2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第06講 角平分線

第06講角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解角平分線的性質(zhì)；2．掌握角平分線的判定；3.知道三角形三條角平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)；4.掌握角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.已知：如圖1-22,OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定思考：你能寫(xiě)出這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.已知：如圖1-23,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.知識(shí)點(diǎn)3三角形三條角平分線的交點(diǎn)例1求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.已知：如圖1-25,在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作AB,BC,AC的垂線，垂足分別為D,E,F.求證：∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分別為D,E,∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)4尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.考點(diǎn)一:角平分線的性質(zhì)例1．如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長(zhǎng)（

）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1-1】．如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)D到的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-2】．如圖，射線是的平分線，，，若點(diǎn)Q是射線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，且，若，則．考點(diǎn)二:根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答證明例2．如圖，已知點(diǎn)O在的平分線上，，，垂足分別為D，E．求證：．【變式2-1】．如圖，在，，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【變式2-2】．如圖，已知P是平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)C，，垂足為D，且，(1)求的度數(shù)；(2)求的長(zhǎng)．【變式2-3】．如圖，在中，，是邊上的點(diǎn)，于，于．(1)若，求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)三:三角形三條角平分線的交點(diǎn)例3．到三角形各邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【變式3-1】．如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）．

A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處C．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處【變式3-2】．如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在三條的交點(diǎn)處．【變式3-3】．如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個(gè)加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

考點(diǎn)四：與角平分線有關(guān)的面積問(wèn)題例4．如圖，平分，于點(diǎn)E，，，則的面積等于（）A．28 B．21 C．14 D．7【變式4-1】．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積為．【變式4-2】．如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-3】．如圖，點(diǎn)是的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，面積為，則點(diǎn)P到邊的距離是（）A． B． C． D．考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的面積問(wèn)題（提高）例5．如圖，在中，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是．【變式5-1】．如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)O，，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式5-2】．如圖，的三邊、、的長(zhǎng)分別為、和，三條角平分線的交點(diǎn)為O，則（

）A． B． C． D．【變式5-3】．如圖，在中，分別是，的平分線，相交于點(diǎn)F，且，的周長(zhǎng)為21，關(guān)于甲、乙、丙三人的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）甲：；乙；點(diǎn)F到的距離為2；丙：連接，則平分A．只有甲對(duì) B．甲、乙、丙都對(duì)C．乙錯(cuò)，丙對(duì) D．甲錯(cuò)，乙對(duì)考點(diǎn)六：角平分線的判定例6．如圖，已知，P為內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，且，則點(diǎn)C到的距離是．【變式6-1】．如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊，，的距離，，相等，若，則．【變式6-2】．如圖，在中，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，連接，則．【變式6-3】．如圖，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，若，連接，則．

考點(diǎn)七：尺規(guī)作圖（選填題）例7．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）．A． B．C． D．【變式7-1】．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，，則的面積是（

