于點．結(jié)論：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。證明：在等邊三角形中，，，在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；．，，∴BQ=2PQ．例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．例2．（2024八年級·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點，則（

）．A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定例3．（23-24八年級·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與相交于點，于點．(1)求證：；(2)若，求的長．

例4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形的，邊上各取一點，（均不與端點重合），且，，相交于點，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．若，，則D．若，，則模型3.等邊內(nèi)接等邊圖1圖21）等邊內(nèi)接等邊（截取型）條件：如圖1，等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，且滿足AD=BE=CF；結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等邊三角形．2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）條件：如圖，點、、分別在等邊的各邊上，且于點，于點，于點，結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，例1．（2024七年級下·成都·專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形的頂點、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長為（）A．12 B．18 C．20 D．24例2．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形，點，，分別為邊上的黃金分割點（，，），連接，，，我們稱為的“內(nèi)含黃金三角形”，若在中任意取點，則該點落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是．例3．（23-24八年級下·廣東云浮·期中）如圖，點P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點P，于點M，于點N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．

例4．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運動，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．

1．（23-24九年級上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，點D，E分別在，上，且，，與相交于點F，則下列結(jié)論：①，②，③．其中正確的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點P，Q分別是AC，BC邊上的動點（都不與線段端點重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點O．下列四個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OP?AQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③3．（2024·廣西·一模）如圖，在等邊中，，點，分別在邊，上，且，連接，交于點，在點D從點B運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）A． B． C． D．4．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接并延長交的延長線于點，連接，且，過點作于點交于點，過點作交的延長線于點，以下四個結(jié)論中：；；當時，；．正確的有（

）個．A． B． C． D．5．（2023·福建莆田·一模）如圖，和都是等邊三角形，將先向右平移得到，再繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)使得點，分別在邊和上．現(xiàn)給出以下兩個結(jié)論：①僅已知的周長，就可求五邊形的周長；②僅已知的面積，就可求五邊形的面積．下列說法正確的是（）A．①正確，②錯誤B．①錯誤，②正確C．①②均正確D．①②均錯誤6．（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點，且，連接，相交于點F，則下列說法正確的是（

）①；

②；③；④若，則A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④7．（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖，ΔABC是等邊三角形，點分別在邊上，且與相交于點．若，則ΔABC的邊長等于（

）A．B．C．D．8．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，過等邊的頂點A，B，C依次作的垂線三條垂線圍成，已知，則的周長是．9．（23-24天津九年級上期中）如圖，點分別在正三角形的三邊上，且也是正三角形.若的邊長為，的邊長為，則的內(nèi)切圓半徑為．10．（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角中，為的中點，為上一點，連接并延長，交的延長線于點，若，則的長為．11．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，過邊長為a的等邊的邊上一點P，作于E，Q為延長線上一點，當時，連交邊于D，則的長為．

12．（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O．若BO=6，PO=2，則AP的長，AO的長分別為．

