2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第11講 一元一次不等式

第11講一元一次不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解不等式解集表示的方法；2．知道一元一次不等式的概念；3.掌握一元一次不等式的解法；4.會(huì)解一元一次不等式的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)1不等式的解集（續(xù)）1.解不等式：求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式.2.不等式的解集的表示方法（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：要點(diǎn)：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來(lái)，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫(huà)；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫(huà)．注意：在表示a的點(diǎn)上畫(huà)空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式．要點(diǎn)：(1)一元一次不等式滿(mǎn)足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒(méi)有方向．知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類(lèi)似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.要點(diǎn)：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．知識(shí)點(diǎn)4列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，通常也需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過(guò)”、“超過(guò)”等；(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；(3)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)是否符合題意．要點(diǎn)：(1)列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；(2)求得不等關(guān)系的解集后，應(yīng)根據(jù)題意，把實(shí)際問(wèn)題的解求出來(lái)；(3)構(gòu)建不等關(guān)系解應(yīng)用題的流程如圖所示．考點(diǎn)一:不等式解集的表示例1．把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.【變式1-1】．下列各數(shù)中，能使不等式成立的是（）A．1 B．2 C．0 D．【變式1-2】．不等式的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些數(shù)能使不等式x－1>－2成立？考點(diǎn)二:一元一次不等式的概念例2．下列式子中是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【變式2-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【變式2-2】．下列各式是一元一次不等式的有個(gè)．，，，，，【變式2-3】．給出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中屬于一元一次不等式的是：．（只填序號(hào)）考點(diǎn)三:根據(jù)一元一次不等式的概念求參數(shù)例3．若是一元一次不等式，則．【變式3-1】0．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為（

）A．0 B． C． D．1【變式3-2】．若是關(guān)于的一元一次不等式，則．【變式3-3】．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．考點(diǎn)四:一元一次不等式的解法例4．解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）；（8）．【變式4-1】．解下列不等式：(1)(2)【變式4-2】．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．【變式4-3】．解不等式：考點(diǎn)五:判斷數(shù)軸上的解集表示、辨析解法步驟例5．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式5-1】．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式5-2】．下列解不等式的步驟中，錯(cuò)誤的一步是（

）A．去分母，得 B．去括號(hào)，得C．移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 D．系數(shù)化為1，得【變式5-3】．下面是小明同學(xué)解不等式的過(guò)程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解不等式：解：第一步第二步．第三步．第四步第五步任務(wù)一：填空：①小明解不等式過(guò)程中，第二步是依據(jù)（填運(yùn)算律）進(jìn)行變形的；②第步開(kāi)始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是；任務(wù)二：請(qǐng)直接寫(xiě)出該不等式的解集，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．考點(diǎn)六:根據(jù)解集寫(xiě)出不等式；根據(jù)解集求參數(shù)例6．寫(xiě)出一個(gè)解集為的一元一次不等式：．【變式6-1】．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)解集為的一元一次不等式（未知數(shù)的系數(shù)不能為1）．【變式6-2】．已知如圖是關(guān)于的不等式的解集，則的值為．【變式6-3】．若不等式的解都是不等式的解，則的取值范圍是．考點(diǎn)七:一元一次不等式的整數(shù)解及求參問(wèn)題例7．求不等式的正整數(shù)解．【變式7-1】．不等式的負(fù)整數(shù)解有（

）個(gè)．A． B． C． D．【變式7-2】．若不等式的最大整數(shù)解是方程的解，則a的值是．【變式7-3】．若關(guān)于x的不等式只有3個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是．考點(diǎn)八:一元一次不等式的代數(shù)應(yīng)用例8．當(dāng)取何值時(shí)，的值不大于？【變式8-1】．若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-2】．若關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式8-3】．若關(guān)于x的方程的解大于的解，求a的取值范圍．考點(diǎn)九:一元一次不等式在數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用例9．已知點(diǎn)在第三象限則點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式9-1】．若點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等且在x軸下方，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【變式9-2】．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)P位于原點(diǎn)的左側(cè)，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)用代數(shù)式表示．那么m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式9-3】．如圖，點(diǎn)A，B均在數(shù)軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)字是，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)字是m．(1)若，求m的值；(2)將線(xiàn)段三等分，這兩個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)字從左到右依次是，，若，求m的取值范圍．考點(diǎn)十:一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用例10．某次國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽初賽共20道題（滿(mǎn)分100分），評(píng)分辦法是：答對(duì)1道題得5分，答錯(cuò)或不答倒扣2分．選手要得到70分以上（含70分），至少需要答對(duì)（

