2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義理蘇教版

§2.6

對數(shù)與對數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.對數(shù)的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱b是以a為底N的對數(shù)，記作

，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝

；②loga

＝

；③logaMn＝

(n∈R).知識梳理logaN＝blogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM

(2)對數(shù)的性質(zhì)①＝

；②logaaN＝

(a>0且a≠1).(3)對數(shù)的換底公式logaN＝(其中a>0，a≠1；N>0，c>0，c≠1).

N

N

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：_________值域：___過定點

，即x＝

時，y＝__(0，＋∞)R(1，0)10幾何畫板展示性質(zhì)當(dāng)x>1時，____當(dāng)0<x<1時，____當(dāng)x>1時，____當(dāng)0<x<1時，____在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是_______y>0y<0y<0y>0增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)

互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對稱.y＝logaxy＝x

知識拓展1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab

＝

；(2)＝

logab.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應(yīng)的底數(shù).故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(

)(2)logax·logay＝loga(x＋y).(

)(3)函數(shù)y＝log2x及y＝3x都是對數(shù)函數(shù).(

)(4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù).(

)(5)函數(shù)y＝ln

與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同.(

)(6)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(1，0)且過點(a，1)，

，函數(shù)圖象只在第一、四象限.(

)××××√√考點自測1.(教材改編)的值為

.答案解析2.(2016·常州期末)函數(shù)f(x)＝log2(－x2＋2)的值域為

.答案解析3.(2016·課標全國Ⅰ改編)若a>b>0，0<c<1，則logca與logcb的大小關(guān)系為

.∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又a>b>0，∴l(xiāng)ogca<logcb.答案解析logca<logcb4.(2017·徐州月考)函數(shù)y＝

的定義域為

.答案解析5.(教材改編)若loga

<1(a>0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是

.答案解析題型分類深度剖析題型一對數(shù)的運算例1計算下列各式：原式＝lg

＝lg(5×2××102)＝lg

＝.解答(2)2log32－log3＋log38－3log55.原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.解答對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并.(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)若a＝log43，則2a＋2－a＝

.答案解析∴2a＋2－a＝

1答案解析題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2

(1)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是

.①a>1，c>1；

②a>1，0<c<1；③0<a<1，c>1；

④0<a<1，0<c<1.答案解析由該函數(shù)的圖象通過第一、二、四象限知該函數(shù)為減函數(shù)，∴0<a<1，∵圖象與x軸的交點在區(qū)間(0，1)之間，∴該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移不到1個單位后得到的，∴0<c<1.④(2)(2016·宿遷模擬)當(dāng)0<x≤時，4x<logax，則a的取值范圍是

.答案解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a>1時不滿足條件，當(dāng)0<a<1時，畫出兩個函數(shù)在(0，]上的圖象，(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是

.答案解析②由題意y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(3，1)點，可解得a＝3.①中，y＝3－x＝()x，顯然圖象錯誤；②中，y＝x3，由冪函數(shù)圖象性質(zhì)可知正確；③中，y＝(－x)3＝－x3，顯然與所畫圖象不符；④中，y＝log3(－x)的圖象與y＝log3x的圖象關(guān)于y軸對稱，顯然不符.(2)已知f(x)＝|lg

x|，若>a>b>1，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系是

.答案解析f(c)>f(a)>f(b)幾何畫板展示先作出函數(shù)y＝lg

x的圖象，再將圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到上方，這樣，我們便得到了y＝|lg

x|的圖象，如圖.由圖可知，f(x)＝|lg

x|在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是f()＞f(a)＞f(b)，所以f(c)＞f(a)＞f(b).題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點1比較對數(shù)值的大小例3

(2015·天津改編)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為

.答案解析c＜a＜b由f(x)＝2|x－m|－1是偶函數(shù)可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝

－1＝2，b＝f(log25)＝

－1＝

－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.幾何畫板展示命題點2解對數(shù)不等式例4

(1)若loga

<1，則a的取值范圍是

.答案解析當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以loga

<logaa總成立.當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)是減函數(shù)，(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝

若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是

.答案解析(－1，0)∪(1，＋∞)解得a>1或－1<a<0.幾何畫板展示命題點3和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)例5已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax).(1)當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；解答∵a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a，即x∈[0，2]時，3－ax>0恒成立.當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)恒有意義，(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.解答t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)，∴a>1，x∈[1，2]時，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a)，故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.(1)對數(shù)值大小比較的主要方法①化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性；②化同真數(shù)后利用圖象比較；③借用中間量(0或1等)進行估值比較.(2)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要確定函數(shù)的定義域，根據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是

.答案解析[0，＋∞)當(dāng)x≤1時，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當(dāng)x>1時，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.綜上可知x≥0.幾何畫板展示(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為

.答案解析[1，2)令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，解得1≤a<2，即a∈[1，2).考點分析比較大小問題是每年高考的必考內(nèi)容之一：(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時也可用數(shù)形結(jié)合的方法.(2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.典例(1)(2016·全國乙卷改編)若a>b>0，0<c<1，則下列不等式正確的是

.①logac<logbc；

②logca<logcb；

③ac<bc；

④ca>cb.