13．（23-24八年級上·上海浦東新·期末）如圖，在等邊的，上各取一點D，E，使，，相交于點M，過點B作直線的垂線，垂足為H．若，則的長為．

14．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖，在三角形中，，，，與相交于點F，若，則E到的距離為．15．（23-24九年級下·河南商丘·階段練習(xí)）【問題提出】數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1，在等邊三角形中，點，分別在，邊上，，交于點，且．（1）線段，的數(shù)量關(guān)系為______，的度數(shù)為______．【類比探究】老師繼續(xù)提出問題，若改變的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？同學(xué)們根據(jù)老師的提問畫出圖形，如圖2，是等腰直角三角形，，點，分別在，邊上，，交于點，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類比（1）中的探究過程得出結(jié)論，還需要確定線段，的數(shù)量關(guān)系．（2）請先將條件補充完整：線段，的數(shù)量關(guān)系為______；再根據(jù)圖2寫出線段，的數(shù)量關(guān)系和的度數(shù)，并說明理由．【拓展探究】（3）如圖3，是等腰直角三角形，，若點沿邊上一動點，點是射線上一動點，直線，交于點，在（2）的條件下，當動點沿邊從點移動到點（與點重合）時，請直接寫出運動過程中長的最大值和最小值．16．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連結(jié)，交于點．(1)求證：；(2)連接，若時，①求的值；②設(shè)的面積為，四邊形的面積為，求的值．17．（23-24九年級下·上海寶山·階段練習(xí)）如圖（1），已知是等邊三角形，點D、E、F分別在邊、、上，且．(1)試說明是等邊三角形的理由．(2)分別連接與相交于O點（如圖（2）），求的大?。?3)將繞F點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到圖（3），與平行嗎？說明理由．18．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學(xué)考試）中，點D是邊中點，過點D的直線交邊于點M，交邊的延長線于點N，且．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系．19．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊上運動，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．20．（23-24山東八年級上期中）問題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：①如圖（1），在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖（2），在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運用類似的思想提出了如下命題：③如圖（3），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：（1）請你從①②③三個命題中選擇一個進行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；①在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結(jié)論BM＝CN成立（不要求證明）；②如圖（4），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，∠BON＝108°時，試問結(jié)論BM＝CN是否成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．21．（23-24九年級·四川綿陽·期末）小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個習(xí)題做如下探究：【習(xí)題回顧】：如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q使，AQ，BP相交于點O，求的度數(shù)．請你解答該習(xí)題．【拓展延伸】：（1）如圖1，在等腰的邊上各取一點P，Q，使，平分，，，求的長．小明的思路：過點A作交延長線于點G，證明，…（2）如圖2，在的邊上各取一點P、Q，使，平分，，，求的數(shù)量關(guān)系，請你解答小明提出的問題．22．（23-24八年級上·福建福州·階段練習(xí)）如圖：是邊長為的等邊三角形，是邊上一動點，由點向點運動（與點、不重合），點同時以點相同的速度，由點向延長線方向運動（點不與點重合），過點作于點，連接交于點．

(1)若設(shè)的長為，則______，______；(2)當時，求的長；(3)點，在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？請說明理由．23．（2023·河南開封·一模）教材呈現(xiàn)：如下為華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第65頁的部分類容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎?此時，符合條件的角形有多少種？(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，通過作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時（即“邊邊角”對應(yīng)相等）的兩個三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）(2)【探究證明】已知：如圖2，在和中，，，．求證：．證明：在上取一點，使．請補全完整證明過程：(3)【拓展應(yīng)用】在中，，點在射線上，點在的延長線上，且，連接DE，DE與邊所在的直線交于點．過點作交直線于點，若，，則_________．（直接寫出答案）

24．（2023九年級上·江蘇·專題練習(xí)）已知，如圖1，在等腰中，，點E是射線上的動點，點D是邊上的動點，且，射線交射線于點F．(1)求證：；(2)連接，如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；(3)如圖2，當點E在邊上時，連接，若，線段的長為．25．（2024·陜西渭南·一模）【問題提出】（1）如圖1，，A、D在上，B、C在上，，若，則的長為__________；【問題探究】（2）如圖2，已知是等邊三角形，D、E分別為上的點，且，連接．求證：；【問題解決】（3）如圖3是某公園一塊四邊形空地，其中，米，米，，P、Q分別在上，且，是平行于的一條綠化帶，E、F是線段上的兩個動點（點E在點F的左側(cè)），米，M在線段上運動（不含端點），且保持，管理人員計劃沿鋪設(shè)兩條筆直的水管，為了節(jié)省費用，公園負責人要求這兩條水管的長度之和（即的值）最小，求這兩條水管的長度之和的最小值．（綠化帶、水管寬度均忽略不計）