）A．16題 B．15題 C．14題 D．17題【變式10-1】．老師準(zhǔn)備用100元購(gòu)買(mǎi)套尺和圓規(guī)作為元旦禮物送給學(xué)生，已知套尺的單價(jià)5元，圓規(guī)的單價(jià)為10元．老師買(mǎi)了7套套尺，求老師最多還能買(mǎi)幾副圓規(guī)．設(shè)老師買(mǎi)了x副圓規(guī)，可列不等式為．（只列式不計(jì)算）【變式10-2】．小華想利用暑假去太原植物園，了解熱帶雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小華在網(wǎng)上了解到該植物園的票價(jià)是每人50元，15人及以上按團(tuán)體票，可享五折優(yōu)惠．小華現(xiàn)有500元的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)，且每人往返車(chē)費(fèi)共3元，則至多可以去多少人？【變式10-3】．為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某種型號(hào)的水基滅火器和干粉滅火器共50個(gè)．其中水基滅火器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單價(jià)為380元/個(gè)．若學(xué)校購(gòu)買(mǎi)這兩種滅火器的總價(jià)不超過(guò)21000元，則最多可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器多少個(gè)？考點(diǎn)十一:一元一次不等式的其他應(yīng)用及難點(diǎn)分析例11．如果關(guān)于x的不等式的解集與的解集相同，則．【變式11-1】．若關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【變式11-2】．已知m，n均為正整數(shù)，且滿(mǎn)足，則當(dāng)m＝時(shí)，n取得最小值．【變式11-3】．已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于關(guān)于的不等式的解集是．一、單選題1．下列不等式中，是一元一次不等式的有（

）①；②；③；④；⑤．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．用不等式表示圖中的解集，其中正確的是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣23．與不等式的解集相同的不等式是（

）A． B． C． D．4．解不等式時(shí)，去分母步驟正確的是（

）A． B．C． D．5．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值是（

）A． B． C． D．6．如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，則a的取值是（

）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≤﹣2 C．a(chǎn)=﹣1 D．a(chǎn)=﹣27．若方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．某商店的老板銷(xiāo)售一種商品，他以不低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格才能出售，但為了獲得更多利潤(rùn)，他以高出進(jìn)價(jià)80%的價(jià)格標(biāo)價(jià)，若你想買(mǎi)下標(biāo)價(jià)為360元的這種商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降價(jià)（

）A．80元 B．100元 C．120元 D．160元9．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一個(gè)值都能使關(guān)于x的不等式4x+1＜x-m成立，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-510．若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、填空題11．不等式的解集為12．已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．13．不等式的非正整數(shù)解有個(gè)．14．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，則a的值為．15．一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，那么m的取值范圍是．16．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是非負(fù)數(shù)．17．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足，則a的取值范圍是．18．某校食堂為了提升學(xué)生的就餐體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生就餐排隊(duì)情況進(jìn)行了調(diào)查：食堂窗口還未開(kāi)放時(shí)，有a個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候打飯；窗口開(kāi)放開(kāi)始打飯時(shí)，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加b人．假定打飯速度是每個(gè)窗口每分鐘c個(gè)人，當(dāng)開(kāi)放2個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；當(dāng)同時(shí)開(kāi)放3個(gè)窗口時(shí)，則20分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若食堂想5分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開(kāi)放個(gè)窗口．三、解答題19．解下列不等式．(1)；(2)．20．解下列不等式．(1)；(2)．21．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．22．下面是小明同學(xué)解一元一次不等式的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：去分母，得．……第一步移項(xiàng)，得．…………第二步合并同類(lèi)項(xiàng)，得．………………第三步化系數(shù)為1，得．……第四步任務(wù)一：（1）去分母的依據(jù)是_______；（2）解答過(guò)程中，從前一步到后一步的變形，共出現(xiàn)______處錯(cuò)誤，其中最后一處錯(cuò)誤在第______步，錯(cuò)誤的原因是______；（3）請(qǐng)寫(xiě)出不等式的正確解答過(guò)程，并把解集表示在數(shù)軸上；任務(wù)二：請(qǐng)你給同學(xué)們提出在解一元一次不等式時(shí)避免解答出錯(cuò)的一條建議．23．電腦公司銷(xiāo)售一批計(jì)算機(jī)，第一個(gè)月以5500元/臺(tái)的價(jià)格售出60臺(tái)，第二個(gè)月起降價(jià)，以5000元/臺(tái)的價(jià)格將這批計(jì)算機(jī)全部售出，銷(xiāo)售總額超過(guò)55萬(wàn)元．這批計(jì)算機(jī)最少有多少臺(tái)？24．已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿(mǎn)足，求m的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最小整數(shù)解，m的值．25．已知不等式的最小整數(shù)解為關(guān)于的方程的解，求代數(shù)式的值．26．已知：．（1）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．27．已知：是不等式的最大整數(shù)解，是不等式的最小整數(shù)解，求的值．28．某校長(zhǎng)暑假帶領(lǐng)該校“三好學(xué)生”去旅游，甲旅行社說(shuō)：“若校長(zhǎng)買(mǎi)全票一張，則學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說(shuō)：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)都6折優(yōu)惠．”若全票價(jià)是120元，則∶(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)，乙旅行社收費(fèi)，分別寫(xiě)出兩家旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)的關(guān)系式．(2)就學(xué)生人數(shù)，分類(lèi)討論哪家旅行社更優(yōu)惠．29．閱讀理解：定義：若一個(gè)方程（組）的解也是一個(gè)不等式（組）的解，我們稱(chēng)這個(gè)方程（組）的解是這個(gè)不等式（組）的“友好解”．例如，方程的解是，同時(shí)也是不等式的解，則稱(chēng)方程的解是不等式的“友好解”．(1)試判斷方程的解是不是不等式的“友好解”？不必說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于、的方程組的解是不等式的“友好解”，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整數(shù)值．