）A．2 B． C．3 D．【變式7-2】．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【變式7-3】．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧分別交、于點(diǎn)M和N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法：①是的平分線；②；③；④點(diǎn)D到直線的距離等于的長(zhǎng)度．其中正確的有．考點(diǎn)八：角平分線與線段的垂直平分線綜合例8．如圖，在中，，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分．若，則的長(zhǎng)是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【變式8-1】．如圖，在中，，的平分線交于D，是線段的垂直平分線，垂足為E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式8-2】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)D，，，垂足分別為E、F，，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-3】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為E、F，，，則的值為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3考點(diǎn)九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問(wèn)所得的角平分線上取一點(diǎn)，使得；(3)求點(diǎn)D到AB的距離．【變式9-1】．如圖，在中，，，，為的一個(gè)外角．(1)請(qǐng)按以下要求畫(huà)出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．①尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；②取線段的中點(diǎn)N，過(guò)N畫(huà)的垂線，與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E．(2)求證：．【變式9-2】．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點(diǎn)，作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）；(2)求證：點(diǎn)是中點(diǎn)；(3)連接，求的度數(shù)．【變式9-3】．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茉黾訉W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也是提高動(dòng)手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)的手段之一．八年級(jí)1班同學(xué)在運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究角平分線時(shí)提出了如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答．(1)“行知”小組開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來(lái)平分角的儀器，其中，將儀器上的點(diǎn)A與的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫(huà)一條射線，則就是的平分線．請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來(lái)三等分角的儀器，儀器是一個(gè)直角角尺，圖中的點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且．小組同學(xué)給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫(huà)出此時(shí)所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過(guò)的頂點(diǎn)O，且點(diǎn)A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學(xué)展示的部分推理過(guò)程：如圖5，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過(guò)程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補(bǔ)全推理過(guò)程．考點(diǎn)十：最值問(wèn)題例10．如圖，中，，，AD平分，則的最大值為．【變式10-1】．如圖，在中，，，，，CD平分交AB于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是CD，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式10-2】．如圖，已知線段，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為【變式10-3】．如圖，在等腰中，，，，是底邊上的高．在的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，作，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的角平分線交AB邊于點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的最小值為．考點(diǎn)十一：解答綜合題例11．如圖，D、E分別是的中點(diǎn)，于D，于E．(1)求證：；(2)若交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在的角平分線上．【變式11-1】．已知：如圖，平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積．【變式11-2】．如圖，在四邊形中，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，所在的直線垂直平分線段，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)試說(shuō)明：；(2)若，的面積為，求的長(zhǎng)．【變式11-3】．[定理]如圖1，因?yàn)橛贐，于D，；所以___________．[運(yùn)用]如圖2，在四邊形中，，求證：平分．[拓展]如圖3，在等邊中，，且；求的度數(shù)．一、單選題1．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．2 C．4 D．62．點(diǎn)在的角平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點(diǎn)C到射線OA的距離為（

）A．9 B．6 C．3 D．4.54．如圖，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長(zhǎng)是(

)A．4 B．5 C．6 D．76．在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D，，則AC長(zhǎng)為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7．下列說(shuō)法正確的有（

）①角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等②到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上③三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，AD平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，．、分別平分，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．4 D．210．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)二、填空題11．如圖，在中，，平分，，則點(diǎn)D到的距離為．12．如圖，已知，且，則點(diǎn)C在的平分線上，點(diǎn)A在的平分線上．13．如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點(diǎn)G．若，，則的面積為．14．如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是．15．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點(diǎn)E，，，則的面積等于．16．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)．（1）若，，則點(diǎn)到的距離是；（2）若，點(diǎn)到的距離為6，則的長(zhǎng)是．17．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點(diǎn)P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長(zhǎng)為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為cm2．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交射線，線段于點(diǎn)，，連接，恰好平分，則線段的長(zhǎng)是．

三、解答題19．已知：如圖，，垂足分別為D，E，與相交于點(diǎn)O，平分．求證：．20．如圖，某市有兩個(gè)糧食市場(chǎng)C、D，附近有兩條交叉的公路．現(xiàn)計(jì)劃修建一座大型糧倉(cāng)P，為了運(yùn)輸方便，希望該糧倉(cāng)到兩條公路的距離相等，且到兩個(gè)糧食市場(chǎng)C、D的距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出該糧倉(cāng)的位置．（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，寫(xiě)清結(jié)論．）21．如圖，中，是的角平分線，，求證：．22．如圖，，，垂足分別為D、E，、交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)求證：平分．23．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且，連接．(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分；(3)若，，三角形的面積是16，求的長(zhǎng)度．24．如圖所示，直線交軸于點(diǎn)Aa,0，交軸于點(diǎn)，且、滿足．(1)如圖1，若的坐標(biāo)為，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接，求證；(3)如圖3，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，式子的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．25．在等腰三角形中，為底邊的中點(diǎn)，、分別為、AB上的點(diǎn).(1)如圖，于，于，求證：；(2)如圖，，請(qǐng)判斷DE和有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；(3)如圖，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)為線段BD上的一點(diǎn)，且，，求的值.

第06講角平分線模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解角平分線的性質(zhì)；2．掌握角平分線的判定；3.知道三角形三條角平分線的交點(diǎn)的性質(zhì)；4.掌握角平分線有關(guān)的尺規(guī)作圖.知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.已知：如圖1-22,OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定思考：你能寫(xiě)出這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.已知：如圖1-23,點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.知識(shí)點(diǎn)3三角形三條角平分線的交點(diǎn)例1求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.已知：如圖1-25,在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作AB,BC,AC的垂線，垂足分別為D,E,F.求證：∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF.證明：∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，且PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分別為D,E,∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上),即∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.知識(shí)點(diǎn)4尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖：

