2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十三章推理與證明算法復(fù)數(shù)13.2直接證明與間接證明講義理蘇教版

§13.2直接證明與間接證明基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.直接證明(1)綜合法①定義：從

出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.知識(shí)梳理已知條件③思維過程：由因?qū)Ч?(2)分析法①定義：從

出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.③思維過程：執(zhí)果索因.問題的結(jié)論2.間接證明反證法：要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題).這個(gè)過程包括下面3個(gè)步驟：(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3)存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.(

)(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(

)(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.(

)(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.(

)(5)在解決問題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(

)××××√√考點(diǎn)自測(cè)1.(2016·揚(yáng)州質(zhì)檢)已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝

圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為_________.答案解析cn＋1<cn由條件得則cn隨n的增大而減小，∴cn＋1<cn.2.(2016·北京改編)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則下列結(jié)論正確的是_____.①乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；②乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多；③乙盒中紅球不多于丙盒中紅球；④乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多.答案解析②取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：(1)紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；(2)黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；(3)紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；(4)黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1.因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以(1)和(2)的情況一樣多.(3)和(4)的情況完全隨機(jī)，(3)和(4)對(duì)②中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.(1)和(2)出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)②中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上，②正確.3.要證a2＋b2－1－a2b2≤0只要證明____(填正確的序號(hào)).①2ab－1－a2b2≤0；答案解析④a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案解析a≥0，b≥0且a≠b5.(2016·鹽城模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有

≤f( )，已知函數(shù)y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值為_____.答案解析∵f(x)＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π).題型分類深度剖析題型一綜合法的應(yīng)用例1

(2016·宿遷模擬)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤；由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.證明證明(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

對(duì)于定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)．(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)＝0；證明取x1＝x2＝0，則x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)試判斷函數(shù)f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝

(x∈[0,1])是不是理想函數(shù)．解答對(duì)于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不滿足新定義中的條件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函數(shù)．對(duì)于f(x)＝x2，x∈[0,1]，顯然f(x)≥0，且f(1)＝1.對(duì)任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)即f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)．對(duì)任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不滿足條件③.綜上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函數(shù)，題型二分析法的應(yīng)用證明所以cos

x1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，故只需證明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即證1＋cos

x1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即證cos(x1－x2)<1.證明由于x1，x2∈R時(shí)，(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵．(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證．思維升華請(qǐng)你根據(jù)上述特點(diǎn)，提煉出一個(gè)一般性命題(寫出已知，求證)，并用分析法加以證明．解答只需證a(b＋m)>b(a＋m)，只需證am>bm，只需證a>b，由已知得a>b成立，題型三反證法的應(yīng)用命題點(diǎn)1證明否定性命題(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；解答(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．證明∴假設(shè)不成立，即數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．命題點(diǎn)2證明存在性問題例4若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇a，b](a<b)，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)．解答區(qū)間[1，b]在對(duì)稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)＝1，g(b)＝b，因?yàn)閎>1，所以b＝3.(2)是否存在常數(shù)a，b(a>－2)，使函數(shù)h(x)＝

是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答解得a＝b，這與已知矛盾．故不存在．命題點(diǎn)3證明唯一性命題例5已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意f(x)∈M，①方程f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.解答①當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根0；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]?D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0)成立．試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)－x＝0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．證明假設(shè)方程f(x)－x＝0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β(α≠β)，則f(α)－α＝0，f(β)－β＝0.不妨設(shè)α<β，根據(jù)題意存在c∈(α，β)，滿足f(β)－f(α)＝(β－α)f′(c)．因?yàn)閒(α)＝α，f(β)＝β，且α≠β，所以f′(c)＝1.與已知0<f′(x)<1矛盾．又f(x)－x＝0有實(shí)數(shù)根，所以方程f(x)－x＝0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有以下幾個(gè)步驟第一步：分清命題“p?q”的條件和結(jié)論；第二步：作出與命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q；第三步：由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題p?q為真．所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知其實(shí)矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結(jié)果．思維升華跟蹤訓(xùn)練3已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：

是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；證明∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，(2)試用反證法證明>c.證明典例

(14分)直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：

＋y2＝1相交于A、C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長；(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．反證法在證明題中的應(yīng)用思想與方法系列25思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答在證明否定性問題，存在性問題，唯一性問題時(shí)?？紤]用反證法證明，應(yīng)用反證法需注意：(1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的．(2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí)，常采用反證法．(3)利用反證法證明時(shí)，一定要回到結(jié)論上去．返回(1)解

因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，則AC與OB相互垂直平分．由于O(0,0)，B(0,1)，(2)證明

假設(shè)四邊形OABC為菱形，因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. [7分]設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0，所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形．

[14分]

返回課時(shí)作業(yè)1.(2017·泰州月考)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是_________________________．答案解析因?yàn)椤胺匠蘹2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x2＋ax＋b＝0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”，所以該命題的否定是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根123456789101112132.(2016·江蘇質(zhì)量監(jiān)測(cè))對(duì)累乘運(yùn)算Π有如下定義： =a1×a2×…×an，則下列命題中的真命題是______．答案解析④1234567891011121312345678910111213答案解析①都大于2 ②至少有一個(gè)大于2③至少有一個(gè)不小于2 ④至少有一個(gè)不大于2當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號(hào)成立．所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，③正確．③12345678910111213答案解析∴P2<Q2，∴P<Q.P<Q123456789101112135.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是____.答案解析③12345678910111213但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.12345678910111213答案解析A≤B≤C123456789101112137.(2016·全國甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是______.1和3答案解析12345678910111213由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，又甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”.123456789101112138.若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少答案解析存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_________.若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立，12345678910111213證明12345678910111213所以要證的不等式成立.1234567891011121310.設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：f(x＋)為偶函數(shù).證明由函數(shù)f(x＋1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f(x＋1)＝f(－x).1234567891011121311.(2016·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋ (a>1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；證明12345678910111213任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0.∵a>1，∴ 且>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，12345678910111213故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù).12345678910111213(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根.證明假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，∵a>1，∴0<<1，故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根.1234567891011121312.(2015·陜西)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x＞0，n∈N，n≥2.證明12345678910111213Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，則Fn(1)＝n－1＞0，又F′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0(x＞0)，12345678910111213因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn)，所以Fn(xn)＝0，12345678910111213(2)設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為gn(x)，比較fn(x)和gn(x)的大小，并加以證明.解答12345678910111213設(shè)h(x)＝fn(x)－gn(x)當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；12345678910111213所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，所以h(x)＜h(1)＝0，即fn(x)＜gn(x)，綜上所述，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)；當(dāng)x≠1時(shí)，fn(x)＜gn(x).12345678910111213方法二由題設(shè)，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，當(dāng)x＝1時(shí)，fn(x)＝gn(x)，當(dāng)x≠1時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明fn(x)＜gn(x)，所以f2(x)＜g2(x)成立，②假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12345678910111213fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，則h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′k(x)＜0，hk(x)在(0,1)上遞減；12345678910111213當(dāng)x＞1時(shí)，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上遞增，所以hk(x)＞hk(1)＝0，故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1時(shí)不等式也成立，由①和②知，對(duì)一切n≥2的整數(shù)，都有fn(x)＜gn(