第11講一元一次不等式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解不等式解集表示的方法；2．知道一元一次不等式的概念；3.掌握一元一次不等式的解法；4.會(huì)解一元一次不等式的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)1不等式的解集（續(xù)）1.解不等式：求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式.2.不等式的解集的表示方法（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：要點(diǎn)：借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來(lái)，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫(huà)；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫(huà)．注意：在表示a的點(diǎn)上畫(huà)空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式．要點(diǎn)：(1)一元一次不等式滿(mǎn)足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒(méi)有方向．知識(shí)點(diǎn)3一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：與一元一次方程的解法類(lèi)似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.要點(diǎn)：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用．（2）解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．知識(shí)點(diǎn)4列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題列一元一次不等式解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，通常也需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：(1)審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超過(guò)”、“超過(guò)”等；(2)設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；(3)列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：寫(xiě)出答案，并檢驗(yàn)是否符合題意．要點(diǎn)：(1)列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；(2)求得不等關(guān)系的解集后，應(yīng)根據(jù)題意，把實(shí)際問(wèn)題的解求出來(lái)；(3)構(gòu)建不等關(guān)系解應(yīng)用題的流程如圖所示．考點(diǎn)一:不等式解集的表示例1．把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】試題分析：將上述不等式的解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可.試題解析：（1）將表示在數(shù)軸上為：（2）將表示在數(shù)軸上為：（3）將表示在數(shù)軸上為：（4）將表示在數(shù)軸上為：點(diǎn)睛：將不等式的解集表示在數(shù)軸上時(shí)，需注意兩點(diǎn)：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等于）向左”；（2）“或（）時(shí)”，數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“空心圓圈”，“（或）時(shí)”，數(shù)軸上表示數(shù)“”的點(diǎn)用“實(shí)心圓點(diǎn)”.【變式1-1】．下列各數(shù)中，能使不等式成立的是（）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式解的定義，就是能使不等式成立的未知數(shù)的值，把x的值代入檢驗(yàn)就可以作出判斷．【解析】詳解：當(dāng)時(shí)，，故不正確；當(dāng)時(shí)，，故正確；當(dāng)時(shí)，，故不正確；當(dāng)時(shí)，，故不正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式解的定義，是一個(gè)基礎(chǔ)的題目，利用代入法即可求解．【變式1-2】．不等式的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)x＜4不等式，寫(xiě)出非負(fù)整數(shù)解，注意：非負(fù)整數(shù)是指正整數(shù)和零，不要把零忘記了．【解析】不等式x＜4的非負(fù)整數(shù)解有3，2，1，0，共4個(gè)．故選A．【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)非負(fù)整數(shù)的題目，解題的關(guān)鍵掌握非負(fù)整數(shù)的概念；【變式1-3】．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些數(shù)能使不等式x－1>－2成立？【答案】0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立．【分析】（1）解法一：將各數(shù)分別代入不等式即可得解.解法二：利用不等式的基本性質(zhì)解不等式得x>－1，已知中的數(shù)有0，，1.5，2均大于-1【解析】將各數(shù)分別代入不等式，可知0，，1.5，2能使不等式x－1>－2成立．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解，熟練掌握不等式解的意義是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二:一元一次不等式的概念例2．下列式子中是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一元一次不等式的定義，根據(jù)“含有一個(gè)未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的不等式是一元一次不等式．”逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、是一元一次不等式，符合題意；B、變形得：，不是一元一次不等式，不符合題意；C、是等式，不是一元一次不等式，不符合題意；D、，含未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次不等式，不符合題意．故選：A．【變式2-1】．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】本題考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式是解題關(guān)鍵．根據(jù)一元一次不等式的概念逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知數(shù)，不是一元一次不等式；③，是代數(shù)式，不是一元一次不等式；④，未知數(shù)的次數(shù)是2，不是一元一次不等式．綜上可知只有①是一元一次不等式．故選D．【變式2-2】．下列各式是一元一次不等式的有個(gè)．，，，，，【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的定義，關(guān)鍵是掌握含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是的不等式，叫做一元一次不等式．利用一元一次不等式的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】解：是一元一次不等式；是不等式，但不是一元一次不等式；是一元一次不等式；是不等式，但不是一元一次不等式；是等式，不是一元一次不等式；是不等式，但不是一元一次不等式；故是一元一次不等式的有個(gè)，故答案為：．