專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的?？停⑶倚问蕉鄻?，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型） 2模型2.等邊截等長模型（定角模型） 8模型3.等邊內(nèi)接等邊 12 18模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應(yīng)用，因為模型很像帽子，學(xué)習(xí)知識點的同時也增加了趣味性。條件：如圖，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，結(jié)論：①DF=FE；②。證明：如圖，過點D作交于H，則，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中,，∴，∴；∵，∴，∵，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年級上·廣東中山·期末）如圖，中，，，點P從點B出發(fā)沿線段移動到點A停止，同時點Q從點C出發(fā)沿的延長線移動，并與點P同時停止．已知點P，Q移動的速度相同，連接與線段相交于點D(不考慮點P與點A，B重合時的情況)．(1)求證:；(2)求證:；(3)如圖，過點P作于點E，在點P，Q移動的過程中，線段的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)為定值5，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）利用、的移動速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出；（2）過點P作，交于點F，利用等邊對等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論；（3）過點P作，交于點F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值．【詳解】（1）證明：、的移動速度相同，，，；（2）如圖，過點P作，交于點F，，，，，，，由（1）得，，在與中，，，；（3）解：為定值5，理由如下：如圖，過點P作，交于點F，由（2）得：，為等腰三角形，，，由（2）得，，，為定值5．例2．（24-25九年級上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與探究問題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點M．猜想判斷：（1）當點D在邊的延長線上，點E在邊上時，過點E作交于點F，如圖①．若，則線段、的大小關(guān)系為_______．深入探究：（2）當點D在邊的延長線上，點E在邊的延長線上時，如圖②．若，判斷線段、的大小關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（3）當點D在邊上（點D不與、重合），點E在邊的延長線上時，如圖③．若，，，求的長．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）過點E作交于點F，證明即可得解；（2）過點E作交的延長線于點F，證明即可得解；（3）過點E作交的延長線于點F，證明，由相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：過點E作交于點F，∵，，∵，，，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：理由如下：如圖，過點E作交的延長線于點F，∵，，，在和中，，∴，；（3）解：如圖，過點E作交的延長線于點F∵，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．例3．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，連PQ交AC邊于D，當PA＝CQ時，DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意過P作BC的平行線，交AC于M；則△APM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE＝EM；易證得△PMD≌△QCD，則DM＝CD；此時發(fā)現(xiàn)DE的長正好是AC的一半，由此得解．【詳解】解：過P作PM∥BC，交AC于M，∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，∴△APM是等邊三角形；又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等邊三角形三線合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出等邊三角形△APM是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2024·河南·?？家荒＃﹩栴}背景：已知在中，邊AB上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，同時點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連接DE交AC于點F，點H是線段AF上一點，求的值．（1）初步嘗試：如圖①，若是等邊三角形，，且點D?E的運動速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點D作交AC于點G，先證，再證，從而求得的值為________；（2）類比探究：如圖②，若中，，且點D，E的運動速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如圖③，若在中，，記，且點D?E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程)．【答案】（1）2；（2）2；（3）【詳解】解：（1）2；【解法提示】如解圖①，過點D作交AC于點G，圖①圖②圖③∵△ABC是等邊三角形，∴△AGD是等邊三角形，∴，由題意知，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；（2）如解圖②，過點D作交AC于點G，則，∵，∴，，，∴△DGH為等邊三角形，∴，．由題意可知，．∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．，即，∴，即；（3）．如解圖③，過點D作交AC于點G，易得，，．在中，∵，，∴，，，∴，∵，∴．∴，∴．由可得．∵，∴．∴．∴，即．∴．模型2.等邊截等長模型（定角模型）條件：如圖，在等邊中，點，分別在邊，上，且，與相交于點，于點．結(jié)論：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。證明：在等邊三角形中，，，在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；．，，∴BQ=2PQ．例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．例2．（2024八年級·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點，則（

）．A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，先證明，得到，在三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】∵等邊，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選B．例3．（23-24八年級·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與相交于點，于點．(1)求證：；(2)若，求的長．