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.考點(diǎn)一:角平分線的性質(zhì)例1．如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長(zhǎng)（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．【解析】解：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，故選：C．【變式1-1】．如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)D到的距離是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵；過(guò)D作于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可得解．【解析】解：過(guò)D作于E，，，，，，點(diǎn)D到BC的距離是4，故選：．【變式1-2】．如圖，射線是的平分線，，，若點(diǎn)Q是射線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于E，是的角平分線，，，由垂線段最短可得，，．故選：A．【變式1-3】．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，且，若，則．【答案】9【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，平分，，，，，，，．故答案為：9．考點(diǎn)二:根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答證明例2．如圖，已知點(diǎn)O在的平分線上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由點(diǎn)O在的平分線上，，，得，．再運(yùn)用證明，即可作答．【解析】證明：點(diǎn)O在的平分線上，，，，．在和中，，，．【變式2-1】．如圖，在，，平分，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明即可；（2）證明，結(jié)合，列式計(jì)算即可．本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：∵，平分，，∴∵，，，∴，∴．（2）解：∵，平分，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵．∴，∵，，∴．【變式2-2】．如圖，已知P是平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)C，，垂足為D，且，(1)求的度數(shù)；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；（1）由角平分線可得，再利用平行線可得，從而可得答案；（2）過(guò)作于，利用含的直角三角形的性質(zhì)可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得答案．【解析】（1）解：平分，，，，．（2）解：過(guò)作于，，，，，，，平分，．【變式2-3】．如圖，在中，，是邊上的點(diǎn)，于，于．(1)若，求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)（1）連接AD．根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知AD也是的角平分線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么；（2）由可求得，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求得BD、的長(zhǎng)，即可求解．【解析】（1）證明：連接AD．，，∴點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，平分，、分別垂直AB、于點(diǎn)和．；（2）解：，，，于，于．，，．考點(diǎn)三:三角形三條角平分線的交點(diǎn)例3．到三角形各邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的判定定理，根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，熟練掌握角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【解析】解：根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可知：到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．故選：C．【變式3-1】．如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（

）．

A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處C．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 D．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，可知超市應(yīng)建在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】．如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，則涼亭的位置應(yīng)選在三條的交點(diǎn)處．【答案】角平分線【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)為三條角平分線的交點(diǎn)，故答案為：角平分線．【變式3-3】．如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個(gè)加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

【答案】三【分析】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，分別作外角的角平分線，交點(diǎn)分別為，即為所求的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用．【解析】解：如圖所示，，即為所求的點(diǎn)，

故答案為：三．考點(diǎn)四：與角平分線有關(guān)的面積問(wèn)題例4．如圖，平分，于點(diǎn)E，，，則的面積等于（）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)．掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，三角形面積公式，是解題的關(guān)鍵．作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解析】解：作交的延長(zhǎng)線于F，平分，，，，的面積，故選：C．【變式4-1】．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積為．【答案】20【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，過(guò)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．【解析】解：過(guò)作于，是邊上的高，平分，，，，，，的面積為，故答案為：20．【變式4-2】．如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角的平分線性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，過(guò)D作于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)和三角形面積公式求出即可．【解析】解：如圖，過(guò)D作于F，∵是中的角平分線，于點(diǎn)E，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．故選：A．【變式4-3】．如圖，點(diǎn)是的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，面積為，則點(diǎn)P到邊的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)P作于D，于E，于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)P作于D，于E，于F，如圖，∵點(diǎn)P是的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴，又的周長(zhǎng)為，面積為，∴，∴∴∴點(diǎn)P到邊的距離是3cm故選：A．考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的面積問(wèn)題（提高）例5．如圖，在中，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是．【答案】【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平分，，得到，根據(jù)面積公式求出三角形的面積，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，∴的面積，故答案為：．【變式5-1】．如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)O，，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形面積得出，代入數(shù)據(jù)即可求解．【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，∵平分，∴，∴，∵，，的面積為，∴．故選：A．【變式5-2】．如圖，的三邊、、的長(zhǎng)分別為、和，三條角平分線的交點(diǎn)為O，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，過(guò)O作于M，于N，于K，由角平分線的性質(zhì)推出，由三角形面積公式得到的面積，的面積，的面積，于是得到．【解析】解：過(guò)O作于M，于N，于K，∵的三條角平分線的交點(diǎn)為O，∴，∴的面積，的面積，的面積，∵、、的長(zhǎng)分別為、和，∴．故選：A．【變式5-3】．如圖，在中，分別是，的平分線，相交于點(diǎn)F，且，的周長(zhǎng)為21，關(guān)于甲、乙、丙三人的結(jié)論，下列判斷正確的是（