【變式2-3】．給出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中屬于一元一次不等式的是：．（只填序號(hào)）【答案】②④【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就是一元一次不等式．【解析】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故選項(xiàng)不符合題意；②y－1＞3是一元一次不等式，故此選項(xiàng)符合題意；③x＋≥2中不是整式，故選項(xiàng)不符合題意；④x≤0是一元一次不等式，故此選項(xiàng)符合題意；⑤3x－y＜5；含兩個(gè)未知數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意．故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義中的未知數(shù)的最高次數(shù)為1次，本題還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．考點(diǎn)三:根據(jù)一元一次不等式的概念求參數(shù)例3．若是一元一次不等式，則．【答案】1【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義可知，從而可求出n的值．【解析】解：是一元一次不等式，，解得：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義、絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵．利用一元一次不等式和絕對(duì)值的定義列式求解即可．【解析】解：∵是關(guān)于x的一元一次不等式，∴且，∴．故選D．【變式3-2】．若是關(guān)于的一元一次不等式，則．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式的定義，根據(jù)一元一次不等式的定義可得且，據(jù)此求解即可，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵是關(guān)于的一元一次不等式，∴且，解得，故答案為：．【變式3-3】．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元一次不等式定義，抓住一元一次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)為1次列式求解即可得到答案．【解析】解：是關(guān)于的一元一次不等式，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，根據(jù)一元一次不等式的定義列出方程與不等式求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四:一元一次不等式的解法例4．解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；數(shù)軸表示見(jiàn)詳解【分析】（1）-（8）根據(jù)解不等式的步驟：先去分母，然后去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1即可得出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【解析】解：（1），解得：；解集在數(shù)軸上表示如下：（2），移項(xiàng)得：，化簡(jiǎn)得：，解得：x<?6；解集在數(shù)軸上表示如下：（3），去分母得：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)解得：x>0；解集在數(shù)軸上表示如下：（4），移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)得：；解集在數(shù)軸上表示如下：（5），去分母得：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：，解得：x>1；解集在數(shù)軸上表示如下：（6），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)解得：；解集在數(shù)軸上表示如下：（7），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)得：；解集在數(shù)軸上表示如下：（8），移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1解得：．解集在數(shù)軸上表示如下：【點(diǎn)睛】題目主要考查解不等式的步驟及解法、在數(shù)軸上的表示，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．【變式4-1】．解下列不等式：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先去分母再移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：，，，；（2）解：，，，，．【變式4-2】．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．【答案】(1)，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析；(2)，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析；(3)，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析；(4)，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析；(5)，在數(shù)軸上表示解集見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法將解集表示出來(lái)即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法將解集表示出來(lái)即可；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法將解集表示出來(lái)即可；（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法將解集表示出來(lái)即可；（5）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，然后根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法將解集表示出來(lái)即可．【解析】（1）解：，，解得：；在數(shù)軸上表示解集為：（2）解：，，解得：；在數(shù)軸上表示解集為：（3）解：解得：，在數(shù)軸上表示解集為：（4）解：解得：，在數(shù)軸上表示解集為：（5）解：，解得：，在數(shù)軸上表示解集為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式解集，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．【變式4-3】．解不等式：【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式．先把不等式的分母化為整數(shù)，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1即可．【解析】解：，整理，得，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．考點(diǎn)五:判斷數(shù)軸上的解集表示、辨析解法步驟例5．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示解集．熟練掌握解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示解集是解題的關(guān)鍵．先解一元一次不等式，然后在數(shù)軸上表示解集，進(jìn)行判斷即可．【解析】解：，解得，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

