2019屆北京專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第三節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱(chēng)量詞與存在量詞講義理

第三節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞總綱目錄教材研讀1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞考點(diǎn)突破2.全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題考點(diǎn)二含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷考點(diǎn)一全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題考點(diǎn)三由命題真假確定參數(shù)的取值范圍教材研讀1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)常用的簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有①

或

、②

且

、③

非

.(2)命題p∧q、p∨q、?p的真假判斷pqp∧qp∨q?p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題(1)全稱(chēng)量詞和存在量詞量詞名稱(chēng)常見(jiàn)量詞符號(hào)表示全稱(chēng)量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等④

?

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、某些等⑤

?

全稱(chēng)命題特稱(chēng)命題形式對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立存在M中的一個(gè)x0,使p(x0)成立簡(jiǎn)記⑥

?x∈M

,p(x)⑦

?x0∈M

,p(x0)否定⑧

?x0∈M

,?p(x0)⑨

?x∈M

,?p(x)(2)全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題1.命題“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是

()A.?x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.?x?(0,+∞),lnx=x-1C.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.?x0?(0,+∞),lnx0=x0-1A答案

A特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題,所以?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1的

否定是?x∈(0,+∞),lnx≠x-1,故選A.2.設(shè)命題p:?平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|,則?p為

()A.?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|B.?平面向量a和b,|a-b|<|a|+|b|C.?平面向量a和b,|a-b|>|a|+|b|D.?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|D答案

D先改換量詞,再否定結(jié)論,?p為?平面向量a和b,|a-b|≥|a|+|b|,

故選D.3.如果命題“p且q”是假命題,“非p”是真命題,那么

()A.命題p一定是真命題B.命題q一定是真命題C.命題q一定是假命題D.命題q可以是真命題也可以是假命題D答案

D“非p”是真命題,那么p一定是假命題,故A錯(cuò);“p且q”是假

命題,且p是假命題,所以q可能是真命題也可能是假命題,故選D.4.下列四個(gè)命題中的真命題為

()A.?x0∈Z,1<4x0<3

B.?x0∈Z,5x0+1=0DC.?x∈R,x2-1=0

D.?x∈R,x2+x+2>0答案

D選項(xiàng)A中,

<x0<

且x0∈Z,不成立;選項(xiàng)B中,x0=-

,與x0∈Z矛盾;選項(xiàng)C中,x≠±1時(shí),x2-1≠0;選項(xiàng)D正確.5.設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=ex-1在R上為增函數(shù);命題q:函數(shù)f(x)=cos(x+π)為奇函

數(shù).則下列命題中真命題是

()A.p∧q

B.(?p)∨qC.(?p)∧(?q)

D.p∧(?q)D答案

D由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,命題p為真.f(x)=cos(x+π)=-cosx,易

知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以命題q為假,則?q為真,從而p∧(?q)為真命題.故

選D.考點(diǎn)一全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題典例1(1)命題p:對(duì)于任意x∈R,2x+1>0的否定是

()A.?p:對(duì)于任意x∈R,2x+1≤0B.?p:不存在x0∈R,

+1≤0C.?p:存在x0∈R,

+1≤0D.?p:存在x0∈R,

+1>0(2)已知命題p:?x∈R,log2(3x+1)≤0,則

()A.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)≤0考點(diǎn)突破D.p是真命題;?p:?x∈R,log2(3x+1)>0BC答案(1)C(2)B解析(1)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,所以?p:存在x0∈R,

+1≤0.故選C.(2)∵?x∈R,3x>0,∴3x+1>1,∴l(xiāng)og2(3x+1)>0,∴p是假命題.?p:?x∈R,log2(3x+1)>0,故選B.方法技巧1.全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題的真假判斷方法(1)要判斷一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)

證p(x)成立;但要判斷全稱(chēng)命題是假命題,只要能找出集合M中的一個(gè)x=

x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”).(2)要判斷一個(gè)特稱(chēng)命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一

個(gè)x=x0,使p(x0)成立即可;否則,這一特稱(chēng)命題就是假命題.2.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定(1)改寫(xiě)量詞:確定命題所含量詞的類(lèi)型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義

加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě).(2)否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.1-1

