湖南省“長沙市聯(lián)考”2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月數(shù)學(xué)變式卷 含解析

高考資源網(wǎng)(）您身邊的高考專家（AI教學(xué)）訂購熱線：188110597022025年1月“長沙市聯(lián)考”變式卷（同考點(diǎn)）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（

）A．0 B． C． D．8【答案】C【知識點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的乘方【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法化簡，再計(jì)算其模.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2．為異面直線，且.若，則直線l必定（

）A．與a，b都相交 B．與a，b都不相交C．至少與a，b之一相交 D．至多與a，b之一相交【答案】C【知識點(diǎn)】異面直線的概念及辨析【分析】根據(jù)異面直線的定義，逐項(xiàng)分析直線與直線的關(guān)系，即可確定.【詳解】由題意直線與、可都相交，也可只與一條相交，故A、B錯(cuò)誤；但直線不會(huì)與兩條都不相交，若與、都不相交，因?yàn)榕c都在內(nèi)，所以，同理，所以，這與、異面直線矛盾，故直線至少與、中之一相交．故選：C.3．若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式五、六【分析】由條件，根據(jù)三角函數(shù)定義求，結(jié)合誘導(dǎo)公式求結(jié)論.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以．故選：A．4．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)等知識確定正確答案.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，從左向右，是遞增、遞減、遞增，對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號為，由此排除C選項(xiàng)，所以A選項(xiàng)正確.故選：A5．已知函數(shù)相鄰兩個(gè)對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，利用整體法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)，即可求解.【詳解】因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)對稱軸之間的距離為，則，即，則，則，由，得，所以在上是增函數(shù)，由，得.故選：B6．如圖，四邊形中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】用基底表示向量【分析】依據(jù)圖形，結(jié)合向量的加法，減法，數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律利用，表示.【詳解】，．故選：A.7．已知點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【知識點(diǎn)】拋物線定義的理解、拋物線的中點(diǎn)弦【分析】利用梯形中位線將中點(diǎn)的橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為，再應(yīng)用拋物線定義轉(zhuǎn)化為，再由可得最小值.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，如圖，作，垂足分別為.由直角梯形的性質(zhì)可得，取拋物線焦點(diǎn)為，由拋物線定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取等號，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為．故選：B.8．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、分段函數(shù)的值域或最值【分析】時(shí)，無最大值，因此時(shí)，有最大值，利用導(dǎo)數(shù)求解．【詳解】顯然時(shí)，無最大值，時(shí)，存在最大值，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，取得極大值也是最大值．，因此要有最大值，必須滿足，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的最大值問題．解題時(shí)要注意的最大值是在定義域內(nèi)的最大值，對分段函數(shù)來講，每一段的函數(shù)值都不能比最大值大．因此本題在時(shí)求得最大值，除這個(gè)最大值取得到，即以外還有必須滿足，否則函數(shù)無最大值．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（