故選：B．【變式5-1】．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先解出一元一次不等式，再把解集表示在數(shù)軸上．【解析】解：，去分母得：，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，∴；解集在數(shù)軸上表示如下：

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式以及數(shù)軸上的表示，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的計(jì)算，求出不等式的解集．【變式5-2】．下列解不等式的步驟中，錯(cuò)誤的一步是（

）A．去分母，得 B．去括號(hào)，得C．移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得 D．系數(shù)化為1，得【答案】D【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟求解，然后與各選項(xiàng)比較即可．【解析】去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】．下面是小明同學(xué)解不等式的過(guò)程，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解不等式：解：第一步第二步．第三步．第四步第五步任務(wù)一：填空：①小明解不等式過(guò)程中，第二步是依據(jù)（填運(yùn)算律）進(jìn)行變形的；②第步開(kāi)始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是；任務(wù)二：請(qǐng)直接寫(xiě)出該不等式的解集，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】任務(wù)一：乘法分配律；五，不等式兩邊都除以，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變；任務(wù)二：，數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】本題考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步驟進(jìn)行，求出不等式的解集，即可完成任務(wù)一與任務(wù)二．【解析】解：任務(wù)一：①小明解不等式過(guò)程中，第二步是依據(jù)乘法分配律進(jìn)行變形的；②第五步開(kāi)始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是：不等式兩邊都除以，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變；任務(wù)二：該不等式的解集為：，用數(shù)軸表示如下：考點(diǎn)六:根據(jù)解集寫(xiě)出不等式；根據(jù)解集求參數(shù)例6．寫(xiě)出一個(gè)解集為的一元一次不等式：．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義及解集，解題的關(guān)鍵是理解一元一次不等式解集的定義．根據(jù)題意寫(xiě)出符合要求的不等式即可．【解析】解集為的一元一次不等式可以是．故答案為：（答案不唯一）．【變式6-1】．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)解集為的一元一次不等式（未知數(shù)的系數(shù)不能為1）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知解集寫(xiě)出不等式即可．【解析】解：根據(jù)題意得，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式解的定義，熟練掌握運(yùn)算步驟是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】．已知如圖是關(guān)于的不等式的解集，則的值為．【答案】1【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．解不等式得出，結(jié)合數(shù)軸知，據(jù)此可得關(guān)于的方程，解之可得答案．【解析】解：解不等式得：，由數(shù)軸知不等式的解集為，，解得：，故答案為：1．【變式6-3】．若不等式的解都是不等式的解，則的取值范圍是．【答案】【分析】考核知識(shí)點(diǎn)：不等式組的解集．理解不等式組的解集意義是關(guān)鍵．根據(jù)不等式組的解集意義，若不等式的解都是不等式的解，則說(shuō)明n不能小于2．即．【解析】根據(jù)不等式組的解集意義，若不等式的解都是不等式的解，則n的取值范圍是．故答案為：．考點(diǎn)七:一元一次不等式的整數(shù)解及求參問(wèn)題例7．求不等式的正整數(shù)解．【答案】不等式的正整數(shù)解為1，2【解析】解：，，，，所以此不等式的正整數(shù)解為1，2．【變式7-1】．不等式的負(fù)整數(shù)解有（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解題的關(guān)鍵，注意不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向發(fā)生改變．先求出不等式的解集，然后得出負(fù)整數(shù)解，即可得出答案．【解析】解：不等式的負(fù)整數(shù)有，，，，共四個(gè)，故選：C．【變式7-2】．若不等式的最大整數(shù)解是方程的解，則a的值是．【答案】1【分析】本題考查求一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整數(shù)解，代入得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可．【解析】解：解不等式，得，不等式的最大整數(shù)解是1，將代入，得，解得，故答案為：1．【變式7-3】．若關(guān)于x的不等式只有3個(gè)正整數(shù)解，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解；首先求出不等式的解集，得出這三個(gè)正整數(shù)解分別是1，2，3，進(jìn)而可得m的取值范圍．【解析】解：解不等式得：，∵關(guān)于x的不等式只有3個(gè)正整數(shù)解，∴這三個(gè)正整數(shù)解分別是1，2，3，∴，故答案為：．考點(diǎn)八:一元一次不等式的代數(shù)應(yīng)用例8．當(dāng)取何值時(shí)，的值不大于？【答案】當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，的值不大于．【分析】本題考查解一元一次不等式．根據(jù)題意，列出不等式，進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是正確的列出不等式．【解析】解：由題意得，去分母得解得，所以當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，的值不大于．【變式8-1】．若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查解一元一次不等式和一元一次不等式，解方程得，由解為正數(shù)知，解之即可得出答案．【解析】解：解方程得：，∵關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，∴，解得，故選：D．【變式8-2】．若關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并同類(lèi)項(xiàng)，得化系數(shù)為1，得關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)解得:故選:B【變式8-3】．若關(guān)于x的方程的解大于的解，求a的取值范圍．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先求出一元一次方程以及一元一次不等式，然后再根據(jù)題意列出不等式，求解不等式即可得出答案．【解析】解：，，∵的解大于的解，∴，解得：．考點(diǎn)九:一元一次不等式在數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用例9．已知點(diǎn)在第三象限則點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】此題考查了已知點(diǎn)所在是象限求參數(shù)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)判斷點(diǎn)所在的象限，正確理解點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)所在象限的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在第三象限，得到，，即可得到點(diǎn)所在的象限．【解析】解：點(diǎn)在第三象限內(nèi)，，，，，點(diǎn)在第四象限．故選：D．【變式9-1】．若點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等且在x軸下方，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離,點(diǎn)在坐標(biāo)系中的分布及解一元一次不等式，根據(jù)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等且在x軸下方，可得，且，即可解答．【解析】解：根據(jù)題意得：，且，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【變式9-2】．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)P位于原點(diǎn)的左側(cè)，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)用代數(shù)式表示．那么m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸、解不等式，先根據(jù)數(shù)軸上，原點(diǎn)左側(cè)的數(shù)都小于0列不等式，然后解不等式即可求解．【解析】解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)P位于原點(diǎn)的左側(cè)，與點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)用代數(shù)式表示，∴，解得，故選：D．【變式9-3】．如圖，點(diǎn)A，B均在數(shù)軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)字是，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)字是m．(1)若，求m的值；(2)將線(xiàn)段三等分，這兩個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)字從左到右依次是，，若，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和點(diǎn)A表示的數(shù)即可求出m的值；（2）首先根據(jù)題意表示出，然后根據(jù)三等分點(diǎn)的特點(diǎn)表示出，最后利用求不等式即可．【解析】（1）∵，∴，即m的值為；（2）∵，∴，∴，∵，∴，解得．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容及一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)十:一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用例10．某次國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽初賽共20道題（滿(mǎn)分100分），評(píng)分辦法是：答對(duì)1道題得5分，答錯(cuò)或不答倒扣2分．選手要得到70分以上（含70分），至少需要答對(duì)（