【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）證明即可得證；（2）求出，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．例4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形的，邊上各取一點，（均不與端點重合），且，，相交于點，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，據(jù)此可判定和全等，從而得，然后根據(jù)三角形的外角定理可求出，由此可求出的度數(shù)，進而可對結(jié)論進行判定；由和全等可得出，據(jù)此可判定和相似，進而根據(jù)相似的性質(zhì)可對結(jié)論B進行判定；過作于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，，然后分別用勾股定理求出，進而再求出，最后可求出，由此可對結(jié)論C進行判定；設(shè)，，則，，，，先由結(jié)論A正確得出，過點作于點，則，然后在中利用勾股定理求出，最后在中再利用勾股定理可求出，之間的關(guān)系，從而可對結(jié)論D進行判定．【詳解】解：為等邊，，，在與中，，，，，，因此結(jié)論A正確；，即：，又，，，，因此結(jié)論B正確；過作于點，為等邊，，，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，因此結(jié)論C正確；設(shè)，，則，，，，，，過點作于點，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，即：，，將代入上式得：，整理得：，因此結(jié)論D不正確．故選D．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難點是靈活運用勾股定理進行相關(guān)的計算．模型3.等邊內(nèi)接等邊圖1圖21）等邊內(nèi)接等邊（截取型）條件：如圖1，等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運動，且滿足AD=BE=CF；結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等邊三角形．2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）條件：如圖，點、、分別在等邊的各邊上，且于點，于點，于點，結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，例1．（2024七年級下·成都·專題練習(xí)）如圖，過等邊三角形的頂點、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長為（）A．12 B．18 C．20 D．24【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，先證明是等邊三角形．得出．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，證明，得出，求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，同理：，∴是等邊三角形．∴．在中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴∴，∴，∴的周長為．故選：B．例2．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形，點，，分別為邊上的黃金分割點（，，），連接，，，我們稱為的“內(nèi)含黃金三角形”，若在中任意取點，則該點落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是．【答案】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點的計算，概率的計算方法，根據(jù)題意，設(shè)，可得等邊的面積，根據(jù)黃金分割點可得，，可證，可得，根據(jù)圖形面積可得，再根據(jù)概率的計算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，設(shè)，如圖所示，過點作于點，∴在中，，∴，，∴，∵點分別是的黃金分割點，∴，∴，∴，∴，則，如圖所示，過點P1作于點，∴在中，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．例3．（23-24八年級下·廣東云浮·期中）如圖，點P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點P，于點M，于點N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．

【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求得．得．則，再求得．即可得到結(jié)論；（2）由得到．由得到，則．由得到．即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴．∴．∴．∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運動，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．

【答案】(1)見詳解(2)(3)當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小【分析】（1）由題意易得，，然后根據(jù)“”可進行求證；（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據(jù)題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進而問題可求解；（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖所示：

在等邊中，，，∴，∴，設(shè)的長為x，則，，∴，∴，同理（1）可知，∴，∵的面積為y，∴；（3）解：由（2）可知：，∴，對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減??；即當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減?。军c睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（23-24九年級上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，點D，E分別在，上，且，，與相交于點F，則下列結(jié)論：①，②，③．其中正確的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】由是等邊三角形，求得，證明，得到，即可求得，故①正確；由，證明，即可得到，故②正確；由，，證明，即可求得，故③正確；【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴，且，，∴，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴①正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∴②正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∴③正確；故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵2．（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點P，Q分別是AC，BC邊上的動點（都不與線段端點重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點O．下列四個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OP?AQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)線段的和差得到CP=BQ，過P作PD∥BC交AQ于D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；過B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②錯誤；在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到③正確；以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，證明點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，根據(jù)30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，如圖，過P作PD∥BC交AQ于D，∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴，，∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正確；過B作BE⊥AC于E，則CE=AC=4，∵∠C=60°，∴BE=4，∴PE==1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②錯誤；在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，在△ABP與△CAQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，∴AP2=OP?PB，∴AP2=OP?AQ．故③正確；以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，∴點N，A，O，B四點共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點O′，CO′即為CO的最小值，∵NA=NB，CA=CB，∴CN垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，∴MA=AC?tan∠ACM=，CM=2AM=2，∴MO′=MA=，