）A．若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)B．甲得分的極差大于乙得分的極差C．甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)D．甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】ABD【知識點(diǎn)】計(jì)算幾個(gè)數(shù)的中位數(shù)、計(jì)算幾個(gè)數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、總體百分位數(shù)的估計(jì)【分析】運(yùn)用極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計(jì)算，和方差的意義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，故A正確；甲的極差為，乙的極差為，故B正確；，所以甲的第75百分位數(shù)為，乙的第75百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；由圖可以看出甲得分的波動(dòng)比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：ABD10．在遞增的等比數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)積，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．【答案】BCD【知識點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由定義判定等比數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)條件，解得，進(jìn)而得到，，選項(xiàng)A和B，利用等比、等差數(shù)列的定義，即可判斷；選項(xiàng)C和D，利用等比、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，又，解得，所以公比，，，對于選項(xiàng)A，因?yàn)椴粸槌?shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)椋詾槌?shù)，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11．歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet），當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對象都沒有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學(xué)對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為（其中a，且），以下對說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)锽．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性【答案】BCD【知識點(diǎn)】抽象函數(shù)的奇偶性、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、函數(shù)新定義【分析】根據(jù)值域的定義可判斷A；設(shè)任意，，利用周期的定義可判斷B；利用偶函數(shù)的定義可判斷C；實(shí)數(shù)的稠密性，函數(shù)值在和之間無間隙轉(zhuǎn)換可判斷D.【詳解】的函數(shù)值只有兩個(gè)，的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；設(shè)任意，，則，，故B選項(xiàng)正確；若，則，；若，則，；所以為偶函數(shù)，故C正確；由于實(shí)數(shù)具有稠密性，任何兩個(gè)有理數(shù)之間都有無理數(shù)，任何兩個(gè)無理數(shù)之間也都有理數(shù)，其函數(shù)值在之間無間隙轉(zhuǎn)換，所以在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性，故D正確．故選:BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義，函數(shù)的基本性質(zhì)的定義和應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義以及函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在中，，，，則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【知識點(diǎn)】軌跡問題——圓、求平面軌跡方程【分析】設(shè)點(diǎn)，分別表示與，化簡即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，則，化簡可得，故答案為：.13．徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長的總和為.【答案】【知識點(diǎn)】圓臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】設(shè)出圓臺(tái)的母線長及底面半徑，根據(jù)圓臺(tái)的母線長公式結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)上面圓臺(tái)的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為高為，根據(jù)圓臺(tái)的母線長公式，帶入數(shù)值計(jì)算得到；設(shè)下面圓臺(tái)的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為由于兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等，可以得到，帶入數(shù)值計(jì)算得到；所以該花盆上?下兩部分母線長的總和為.故答案為：14．在銳角中，角的對邊為，為的面積，且，則的取值范圍為.【答案】【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】首先利用余弦定理和三角形面積公式得到，再通過正弦定理以及三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化得到，由三角函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】由，則，所以，即，即，解得或（舍去），可得，，因?yàn)槭卿J角三角形，則有，所以，，，則，有，由于,所以，可得的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于，由是銳角三角形，確定，由，得，從而可求的取值范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對第1題的概率為，甲答對題序?yàn)榈念}目的概率，，各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對題目數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、獨(dú)立事件的乘法公式、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】（1）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而求得甲答對第4題的概率；（2）根據(jù)題意，得到可取，取得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)檫x手甲答對第1題的概率為，所以，即，所以若甲已經(jīng)答對了前3題，則甲答對第4題的概率為．（2）解：由題意得，，，．隨機(jī)變量可取，則，，，，．所以隨機(jī)變量分布列如下：X01234P所以．16．如圖，在棱長都為2的平行六面體中，，點(diǎn)在底面上的投影恰為與的交點(diǎn)；(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2).【知識點(diǎn)】線面角的向量求法、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）根據(jù)依題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法可得結(jié)果；（2）由線面角的向量求法計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，底面為菱形，可得，依題意兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知；設(shè)平面的法向量為，則即，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為：，又易知點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為，又則即，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，又因此，故直線與平面所成角的正弦值為.17．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）對參數(shù)分類討論，根據(jù)不同情況下導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得的范圍，滿足的條件，以及，根據(jù)的范圍夾逼的范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)；又當(dāng)；故當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，且，所以，，又在單調(diào)遞減，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察含參函數(shù)單調(diào)性的討論，以及導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問題；處理問題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析的單調(diào)性，以及求得隱零點(diǎn)的范圍以及滿足的條件，屬綜合中檔題.18．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為．

(1)求橢圓的方程．(2)如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心．①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離；②求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【答案】(1)(2)①；②【知識點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的最值問題【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程得，由此可得橢圓方程；（2）①設(shè)，．結(jié)合重心性質(zhì)可得，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上可求，由此可求結(jié)論.②結(jié)合①求斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法求點(diǎn)到直線的距離的范圍，由此得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得解得所以橢圓的方程為．（2）①設(shè)，根據(jù)題意得．因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以，即．將代入，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離為．②由①知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由消去，整理得，且，即．所以．因?yàn)樵c(diǎn)是的重心，所以，所以，所以．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得．點(diǎn)到直線的距離，．綜上所述，當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線問題中的最值問題的常規(guī)方法為結(jié)合條件，引入自變量，表示所求變量的函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)知識求其最值.19．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對一切，，點(diǎn)都在函數(shù)圖象上.(1)求，，，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）：(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為、、、、、、、、、…，分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為，求的值；(3)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若不等式對一切都成立，求a的取值范圍.【答案】(1)，，，(2)(3)【知識點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、數(shù)列綜合【分析】（1）根據(jù)題意求出前幾項(xiàng)，，利用歸納推理猜想通項(xiàng)公