）A．16題 B．15題 C．14題 D．17題【答案】A【分析】本題主要考查了不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不等關(guān)系，列出不等式．設(shè)答對(duì)道題，答錯(cuò)或不答的題目為道，根據(jù)選手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可．【解析】解：設(shè)答對(duì)道題，答錯(cuò)或不答的題目為道，根據(jù)題意，得：，解得，∴至少要答對(duì)16道題才能得到70分以上（含70分）．故選：A．【變式10-1】．老師準(zhǔn)備用100元購(gòu)買(mǎi)套尺和圓規(guī)作為元旦禮物送給學(xué)生，已知套尺的單價(jià)5元，圓規(guī)的單價(jià)為10元．老師買(mǎi)了7套套尺，求老師最多還能買(mǎi)幾副圓規(guī)．設(shè)老師買(mǎi)了x副圓規(guī)，可列不等式為．（只列式不計(jì)算）【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，設(shè)老師買(mǎi)了x副圓規(guī)，根據(jù)“老師準(zhǔn)備用100元購(gòu)買(mǎi)套尺和圓規(guī)作為元旦禮物送給學(xué)生”即可列出一元一次不等式，理解題意，找準(zhǔn)不等關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)老師買(mǎi)了x副圓規(guī)，由題意得：，故答案為：．【變式10-2】．小華想利用暑假去太原植物園，了解熱帶雨林、沙生植物、四季花卉等植物特性．小華在網(wǎng)上了解到該植物園的票價(jià)是每人50元，15人及以上按團(tuán)體票，可享五折優(yōu)惠．小華現(xiàn)有500元的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)，且每人往返車(chē)費(fèi)共3元，則至多可以去多少人？【答案】至多可以去17人【分析】本題考查一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)可以去人，根據(jù)計(jì)費(fèi)規(guī)則以及總費(fèi)用不高于500元列不等式，求出不等式的最大整數(shù)解即可．【解析】解：設(shè)可以去人，根據(jù)題意，得，解得．為正整數(shù)，的最大值為17．答：至多可以去17人．【變式10-3】．為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某種型號(hào)的水基滅火器和干粉滅火器共50個(gè)．其中水基滅火器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單價(jià)為380元/個(gè)．若學(xué)校購(gòu)買(mǎi)這兩種滅火器的總價(jià)不超過(guò)21000元，則最多可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器多少個(gè)？【答案】最多可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器12個(gè)【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)干粉滅火器個(gè)，根據(jù)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)這兩種滅火器的總價(jià)不超過(guò)21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解析】解：設(shè)可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)干粉滅火器個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，為整數(shù)，取最大值為12，答：最多可購(gòu)買(mǎi)這種型號(hào)的水基滅火器12個(gè)．考點(diǎn)十一:一元一次不等式的其他應(yīng)用及難點(diǎn)分析例11．如果關(guān)于x的不等式的解集與的解集相同，則．【答案】2【分析】本題考查解一元一次不等式、解一元一次方程，先分別解一元一次不等式，再根據(jù)不等式的解集相同可得，即可求解．【解析】解：，解得，，解得，∵關(guān)于x的不等式的解集與的解集相同，∴，解得，故答案為：2．【變式11-1】．若關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查解一元一次方程、一元一次不等式，先解方程得，即可得，再求解即可．【解析】解：，去分母得，，去括號(hào)得，，∴，∵原方程的解是負(fù)數(shù)，∴，解得，故答案為：．【變式11-2】．已知m，n均為正整數(shù)，且滿(mǎn)足，則當(dāng)m＝時(shí)，n取得最小值．【答案】725【分析】先移項(xiàng)，用m表示出n，再根據(jù)n最小可得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，再由m，n均為正整數(shù)即可得出符合條件的m、n的值．【解析】解：移項(xiàng)得，，∵m、n為正整數(shù)，∴，∴m≥67.5，若n取得最小值，則與75無(wú)限接近且m為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝72時(shí)，n最?。?，故答案為：72；5．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程分正整數(shù)解，解一元一次不等式等知識(shí)，根據(jù)題意得到關(guān)于m的不等式并根據(jù)正整數(shù)解的定義確定m的值是解題關(guān)鍵．【變式11-3】．已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于關(guān)于的不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，不等式的解集，解不等式，掌握絕對(duì)值與算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出，且是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出，，解得：，，再根據(jù)不等式的解集為，得到，，把，代入，得，然后由，則，解得，所以，最后解不等式，即可．【解析】解：∵，∴，，∴，，∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，，∴，把，代入，得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，即不等式的解集是．故答案為：．一、單選題1．下列不等式中，是一元一次不等式的有（