即CO的最小值為，故④正確．綜上：正確的有①③④．故選：A．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四點共圓，銳角三角函數(shù)，最短路徑問題，綜合掌握以上知識并正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣西·一模）如圖，在等邊中，，點，分別在邊，上，且，連接，交于點，在點D從點B運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識．首先證明，推出點的運動軌跡是為圓心，為半徑的弧上運動，連接交于，當點與重合時，陰影部分的面積的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，是等邊三角形，，，，，，，∴，又，，，，點的運動軌跡是為圓心，為半徑的弧上運動，連接交于，當點與重合時，的面積最大，則陰影部分的面積的值最小，此時點是等邊的中心，∴陰影部分的面積的最小值為，故選：B．4．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接并延長交的延長線于點，連接，且，過點作于點交于點，過點作交的延長線于點，以下四個結(jié)論中：；；當時，；．正確的有（

）個．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，證明可知正確；先證明，則，過作，交于，證明，可得結(jié)論；由已知得是等腰直角三角形，得，計算，可作判斷；由作判斷，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∵，，∴∴，故正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，過作，交于，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故正確；當時，∵，∴是等腰直角三角形，∴由()知：，∴，∴，∵不一定是的中點，∴與不一定相等，故不正確；由()知：，∴，故正確，綜上正確，共個，故選：．5．（2023·福建莆田·一模）如圖，和都是等邊三角形，將先向右平移得到，再繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)使得點，分別在邊和上．現(xiàn)給出以下兩個結(jié)論：①僅已知的周長，就可求五邊形的周長；②僅已知的面積，就可求五邊形的面積．下列說法正確的是（）A．①正確，②錯誤B．①錯誤，②正確C．①②均正確D．①②均錯誤【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．由“”可證，，可得，，，由線段的和差關(guān)系和面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：，，都是等邊三角形，，，，，，，同理可證：，，，五邊形的周長，僅已知的周長，就可求五邊形的周長；故①正確；，，，，，五邊形的面積，僅已知的面積，就可求五邊形的面積．故②正確，故選：C．6．（23-24九年級上·北京昌平·期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點，且，連接，相交于點F，則下列說法正確的是（

