第九章微分方程定義資料教程

第9章微分方程求變量間的函數(shù)關(guān)系的方法(1)通過(guò)科學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),再對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,從而得到所需函數(shù)關(guān)系(P272,最小二乘法等).(2)建立函數(shù)滿足的數(shù)學(xué)模型,一般是函數(shù)方程,

而微分方程是最重要,最常見的函數(shù)方程,通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型(微分方程),從而得到所需函數(shù)關(guān)系.19.1微分方程的基本概念9.1.1定義例1.已知一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率為3x2,求此曲線方程.解:設(shè)所求曲線方程為:y=y(x),(1)兩邊積分得:由y(1)=2,得:

1+C=2,

C=1,

所求曲線為方程:

2例2.一列車在直線軌道上以20m/s的速度行駛,當(dāng)制動(dòng)解:設(shè)列車在制動(dòng)后t秒時(shí)間內(nèi)行駛了s=s(t)米,時(shí)列車獲得的加速度為0.4m/s2,問開始制動(dòng)后列車行駛了多少時(shí)間才停車?又問列車在這段時(shí)間內(nèi)行駛了多少二階導(dǎo)數(shù)的物理意義:且s=s(t)還應(yīng)滿足:s(0)=0,s

(0)=20,

(2)的兩邊積分得:距離?再積分一次得:3定義含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程.定義微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.是一階微分方程,是二階微分方程,一般地,n階微分方程的形式是:

5定義若把某一個(gè)函數(shù)代替微分方程中的未知函數(shù)能使如果微分方程的解中含有一些獨(dú)立的任意常數(shù),任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為微分方程的通解.方程成為恒等式,則稱此函數(shù)為該微分方程的解.6如果微分方程的解中不含任意常數(shù),則稱為微分方程

的特解,確定通解中的任意常數(shù)的取值從而得到特解的條

件稱為定解條件.常見的定解條件有初始條件.例1中的y(1)=2,例2中的s(0)=0,s

(0)=20都是初始條件.n階微分方程y(n)=f(x,y,y

,y

…,y(n

1))的初始條件為:y(x0)=y0,y

(x0)=y1,y

(x0)=y2,…,y(n

1)(x0)=yn

1,7微分方程解的圖形稱為微分方程的積分曲線.為初始問題.并稱8例3.驗(yàn)證解:9例4.求曲線y=C1x+C2x2所滿足的微分方程.解:求導(dǎo)得:109.1.2建立微分方程舉例解:在軸截面上取坐標(biāo)系,求水面高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),水面高度有h下降到h+dh(dh<0),容器內(nèi)水的體積減少量的微元:

dv=r2dh=[1002(100h)2]dh=(200hh2)dh,

hh100Oh+dh例6.有一半徑為1(m)的半球形容器,盛滿水,水從底部小孔流出.已知小孔截面積A=1(cm2).從水力學(xué)知:當(dāng)水面高度為h(cm)時(shí),水從小孔流出的速率為:11流出的水的體積微元:且12例7.一電動(dòng)機(jī)在不考慮冷卻的情況下,運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)將以每小時(shí)解:

設(shè)時(shí)刻t的電動(dòng)機(jī)的溫度為T(t),10

C的速率升溫。今若電動(dòng)機(jī)環(huán)境具有良好的通風(fēng)條件,使環(huán)境能保持恒溫15

C,則電動(dòng)機(jī)在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中同時(shí)受空氣冷卻,按牛頓冷卻定律,冷卻速率正比與機(jī)溫與室溫之差(設(shè)比例系數(shù)為K)。試求電動(dòng)機(jī)溫度T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。在[t,t+dt]內(nèi),電動(dòng)機(jī)溫度升高:10dt,電動(dòng)機(jī)自然降溫:k(T15)dt,電動(dòng)機(jī)溫度改變量的微元為:dT=10dt

k(T15)dt,即:dT=(10kT+15k)dt,139.2一階微分方程9.2.1可分離變量的微分方程程14例1.求微分方程

解:分離變量得:15例2.求解:

滿足初始條件y(0)=1的特解.16例3.曲線y=y(x)與曲線族解:在橢圓族中任取一橢圓:中的任一橢圓都正交,(即在交點(diǎn)處切線都垂直),若已知曲線y=y(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,b)(ab0),求此曲線方程.與曲線y=y(x)相交于點(diǎn)M(x,y),曲線y=y(x)在點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率為:k1=y

,

橢圓在點(diǎn)M(x,y)處的切線斜率為:k2=x/2y

,

17作業(yè)P10,1(3);4;1(1),(3);2;5;作業(yè)P32,1.(1),(3);2(3);189.2.2一階線性微分方程

一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:當(dāng)Q(x)0時(shí),稱y+P(x)y=0為一階線性齊次方程.

當(dāng)Q(x)0時(shí),稱y+P(x)y=Q(x)為一階線性非齊次方程.19先求齊次方程的通解20可寫成:是線性齊次方程的通解,是線性非齊次方程的特解.21例4.求微分方程解:用常數(shù)變易法,22用公式法:原方程的通解為:23例5.求解:24例6.求微分方程解:25例7.有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開始垂直解:下沉,設(shè)沉降過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)所受的阻力與沉降速度v成正比,比例系數(shù)為k(k>0),求質(zhì)點(diǎn)沉降速度v及位置x與沉降時(shí)間t的關(guān)系.26故由27例8.一容器盛有鹽水100升,內(nèi)含鹽量50克。現(xiàn)若以3升/分解:設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t(分鐘)后,容器含鹽量為:y(t),在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),的流量注入濃度為2克/升的鹽水,