）①；②；③；④；⑤．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義作出判斷．【解析】解：①；③；④三個(gè)不等式中，未知數(shù)只有1個(gè)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1次，所以3個(gè)都是一元一次不等式；②，未知數(shù)的次數(shù)為-1，不是1，所以不是一元一次不等式；⑤是一個(gè)不含未知數(shù)的不等式，所以不是一元一次不等式．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式，正確理解一元一次不等式的意義是解題關(guān)鍵．2．用不等式表示圖中的解集，其中正確的是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】D【分析】根據(jù)不等式的解集表示方法即可求解．【解析】解：∵表示不等式的解集的折線(xiàn)向右延伸，且表示﹣2的點(diǎn)是空心圓點(diǎn)∴x＞﹣2故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式解集的表示，解題的關(guān)鍵是熟知不等式解集的表示方法．3．與不等式的解集相同的不等式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解，逐項(xiàng)判斷．【解析】由，解得：，A、由，解得：，故符合題意；B、由，解得：，故不符合題意；C、由，解得：，故不符合題意；D、由，解得：，故不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法，熟練掌握不等式的性質(zhì)是關(guān)鍵．4．解不等式時(shí)，去分母步驟正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】不等式兩邊都乘以6即可得解.【解析】解:不等式兩邊都乘以6得，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了解簡(jiǎn)單不等式的能力，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì):(1)不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變;(2)不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變;.(3)不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變.5．若是關(guān)于的一元一次不等式，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義得出a＋1≠0，|a|＝1，求解即可．【解析】解：∵是關(guān)于x的一元一次不等式，∴a＋1≠0，|a|＝1，解得：a＝1，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)已知得出a＋1≠0，|a|＝1．6．如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，則a的取值是（

）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≤﹣2 C．a(chǎn)=﹣1 D．a(chǎn)=﹣2【答案】C【分析】先解不等式求出其解集，然后由數(shù)軸可得不等式的解集為x≤﹣1，進(jìn)而可得關(guān)于a的方程，解方程即得答案．【解析】解：解不等式2x﹣a≤﹣1，得，由不等式的解集在數(shù)軸上的表示可得不等式的解集是x≤﹣1，所以，解得：a=﹣1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法和不等式的解集在數(shù)軸上的表示，屬于基礎(chǔ)題型，正確理解題意、熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題關(guān)鍵．7．若方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先要解這個(gè)關(guān)于x的方程，然后根據(jù)解是正數(shù)，就可以得到一個(gè)關(guān)于m的不等式，最后求出m的范圍．【解析】原方程可整理為：3mx＋3m＋1＝3m?mx?5x，（3m＋m＋5）x＝?1，兩邊同時(shí)除以（4m＋5）得，x＝，∵方程3m（x＋1）＋1＝m（3?x）?5x的解是正數(shù)，∴＞0，∴4m＋5＜0，解得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一次方程與不等式，解關(guān)于x的不等式是解題的關(guān)鍵．8．某商店的老板銷(xiāo)售一種商品，他以不低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格才能出售，但為了獲得更多利潤(rùn)，他以高出進(jìn)價(jià)80%的價(jià)格標(biāo)價(jià)，若你想買(mǎi)下標(biāo)價(jià)為360元的這種商品，且使商店老板愿出售，你最多可要求老板降價(jià)（

）A．80元 B．100元 C．120元 D．160元【答案】C【分析】設(shè)這件商品的進(jìn)價(jià)為x元，首先根據(jù)題意列出方程求出商品的進(jìn)價(jià)，然后求出盈利的最低價(jià)格，從而用兩個(gè)價(jià)格作差即可得出答案．【解析】設(shè)這件商品的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意得，，解得，盈利的最低價(jià)格為（元），∴商店老板最多會(huì)降價(jià)（元），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，能夠求出商品的進(jìn)價(jià)及盈利的最低價(jià)格是解題的關(guān)鍵．9．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一個(gè)值都能使關(guān)于x的不等式4x+1＜x-m成立，則m的取值范圍是（