）①；

②；③；④若，則A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后可得，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，故①正確；∴，，∴，故②正確；∵，∴不成立，故③錯誤；過點E作，交于點H，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；故④正確；綜上所述：說法正確的有①②④；故選B．7．（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖，ΔABC是等邊三角形，點分別在邊上，且與相交于點．若，則ΔABC的邊長等于（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先證明△ABD△BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE=DA=8，再證明△BDA△FDB，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD=CE=，作EG⊥BC于G，根據(jù)解直角三角形的知識即可求解【詳解】∵ΔABC是等邊三角形，，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD△BCE，∴∠BAD=∠CBE，BE=DA=1+7=8，∵∠BDA=∠FDB，∴△BDA△FDB，∴，即，∴BD=，則CE=BD=，作EG⊥BC于G，∵∠C=60，∴CG=CE，EG=CE，在Rt△BEG中，BG=，∴BC=BG+CG=，故選：C【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形各邊長相等、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求解，有一定的綜合性．8．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，過等邊的頂點A，B，C依次作的垂線三條垂線圍成，已知，則的周長是．【答案】36【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，所對的直角邊是斜邊的一半等知識，本題中為等邊三角形，通過證明，得．證明是等邊三角形，易得，，即可作答．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，即，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴．∴，同理：，∴為等邊三角形，∵，∴，∵，所以的周長，故答案為：369．（23-24天津九年級上期中）如圖，點分別在正三角形的三邊上，且也是正三角形.若的邊長為，的邊長為，則的內(nèi)切圓半徑為．【答案】【分析】根據(jù)△ABC、△EFD都是等邊三角形，可證得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得AE+AF=AE+BE=a，然后根據(jù)切線長定理得到AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：如圖1，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，由切線長定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，∴AD=AE=[（AB+AC）-（BD+CE）]=[（AB+AC）-（BF+CF）]=（AB+AC-BC），如圖2，∵△ABC，△DEF都為正三角形，∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF和△CFD中，，∴△AEF≌△CFD（AAS）；同理可證：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．設(shè)M是△AEF的內(nèi)心，過點M作MH⊥AE于H，則根據(jù)圖1的結(jié)論得：AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；∵MA平分∠BAC，∴∠HAM=30°；∴HM=AH?tan30°=（a-b）?=故答案為．【點睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，圓的切線長定理，根據(jù)已知得出AH的長是解題關(guān)鍵．10．（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角中，為的中點，為上一點，連接并延長，交的延長線于點，若，則的長為．【答案】【分析】過點E作于點G，過點F作于點F，由勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得，，則和是等腰直角三角形，得，，再證明，得，則，然后由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，過點E作于點G，過點F作于點F，則，，∵，，∴，，∴和是等腰直角三角形，∴，，∵E為的中點，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，過邊長為a的等邊的邊上一點P，作于E，Q為延長線上一點，當時，連交邊于D，則的長為．

【答案】【分析】過點P作交于點F，根據(jù)題意可證是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一證明，根據(jù)全等三角形判定定理可證，，進而證明，計算求值即可．【詳解】解：過點P作交于點F，

∵，是等邊三角形，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)與判定、全等三角形判定與性質(zhì)，掌握全等三角形判定定理是解題關(guān)鍵．12．（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O．若BO=6，PO=2，則AP的長，AO的長分別為．

【答案】4，．【分析】先通過條件證明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可證明△APO∽△BPA，得出，則AP2=OP?BP，可求出AP，設(shè)OA=x，則AB=2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2=AB2，得出x的值即可得解．【詳解】解：解：∵△ABC是等邊三角形∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，∵在△ABP和△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，∴AP2=OP?BP，∵BO=6，PO=2，∴BP=8，∴AP2=2×8=16，∴AP=4，∵∠BAC=60°，∴∠BAQ+∠CAQ=60°，∴∠BAQ+∠ABP=60°，∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，∴∠BOQ=60°，過點B作BE⊥OQ于點E，∴∠OBE=30°，

∵OB=6，∴OE=3，BE=3，∵，設(shè)OA=x，則AB=2x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴(x+3)2+(3)2＝(2x)2，解得：x=或x=1-（舍去），∴AO=1+．故答案為：4，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（23-24八年級上·上海浦東新·期末）如圖，在等邊的，上各取一點D，E，使，，相交于點M，過點B作直線的垂線，垂足為H．若，則的長為．