）甲：；乙；點(diǎn)F到的距離為2；丙：連接，則平分A．只有甲對(duì) B．甲、乙、丙都對(duì)C．乙錯(cuò)，丙對(duì) D．甲錯(cuò)，乙對(duì)【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，連接，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到平分，利用分割法求面積法，求出的的長(zhǎng)，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，∵分別是，的平分線，∴，∴，∴平分，故丙說(shuō)法正確；∵，∵的周長(zhǎng)為21，∴，∴，∴點(diǎn)F到的距離為4，故乙說(shuō)法錯(cuò)誤；條件不足，無(wú)法得到，故甲說(shuō)法錯(cuò)誤；故選C．考點(diǎn)六：角平分線的判定例6．如圖，已知，P為內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，且，則點(diǎn)C到的距離是．【答案】7【分析】本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，先根據(jù)題意判定平分，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等解題即可．【解析】解：∵P為內(nèi)部一點(diǎn)，，，，∴平分，∵，∴C到的距離，故答案為：7．【變式6-1】．如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊，，的距離，，相等，若，則．【答案】/115度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)．根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，然后求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解析】解：到三邊、、的距離，點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，，，，在中，．故答案為：．【變式6-2】．如圖，在中，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，連接，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得點(diǎn)E到的距離相等，再利用角平分線的判定即可得到是的角平分線，進(jìn)而得到的度數(shù)．【解析】解：過(guò)點(diǎn)E分別作，，，垂足分別為H，F(xiàn)，G，∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)E，∴，∴是的平分線，∴，在中，，∴，∴，故答案為：．【變式6-3】．如圖，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，若，連接，則．

【答案】【分析】作于，根據(jù)平行線的判定定理，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)角平分線的判定定理，得出是的角平分線，再根據(jù)角平分線的定義，計(jì)算即可得出答案．【解析】解：如圖，作于，

∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，，∴是的角平分線，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七：尺規(guī)作圖（選填題）例7．如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，由作圖方法可知，則可證明得到，進(jìn)一步可證明垂直平分，據(jù)此可得答案．【解析】解：由作圖方法可知，又∵，∴，∴，∴垂直平分，∴，，根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到，故選：C．【變式7-1】．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，，則的面積是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了作圖?作已知角的角平分線，要熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了角分線的性質(zhì)．作于，利用基本作圖得到平分，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【解析】解：作于H，由題中作法得平分，∵，，∴，∴，故選：A．【變式7-2】．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，作于，由三角形面積公式求出，由作圖可得：平分，再由角平分線的性質(zhì)定理即可得解．【解析】解：如圖，作于，∵，，∴，由作圖可得：平分，∵，，∴，故答案為：．【變式7-3】．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧分別交、于點(diǎn)M和N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法：①是的平分線；②；③；④點(diǎn)D到直線的距離等于的長(zhǎng)度．其中正確的有．【答案】①②③④【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)基本作圖（作已知角的角平分線）可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用為角平分線可得，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出，則可對(duì)②③進(jìn)行判斷；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解析】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知是的平分線，故①正確；∵，，∴，∵平分，∴，∴，故②正確；∵，故③正確；∵垂直平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，∴點(diǎn)D到直線的距離等于的長(zhǎng)度，故④正確；綜上分析可知：正確的有①②③④；故答案為：①②③④．考點(diǎn)八：角平分線與線段的垂直平分線綜合例8．如圖，在中，，DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分．若，則的長(zhǎng)是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求出，然后根據(jù)角平分線的定義與直角三角形兩銳角互余，求出，再根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，然后求解即可．【解析】解：平分，且，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等；等邊對(duì)等角；直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】．如圖，在中，，的平分線交于D，是線段的垂直平分線，垂足為E．若，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，先求出，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，得出，最后根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得出，即可作答．【解析】解：∵的平分線交于D，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，，∴，∴，∵，∴，∵的平分線交于D，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式8-2】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)D，，，垂足分別為E、F，，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，連接，證明，得到，證明，得到，進(jìn)而得到，求解即可．【解析】解：連接，則：，∵，，平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選：D．【變式8-3】．如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為E、F，，，則的值為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得，證明，得出即可求解．【解析】解：如圖所示，連接，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴．∵垂直平分，∴，在和中，∴，∴．∴，∵，∴．故選D．考點(diǎn)九：尺規(guī)作圖（解答題）例9．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問(wèn)所得的角平分線上取一點(diǎn)，使得；(3)求點(diǎn)D到AB的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖及性質(zhì)、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與相交；再以兩交點(diǎn)為圓心，同一半徑畫(huà)弧即可完成作圖；（2）作出線段的垂直平分線即可；（3）作，證，得，；根據(jù)，即可求解；【解析】（1）解：如圖所示：BD即為所求（2）解：如圖所示：點(diǎn)即為所求（3）解：作，如圖所示：∵BD平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)D到AB的距離為．【變式9-1】．如圖，在中，，，，為的一個(gè)外角．(1)請(qǐng)按以下要求畫(huà)出圖形，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母．①尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；②取線段的中點(diǎn)N，過(guò)N畫(huà)的垂線，與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E．(2)求證：．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作角平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形．（1）①根據(jù)尺規(guī)作平分線的步驟作圖即可作出圖形；②按要求作圖即可；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【解析】（1）解：①②圖形如圖所示；（2）證明：∵，，∴，∵平分，，∴，∴，∵線段的中點(diǎn)為N，∴，在和中，，∴，∴．【變式9-2】．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點(diǎn)，作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明）；(2)求證：點(diǎn)是中點(diǎn)；(3)連接，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出，則由直角三角形的性質(zhì)得到，再證明，則，進(jìn)而得到，則，即E是中點(diǎn)．（3）證明，又，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可知，又，從而求得【解析】（1）如圖所示，即為所求；（2）∵在中，，∵垂直平分，即是的中點(diǎn)（3）平分，，又，連接，則，即【變式9-3】．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茉黾訉W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也是提高動(dòng)手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)的手段之一．八年級(jí)1班同學(xué)在運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究角平分線時(shí)提出了如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答．(1)“行知”小組開(kāi)展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來(lái)平分角的儀器，其中，將儀器上的點(diǎn)A與的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫(huà)一條射線，則就是的平分線．請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來(lái)三等分角的儀器，儀器是一個(gè)直角角尺，圖中的點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且．小組同學(xué)給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫(huà)出此時(shí)所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過(guò)的頂點(diǎn)O，且點(diǎn)A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學(xué)展示的部分推理過(guò)程：如圖5，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過(guò)程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補(bǔ)全推理過(guò)程．【答案】(1)D(2)見(jiàn)解析(3)①角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)作圖痕跡，逐一進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)，，結(jié)合即可得到即可得到證明；（3）①根據(jù)角平分線的判定方法解答即可；②根據(jù)證明得，進(jìn)而可證線和射線將三等分．【解析】（1）解：第一個(gè)圖為尺規(guī)作角平分線的方法，為的平分線；第二個(gè)圖，由作圖可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為的平分線；第三個(gè)圖，由作圖可知，∴，，∴∴，∴為的平分線；第四個(gè)圖，由作圖可知：，，∴為的平分線；故選D．（2）理由如下：在和中，，∴