比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小高頻小考點3答案解析②因為0<c<1，所以lg

c<0，而a>b>0，所以lg

a>lg

b，但不能確定lg

a、lg

b的正負，所以它們的大小不能確定，所以①錯；而lg

a>lg

b，兩邊同乘以一個負數(shù)

改變不等號方向，所以②正確；對③：由y＝xc在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，即可得到ac>bc，所以③錯；對④：由y＝cx在R上為減函數(shù)，得ca<cb，所以④錯.答案解析(2)(2016·南京模擬)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos100，則a，b，c的大小關(guān)系為

.a>b>c因為20.3>20＝1，0＝logπ1<logπ3<logππ＝1，log4cos100<log41＝0，所以a>b>c.由loga2<logb2<logc2的大小關(guān)系，可知a，b，c有如下四種可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.對照所給不等式可知①中關(guān)系不可能成立.答案解析(3)若實數(shù)a，b，c滿足loga2<logb2<logc2，則下列關(guān)系中不可能成立的是

.①a<b<c；

②b<a<c；

③c<b<a；

④a<c<b.①課時作業(yè)12345678910111213141.(教材改編)給出下列4個等式：①log253＝3log25；②log253＝5log23；③log84＝

；④＝4.其中正確的等式是

.(寫出所有正確的序號)答案解析②中

＝log23，故②不正確，①③④都正確.①③④2.設(shè)a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則a，b，c的大小關(guān)系為

.∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.即c<a<b.答案解析c<a<b12345678910111213143.函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是

.答案解析①函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)是偶函數(shù)，排除③；當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，排除②、④.12345678910111213144.(2016·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

則f(2018)＝

.由已知f(2018)＝f(2017)＋1＝f(2016)＋2＝f(2015)＋3＝…＝f(1)＋2017＝log2(5－1)＋2017＝2019.答案解析201912345678910111213145.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)時，f(x)＝2x＋

，則f(log220)＝

.答案解析－1由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因為4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log2)＝

＝－1.12345678910111213146.若函數(shù)f(x)＝loga(x2＋

x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(，

＋∞)內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.答案解析所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).(0，＋∞)1234567891011121314答案解析－112345678910111213148.(2016·浙江)已知a>b>1.若logab＋logba＝

，ab＝ba，則a＝

，b＝

.答案解析42令logab＝t，∵a>b>1，∴0<t<1，解得a＝4，∴b＝2.12345678910111213149.已知函數(shù)f(x)＝loga(2x－a)在區(qū)間[]上恒有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是

.答案解析1234567891011121314所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此時無解.1234567891011121314*10.(2016·南通模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)＝lg(x≠0，x∈R)有下列命題：①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；②在區(qū)間(－∞，0)上，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù).其中是真命題的序號為

.答案解析①③④1234567891011121314即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確；可知當(dāng)x∈(0，1)時，t′(x)<0，t(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，t′(x)>0，t(x)單調(diào)遞增，即在x＝1處取得最小值為2.1234567891011121314由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知②錯誤，③正確，④正確，故答案為①③④.123456789101112131411.(2016·鎮(zhèn)江期末)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝1－log2x，則不等式f(x)<0的解集是

.答案解析(－2，0)∪(2，＋∞)當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝log2(－x)－1，

f(x)<0，即log2(－x)－1<0，解得－2<x<0；當(dāng)x>0時，f(x)＝1－log2x，f(x)<0，即1－log2x<0，解得x>2，綜上，不等式f(x)<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).123456789101112131412.(2016·江蘇運河中學(xué)一診)已知f(x)＝log2(x－2)，若實數(shù)m，n滿足f(m)＋f(2n)＝3，則m＋n的最小值是

.答案解析7由f(m)＋f(2n)＝3，得log2[(m－2)(2n－2)]＝3?(m－2)(2n－2)＝23，即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，由基本不等式得()2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3時等號成立)，從而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.1234567891011121314*13.已知函數(shù)f(x)＝3－2log