）A．m＞5 B．m≤5 C．m≥5 D．m＜-5【答案】B【分析】求出不等式2x+5＜1的解集，再求出不等式4x+1＜x-m的解集，得出關(guān)于m的不等式，求出m即可．【解析】解：解不等式2x+5＜1得：x＜-2，解關(guān)于x的不等式4x+1＜x-m得，∵不等式2x+5＜1的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式4x+1＜x-m成立，∴≥-2，解得：m≤5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要對(duì)解一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)已知得到關(guān)于m的不等式是解此題的關(guān)鍵．10．若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解出不等式，根據(jù)已知條件求出m，n的式子計(jì)算即可；；【解析】解不等式得，，∵，∴，得到：，解得：，整理不等式，得，解得：．故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的解法，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．不等式的解集為【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式．解不等式即可求解．【解析】解：由原不等式得：，解得，故答案為：．12．已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為．【答案】2【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可確定出m的值．【解析】解：∵不等式（m+2）x|m|-1+3＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，∴|m|-1=1，且m+2≠0，解得：m=-2（舍去）或m=2，則m的值為2，故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．13．不等式的非正整數(shù)解有個(gè)．【答案】3【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再求出滿(mǎn)足要求的非正整數(shù)解即可．【解析】解：，，∴不等式的非正整數(shù)解有：，，0一共3個(gè)．故答案為：3．14．如果不等式ax≤2的解集是x≥-4，則a的值為．【答案】-【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)除以a，不等號(hào)的方向改變了．得到不等式的解集為：x≥，又因?yàn)樗慕饧莤≥-4，所以=-4，即可解得a的值．【解析】∵不等式ax≤2的解集是x≥-4，∴a＜0；解不等式得：x≥，∴=-4，解得a=?，故答案為?．【點(diǎn)睛】當(dāng)題中有兩個(gè)未知字母時(shí)，應(yīng)把關(guān)于某個(gè)字母的不等式中的字母當(dāng)成未知數(shù)，求得解集，再根據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一個(gè)字母的值．本題需注意，在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)只改變不等號(hào)的方向，余下運(yùn)算不受影響，該怎么算還怎么算．15．一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，那么m的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)：①當(dāng)，若，則圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限；若，則圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限．根據(jù)一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，得到，解不等式求解即可．【解析】解：一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，，，故答案為：．16．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是非負(fù)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出不等式解不等式即可．【解析】依題意去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：化系數(shù)為1，得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．17．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是解二元一次方程組和解一元一次不等式，解答此題的關(guān)鍵是把當(dāng)作已知數(shù)表示出的值，再得到關(guān)于的不等式．首先解關(guān)于和的方程組，利用表示出，代入即可得到關(guān)于的不等式，求得的范圍．【解析】解：，得，則，∵∴，解得．故答案是：．18．某校食堂為了提升學(xué)生的就餐體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生就餐排隊(duì)情況進(jìn)行了調(diào)查：食堂窗口還未開(kāi)放時(shí)，有a個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候打飯；窗口開(kāi)放開(kāi)始打飯時(shí)，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加b人．假定打飯速度是每個(gè)窗口每分鐘c個(gè)人，當(dāng)開(kāi)放2個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；當(dāng)同時(shí)開(kāi)放3個(gè)窗口時(shí)，則20分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若食堂想5分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開(kāi)放個(gè)窗口．【答案】9【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，得到題目中的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵；根據(jù)題意，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，表示a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而由5分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，可得不等式，由此可得結(jié)論．【解析】解：根據(jù)題意得，解得：，若食堂想5分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，設(shè)要同時(shí)開(kāi)放x個(gè)窗口才能滿(mǎn)足要求，將，，代入得，解得：，至少需要同時(shí)開(kāi)放9個(gè)窗口．故答案為：9．三、解答題19．解下列不等式．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解一元一次不等式：（1）按照移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求解即可；（2）按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求解即可．【解析】（1）解：移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類(lèi)項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．20．解下列不等式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了一元一次不等式的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的求解方法，正確求出不等式的解集．（1）按去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求解．（2）按去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求解．【解析】（1）解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．（2）解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類(lèi)項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．21．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；數(shù)軸見(jiàn)解析(2)；數(shù)軸見(jiàn)解析(3)；數(shù)軸見(jiàn)解析(4)；數(shù)軸見(jiàn)解析【分析】此題考查了解一元一次不等式，（1）按照解一元一次不等式的一般步驟進(jìn)行解答，并把解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可；（2）按解一元一次不等式組的一般步驟進(jìn)行解答，并把解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可．（3）按照解一元一次不等式的一般步驟進(jìn)行解答，并把解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可；（4）按解一元一次不等式組的一般步驟進(jìn)行解答，并把解集規(guī)范的表示在數(shù)軸上即可．【解析】（1），．?dāng)?shù)軸表示如下：（2），數(shù)軸表示如下：（3），．?dāng)?shù)軸表示如下：（4），．?dāng)?shù)軸表示如下：22．下面是小明同學(xué)解一元一次不等式的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：去分母，得．……第一步移項(xiàng)，得．…………第二步合并同類(lèi)項(xiàng)，得．………………第三步化系數(shù)為1，得．……第四步任務(wù)一：（1）去分母的依據(jù)是_______；（2）解答過(guò)程中，從前一步到后一步的變形，共出現(xiàn)______處錯(cuò)誤，其中最后一處錯(cuò)誤在第______步，錯(cuò)誤的原因是______；（3）請(qǐng)寫(xiě)出不等式的正確解答過(guò)程，并把解集表示在數(shù)軸上；任務(wù)二：請(qǐng)你給同學(xué)們提出在解一元一次不等式時(shí)避免解答出錯(cuò)的一條建議．【答案】任務(wù)一：（1）不等式的性質(zhì)2；（2）三，四，不等式的兩邊同除以時(shí)不等號(hào)方向未改變；（3）見(jiàn)解析；任務(wù)二：移項(xiàng)要變號(hào)【分析】本題考查解不等式，并用數(shù)軸表示不等式的解集：任務(wù)一：（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)，進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)解不等式的步驟，進(jìn)行判斷即可；（3）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化1，解不等式，進(jìn)而在數(shù)軸上表示出解集即可．任務(wù)