【答案】【分析】首先用證，由全等三角形的性質(zhì)可得，可證，由含30°直角三角形的性質(zhì)可得，過點A作于F，結(jié)合已知條件利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出，，然后根據(jù)三角形的面積相等求出，進而求出．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，，∵，∴，，如圖，過點A作于F，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及含的直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)，作出輔助線，靈活運用這些性質(zhì)解決問題.14．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖，在三角形中，，，，與相交于點F，若，則E到的距離為．【答案】【分析】證明出是等邊三角形，再結(jié)合條件證明，得出，接著證明出，得到，利用對頂角得到，過點作的垂線，交于于點，在中求解即可．【詳解】解：，，是等邊三角形，，，，，，，，，過點作的垂線，交于于點，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形進行求解．15．（23-24九年級下·河南商丘·階段練習(xí)）【問題提出】數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1，在等邊三角形中，點，分別在，邊上，，交于點，且．（1）線段，的數(shù)量關(guān)系為______，的度數(shù)為______．【類比探究】老師繼續(xù)提出問題，若改變的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？同學(xué)們根據(jù)老師的提問畫出圖形，如圖2，是等腰直角三角形，，點，分別在，邊上，，交于點，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類比（1）中的探究過程得出結(jié)論，還需要確定線段，的數(shù)量關(guān)系．（2）請先將條件補充完整：線段，的數(shù)量關(guān)系為______；再根據(jù)圖2寫出線段，的數(shù)量關(guān)系和的度數(shù)，并說明理由．【拓展探究】（3）如圖3，是等腰直角三角形，，若點沿邊上一動點，點是射線上一動點，直線，交于點，在（2）的條件下，當動點沿邊從點移動到點（與點重合）時，請直接寫出運動過程中長的最大值和最小值．【答案】（1），60°；（2）；，，理由見解析；（3）8，【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）證明，得出，，進而根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）由題意，可知點在以為弦．所對圓心角為90°的上，根據(jù)題意畫出圖形，連接．當點在線段上時，取得最小值，當點移動到點時，點與點重合，此時取得最大值，利用勾股定理以及線段的和差即可求解．【詳解】解：（1）解：∵是等邊三角形∴，又∵，∴，∴，，∴故答案為：，60°．

（2）線段，的數(shù)量關(guān)系為：；

，．

理由如下：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，即．∴．∴，，即．∴．

（3）長的最小值為，最大值為．由題意，可知點在以為弦．所對圓心角為90°的上（，則，劣弧AB所對的圓周角是）．如解圖1所示，．∵，∴．連接．當點在線段上時，取得最小值，如解圖1所示，此時．∴．∴長的最小值為．當點移動到點時，點與點重合，此時取得最大值．如解圖2所示，由（2），知．∴長的最大值為8．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連結(jié)，交于點．(1)求證：；(2)連接，若時，①求的值；②設(shè)的面積為，四邊形的面積為，求的值．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）①證出，即點恰好落在以為直徑的圓上，點也落在以為直徑的圓上，得出．連接，則，，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；②證出．過點作，得出，．則．即可得出答案．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，．，．在和中，，；（2）解：①由（1）知：，．．．．、、、四點共圓．，，即點恰好落在以為直徑的圓上，點也落在以為直徑的圓上，，．連接，則，，．，．②如圖，連接，設(shè)．，．．，．．過點作，，．．，即．．．．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓的有關(guān)性質(zhì)等，熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．17．（23-24九年級下·上海寶山·階段練習(xí)）如圖（1），已知是等邊三角形，點D、E、F分別在邊、、上，且．(1)試說明是等邊三角形的理由．(2)分別連接與相交于O點（如圖（2）），求的大?。?3)將繞F點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到圖（3），與平行嗎？說明理由．【答案】(1)理由見解析(2)(3)，理由見解析．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和可證明，根據(jù)等式的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求證為正三角形；（2）根據(jù)為正三角形易得，，根據(jù)，得到，可證，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)順時針旋轉(zhuǎn)后交于G，易證，可得，結(jié)合，得到，，即可證得．【詳解】（1）∵為正三角形，∴，∵，，∴∴∴，∴∴為正三角形；（2）∵為正三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3），理由如下：設(shè)順時針旋轉(zhuǎn)后交于點G，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識點，相似三角形的判定方法有①兩角對應(yīng)相等，②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，③三邊對應(yīng)成比例．18．（23-24八年級下·遼寧沈陽·開學(xué)考試）中，點D是邊中點，過點D的直線交邊于點M，交邊的延長線于點N，且．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．（1）過點C作交于點E，證明是等邊三角形，得到，證明得到，進而可得結(jié)論；（2）過點C作交于點F，同理，證明是等腰直角三角形，得到，證明得到，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：過點C作交于點E，如圖①，∴，，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵D是中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：過點C作交于點F，如圖②，∴，，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵D是中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴．19．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為2的等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊上運動，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．【答案】(1)見解析(2)(3)當時，的面積隨的增大而減小，當時，的面積隨的增大而增大【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出，，，從而即可證明；（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可求出；設(shè)的長為x，則，，可求出，結(jié)合（1）可求出，最后根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵是邊長為2的等邊三角形，∴，．∵，∴，即，∴；（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖，在等邊中，，，∴，∴．設(shè)的長為x，則，，∴，∴．由（1）同理可證，∴，∵的面積為y，，∴；（3）解：∵，∴，該拋物線對稱軸為，∴該拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增，即當時，的面積隨的增大而減小，當時，的面積隨的增大而增大．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的實際應(yīng)用及其性質(zhì)等知識．熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（23-24山東八年級上期中）問題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：①如圖（1），在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖（2），在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運用類似的思想提出了如下命題：③如圖（3），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：（1）請你從①②③三個命題中選擇一個進行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；①在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，試問當∠BON等于多少度時，結(jié)論BM＝CN成立（不要求證明）；②如圖（4），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，∠BON＝108°時，試問結(jié)論BM＝CN是否成立．若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）選①或②或③，證明見詳解；（2）①當時，結(jié)論成立；②當時，還成立，證明見詳解．【分析】（1）命題①，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；命題②，根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；命題③，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①根據(jù)（1）中三個命題的結(jié)果，得出相應(yīng)規(guī)律，即可得解；②連接BD、CE，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得：，，，，利用各角之間的關(guān)系及等量代換可得：，，繼續(xù)利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)即可得出證明．【詳解】解：（1）如選命題①，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵

，∴，在與中，，∴，∴

；如選命題②，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵，∴，在與中，，∴，∴

；如選命題③，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵

，∴

，在與中，，∴，∴

；（2）①根據(jù)（1）中規(guī)律可得：當時，結(jié)論成立；②答：當時，成立．證明：如圖所示，連接BD、CE，在和中，，∴，∴，，，∵

，∴

，∵

，．∴

，又∵

，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，結(jié)合相應(yīng)圖形證明是解題關(guān)鍵．21．（23-24九年級·四川綿陽·期末）小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材的一個習(xí)題做如下探究：【習(xí)題回顧】：如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q使，AQ，BP相交于點O，求的度數(shù)．請你解答該習(xí)題．【拓展延伸】：（1）如圖1，在等腰的邊上各取一點P，Q，使，平分，，，求的長．小明的思路：過點A作交延長線于點G，證明，…（2）如圖2，在的邊上各取一點P、Q，使，平分，，，求的數(shù)量關(guān)系，請你解答小明提出的問題．【答案】習(xí)題回顧：；拓展延伸（1）證明見解析；（2）【分析】習(xí)題回顧：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，進而證明，得到．再由三角形外角的性質(zhì)可得；拓展延伸（1）過點A作交的延長線于點G，則，由角平分線的定義推出，進而推出，由此即可證明；（2）如圖2，過點P作于H，過點A作于T，設(shè)，則，由角平分線的性質(zhì)得到，利用等面積法求出，則；再利用等面積法求出，則，進而求出，則，則．【詳解】解：習(xí)題回顧：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴．∵，∴；拓展延伸：（1）過點A作交的延長線于點G，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如圖2，過點P作于H，過點A作于T，設(shè)，∵，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，平行線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（23-24八年級上·福建福州·階段練習(xí)）如圖：是邊長為的等邊三角形，是邊上一動點，由點向點運動（與點、不重合），點同時以點相同的速度，由點向延長線方向運動（點不與點重合），過點作于點，連接交于點．

(1)若設(shè)的長為，則______，______；(2)當時，求的長；(3)點，在運動過程中，線段的長是否發(fā)