∴．∴沿畫(huà)一條射線，則就是的平分線．（3）①角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；②∵點(diǎn)A，B，C在一條直線上，，∴，∴．∵BM所在直線過(guò)的頂點(diǎn)O，∴．在和中，∴．∴．又∵點(diǎn)C在上，∴．∴．∴射線和射線將三等分．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線作圖，平行線作圖，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十：最值問(wèn)題例10．如圖，中，，，AD平分，則的最大值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，可證，再根據(jù)，可得的長(zhǎng)度，當(dāng)最大即可求得最大值．【解析】解：如圖所示延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，∵AD平分，，∴，，在與中，∵，，，∴∴，，∵∴，∵，∴，∴當(dāng)，最大，即最大，∴答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及全等三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)中線將小三角形面積轉(zhuǎn)換成大三角形面積取垂直時(shí)最大．【變式10-1】．如圖，在中，，，，，CD平分交AB于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是CD，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題、角平分線的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)．如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)，作于由，推出根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)，，共線，且與重合時(shí)，的值最小，最小值線段的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積即可求得線段的長(zhǎng)．【解析】解：如圖中，作點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)，作于，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)，，共線，且與重合時(shí)，的值最小，最小值線段的長(zhǎng)．中，，，，，．故選：C．【變式10-2】．如圖，已知線段，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，以為直角邊，為直角，在同側(cè)構(gòu)造，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為【答案】3【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等．連接，并延長(zhǎng)至，由直角三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)時(shí)，最小，則可得出答案．【解析】解∶連接，并延長(zhǎng)至，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵等邊，∴，∵，∴，∴，∴在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，∴，故答案為：3．【變式10-3】．如圖，在等腰中，，，，是底邊上的高．在的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，作，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的角平分線交AB邊于點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作于，作于，連接CF，由角平分線得到，再證明得到，接著證明，得到，當(dāng)時(shí)CF有最小值，即有最小值，最后根據(jù)直角三角形得到．【解析】解：作于，作于，連接CF，，，平分，即AD平分，，，，，，，，，，，，平分，，，，當(dāng)時(shí)CF有最小值，即有最小值，此時(shí)，，∴，故答案為：考點(diǎn)十一：解答綜合題例11．如圖，D、E分別是的中點(diǎn)，于D，于E．(1)求證：；(2)若交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在的角平分線上．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】本題考查垂直平分線性質(zhì)以及全等三角形的證明及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的證明方法是解題關(guān)鍵．（1）連接，利用垂直平分線性質(zhì)即可得證；（2）先證，再連接，再證，即可得證．【解析】（1）解：證明：如圖，連接，∵D、E分別是AB、的中點(diǎn)，于D，于E．∴垂直平分，CD垂直平分AB，∴，，∴．（2）證明∵，，∴，在與中，，，，∴，∴，再連接，在與中，，，∴，∴，∴點(diǎn)F在的角平分線上．【變式11-1】．已知：如圖，平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)108【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，（1）根據(jù)證明與全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由勾股定理可得，再根據(jù)及可得，再計(jì)算的面積即可．【解析】（1）證明：平分，，，，在和中，，，；（2）在中，，，，在和中，，∴，，∵，，．【變式11-2】．如圖，在四邊形中，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，所在的直線垂直平分線段，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)試說(shuō)明：；(2)若，的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳見(jiàn)(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線段性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，，根據(jù)，得到，即可得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)一步得出，即可證明；（2）先證明，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)的面積為求出，根據(jù)（1）可知平分，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出．【解析】（1）解：∵所在的直線垂直平分線段，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵的面積為，∴，又∵，∴，由（1）知，∴平分，又∵，，．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)圖形特點(diǎn)靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式11-3】．[定理]如圖1，因?yàn)橛贐，于D，；所以___________．[運(yùn)用]如圖2，在四邊形中，，求證：平分．[拓展]如圖3，在等邊中，，且；求的度數(shù)．【答案】[定理]平分；[運(yùn)用]證明見(jiàn)解析；[拓展]【分析】本題考查角平分線的判定定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；[定理]直接證明，得到，即平分；[運(yùn)用]過(guò)C點(diǎn)于E，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明，得到，根據(jù)角平分線判定定理可得平分；[拓展]過(guò)作于，過(guò)作于，于，先有等邊三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得，，此時(shí)同[運(yùn)用]的模型一樣，證明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可．【解析】[定理]解：∵，，，∴在和中，，∴，∴，∴平分；[運(yùn)用]證明：過(guò)C點(diǎn)于E，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴平分．[拓展]解：過(guò)作于，過(guò)作于，于，∵等邊，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∵于，于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴平分，∵∴垂直平分，∴，∴，∴，∴．一、單選題1．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)D，，垂足為點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）A．8 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解．【解析】解：∵平分交于點(diǎn)，，故選：C．2．點(diǎn)在的角平分線上，點(diǎn)到邊的距離等于，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到OB的距離為5，再根據(jù)垂線段最短解答．【解析】∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，點(diǎn)P到OA邊的距離等于5，∴點(diǎn)P到OB的距離為5，∵點(diǎn)Q是OB邊上的任意一點(diǎn)，∴PQ≥5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，OC為∠AOB的平分線，CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，則點(diǎn)C到射線OA的距離為（