(2017北京東城一模,2)已知命題p:?n∈N,2n>

,則?p是

()A.?n∈N,2n≤

B.?n∈N,2n<

C.?n∈N,2n≤

D.?n∈N,2n>

答案

C根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,知?p:?n∈N,2n≤

,故選C.C1-2下列命題中,真命題是

()A.?x∈R,x2-x-1>0B.?α,β∈R,sin(α+β)<sinα+sinβC.?x∈R,x2-x+1=0D.?α,β∈R,sin(α+β)=cosα+cosβ答案

D因?yàn)閤2-x-1=

-

≥-

,所以A是假命題.當(dāng)α=β=0時(shí),有sin(α+β)=sinα+sinβ,所以B是假命題.x2-x+1=

+

≥

,所以C是假命題.當(dāng)α=β=

時(shí),有sin(α+β)=cosα+cosβ,所以D是真命題,故選D.D考點(diǎn)二含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷典例2(1)設(shè)命題p:“若sinα=

,則α=

”,命題q:“若a>b,則

<

”,則

()A.p∧q為真命題

B.p∨q為假命題C.?q為假命題

D.以上都不對(duì)(2)已知命題p:?x>0,x+

≥4;命題q:?x0∈R,

=-1.則下列判斷正確的是

()A.p是假命題

B.q是真命題C.p∧(￢q)是真命題

D.(￢p)∧q是真命題BC答案(1)B(2)C解析(1)命題p:“若sinα=

,則α=

”是假命題,命題q:“若a>b,則

<

”是假命題,故p∨q是假命題.故選B.(2)對(duì)于命題p:∵x>0,∴x+

≥2

=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立),∴命題p為真命題;對(duì)于命題q:∵?x∈R,2x>0,∴命題q為假命題,∴?q為真命

題.故選C.規(guī)律總結(jié)1.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的步驟(1)判斷簡(jiǎn)單命題p,q的真假;(2)根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假.2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的等價(jià)關(guān)系(1)p∨q真?p,q至少一個(gè)真?(?p)∧(?q)假.(2)p∨q假?p,q均假?(?p)∧(?q)真.(3)p∧q真?p,q均真?(?p)∨(?q)假.(4)p∧q假?p,q至少一個(gè)假?(?p)∨(?q)真.(5)?p真?p假;?p假?p真.2-1命題p:?x∈R,x2+ax+a2≥0;命題q:?x0∈R,sinx0+cosx0=2,則下列

命題為真命題的是

()A.p∧q

B.p∨qC.(?p)∨q

D.(?p)∧(?q)答案

B因?yàn)閤2+ax+a2=

+

a2≥0,所以命題p是真命題;因?yàn)閟inx+cosx=

=sin

,所以(sinx+cosx)max=

<2,所以命題q是假命題.所以p∨q為真命題,故選B.B2-2已知命題p:存在x∈

,使sinx+cosx=

,命題q:不等式x2-x-2<0的解集是{x|-1<x<2},給出下列結(jié)論:①命題“p∧q”是真命題;②命題

“p∧(?q)”是假命題;③命題“(?p)∨q”是真命題;④命題“(?p)∨

(?q)”是假命題,其中正確的是

()A.②③

B.①②④C.①③④

D.①②③④D答案

D∵x∈

,∴sinx+cosx=

sin

∈(1,

],故存在x∈

,使sinx+cosx=

,即命題p是真命題.又易知命題q也是真命題,∴①②③④正確.故選D.典例3已知p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q為假命題,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

()A.m≥2

B.m≤-2C.m≤-2或m≥2

D.-2≤m≤2考點(diǎn)三由命題真假確定參數(shù)的取值范圍答案

A解析當(dāng)p是真命題時(shí),有m<0;當(dāng)q是真命題時(shí),有Δ=m2-4<0,-2<m<2.依題意知p,q均為假命題,因此由p,q均為假命題得

則m≥2.A方法技巧根據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)先求出每個(gè)簡(jiǎn)單命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍;(2)再根據(jù)復(fù)合命題的真假確定各個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假情況(有時(shí)不一定

只有一種情況);(3)最后由(2)的結(jié)果求出滿(mǎn)足條件的參數(shù)取值范圍.3-1若本例中的條件“p∨q為假命題”變?yōu)椤皃∧(?q)為真命題”,其

他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析由p∧(?q)為真命題,知p為真命題且q為假命題.p為真命題,則m<0,q為假命題,則m≥2或m≤-2.所以m≤-2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2].3-2給定命題p:對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax2+ax+1>0成立;q:關(guān)于x的方