）A．9 B．6 C．3 D．4.5【答案】C【分析】作CN⊥OA，利用面積求出CM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得CN=CM，即可得答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OA，∵CM⊥OB，COM的面積為9，OM=6，∴S△COM=，∴，∵OC為∠AOB的平分線，CN⊥OA，CM⊥OB，∴CN=CM=3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積，角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和面積公式是解題關(guān)鍵．4．如圖，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先證明平分，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得度數(shù)，則結(jié)果可求．【解析】∵，∴平分，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，則AC長(zhǎng)是(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，再由S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．【解析】解：作DF⊥AC于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴，∴AC=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．6．在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D，，則AC長(zhǎng)為（

）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】過(guò)作，垂足為，利用角平分線的性質(zhì)證出，再利用全等的性質(zhì)和勾股定理建立等式運(yùn)算求解即可．【解析】解：過(guò)作，垂足為∵為角平分線，，∴∵，∴∴在中，∴∴整理可得：∴解得：故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉利用角平分線的性質(zhì)證三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．下列說(shuō)法正確的有（

）①角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等②到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上③三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理逐一判斷即得答案．【解析】解：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故①正確；在一個(gè)角的內(nèi)部，到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，故②錯(cuò)誤，三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，故③錯(cuò)誤，④正確；綜上，正確的說(shuō)法是①④，有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和判定定理，屬于基本題目，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，AD平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用“HL”證明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，從而可以利用“SAS”證明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可.【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°∵AD=AD，∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合題意；∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，∵AG=AG，DG=DG∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合題意；根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明△BDE≌△CDF，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．9．如圖，在中，，，．、分別平分，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)，分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)題意可得是的角平分線，則是等腰直角三角形，，進(jìn)而勾股定理求得，等面積法求得的長(zhǎng)，即可求解．【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)，分別作的垂線，垂足分別為，

∵、分別平分，，∴，∴，∴是的角平分線，∴，則是等腰直角三角形，∴，在中，，，．∴，設(shè)，∴即解得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進(jìn)而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°?∠OBA?∠OAB＝180°?∠CBA?∠CAB＝180°?（180°?∠C）＝90°＋∠C，①錯(cuò)誤；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°?60°?60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）?a＝ab，③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在中，，平分，，則點(diǎn)D到的距離為．【答案】5【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作于E，結(jié)合題目中的條件，平分，利用角平分線的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)距離的定義即可解答．【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作于E，平分，，，，即點(diǎn)D到的距離為5．故答案為：5．12．如圖，已知，且，則點(diǎn)C在的平分線上，點(diǎn)A在的平分線上．【答案】【分析】連接AC，根據(jù)角平分線的判定定理以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)解答即可．【解析】解：連接AC，∵，，∴AC平分，∴點(diǎn)C在的平分線上，，∵，∴，∴，即AC平分，∴點(diǎn)A在的平分線上，故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的判定定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)，熟記角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線交邊于點(diǎn)G．若，，則的面積為．【答案】2【分析】此題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)．首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后三角形面積公式求解即可．【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，

由作圖痕跡知平分，，，∴，∵，∴的面積．故答案為：2．14．如圖，是中的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，則長(zhǎng)是．【答案】3【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知在中，CD是AB邊上的高線，BE平分，交CD于點(diǎn)E，，，則的面積等于．【答案】5【分析】過(guò)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可求得，則可求得的面積．【解析】解：過(guò)作于點(diǎn)，是邊上的高，平分，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)．（1）若，，則點(diǎn)到的距離是；（2）若，點(diǎn)到的距離為6，則的長(zhǎng)是．【答案】315【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=CD，即可求解；（2）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD=DE，再求出BD，然后根據(jù)BC=BD+CD計(jì)算即可求解．【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即點(diǎn)D到AB的距離是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案為3；15．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并作出輔助線．17．如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點(diǎn)P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長(zhǎng)為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為cm2．【答案】6【分析】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，PQ⊥AN,連接AP，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得PH=PE=PQ，再根據(jù)三角形的面積求出BC，然后求出AC+AB，再根據(jù)S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC即可得解.【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AM，PQ⊥AN，連接AP∵BP和CP為∠MBC和∠NCB角平分線∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC=×AC×PQ+×AB×PH-7.5=×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=×3×9-7.5=6cm2【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于S△ABC的面積的表示．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交射線，線段于點(diǎn)，，連接，恰好平分，則線段的長(zhǎng)是．

【答案