2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上冊(cè)期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．3．設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最大值為（

）A． B．3 C．9 D．365．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線方程為，則的方程是（

）A． B．C． D．6．已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，則（

）A．在上是減函數(shù)，且曲線存在對(duì)稱軸B．在上是減函數(shù)，且曲線存在對(duì)稱中心C．在上是增函數(shù)，且曲線存在對(duì)稱軸D．在上是增函數(shù)，且曲線存在對(duì)稱中心8．已知是兩個(gè)不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)，，設(shè)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設(shè)計(jì)師規(guī)劃在正六邊形的頂點(diǎn)處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（

）A．47m B．48m C．49m D．50m二、填空題（本大題共5小題）11．在的展開式中，的系數(shù)是．12．已知函數(shù)，若，則的一個(gè)取值為．13．北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一．其中鐘鼓樓?萬寧橋?景山?故宮?端門?天安門?外金水橋?天安門廣場(chǎng)及建筑群?正陽門?中軸線南段道路遺存?永定門，依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存．某同學(xué)欲從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的3個(gè)中一定有故宮的概率為．14．已知拋物線.①則的準(zhǔn)線方程為；②設(shè)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為.點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.若平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.15．一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期．給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號(hào)是．三、解答題（本大題共6小題）16．在中，(1)求證為等腰三角形；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求b的值.條件①：；

條件②：的面積為；條件③：邊上的高為3.17．“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)值分別為，，，請(qǐng)直接寫出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.（樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）18．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面，為中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)求四面體的體積.19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，分別為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).證明：三點(diǎn)共線.20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，證明：在上單調(diào)遞增；(3)判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．21．給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.(1)當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意，易得.故選：C.2．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D3．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，故D正確.故選：D4．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：C5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，設(shè)雙曲線方程為，則雙曲線的漸近線為，所以，解得，所以的方程是.故選：D6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，即因?yàn)闉橹苯侨切?，所?設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，化簡(jiǎn)得.故選：A.7．【正確答案】D【詳解】由得，解得，所以的定義域是?1,1，，在?1,1上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在?1,1上是增函數(shù)，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即D選項(xiàng)正確.故選：D8．【正確答案】A【詳解】當(dāng)，且時(shí)，，充分性滿足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，是可以大于零的，即當(dāng)時(shí)，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，作出函?shù)y=fx的圖象，如圖所示，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可函數(shù)的值域?yàn)椋O(shè)，若存在，使得成立，即，只需，即對(duì)于，滿足成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.10．【正確答案】A【詳解】依題意可知六點(diǎn)共面，設(shè)正六邊形的中心為，連接，平面且平面，依題意可知相交于，連接交于，連接交于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知四邊形是菱形，所以相互平分，則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，即，在梯形中，是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，所以，同理可得，所以.故選：A11．【正確答案】【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以的系數(shù)是.故12．【正確答案】（答案不唯一）【詳解】，，即，解得，，，.的一個(gè)取值為.故（答案不唯一）.13．【正確答案】【詳解】設(shè)11個(gè)重要建筑依次為，其中故宮為，從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)有：，，共9種情況，其中選取的3個(gè)中一定有故宮的有：共3種，所以其概率.故答案為.14．【正確答案】【詳解】拋物線，，所以準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，則，由于軸，平分，所以，所以，即，，所以的橫坐標(biāo)為.故；15．【正確答案】②③【詳解】對(duì)于①，若為:，，滿足題意，但是數(shù)列不是周期數(shù)列，故①錯(cuò)誤;對(duì)于②，由可知，......，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)都相等，奇數(shù)項(xiàng)都相等，所以當(dāng)時(shí)，能使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，故數(shù)列為周期數(shù)列，故②正確;對(duì)于③，若為周期數(shù)列，不妨設(shè)周期為，所以數(shù)列中項(xiàng)的值有個(gè)，即數(shù)列中的項(xiàng)是個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，故存在正整數(shù)，使得恒成立，故③正確;對(duì)于④，取數(shù)列為首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，取，則恒成立，但不為周期數(shù)列，故④錯(cuò)誤.故②③.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，設(shè)，根據(jù)余弦定理，得，整理得，因?yàn)?，解得，所以，所以為等腰三角?（2）若選擇條件①：若，由（1）可知，及，所以，所以不存在.若選擇條件②：在中，由，由（1），所以，解得，即，若選擇條件③：在中，由邊上的高為3，得，由，解得.17．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率.（2）活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的概率，的可能取值為，，，，.故分布列為：（3）眾數(shù)為：；，，則，；，故18．【正確答案】(1)證明詳見解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，由于平面平面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，，所以平面，平面，所以，而平面，平面，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，所以，所以直線與平面所成角的大小為.（3）因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以四面體的體積.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.（2）由題意不妨設(shè)，則，將直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得點(diǎn)坐標(biāo)，要證三點(diǎn)共線，只需證明即可，在化簡(jiǎn)時(shí)注意利用，由此即可順利得證.【詳解】（1）由題意，所以，所以橢圓的方程為.（2）由題意不妨設(shè)，其中，即，則，且直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡(jiǎn)整理得，由韋達(dá)定理有，所以，，即點(diǎn)，而，，所以三點(diǎn)共線.20．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)，證明見解析【詳解】（1）因所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由題設(shè)，，所以.當(dāng)時(shí)，因所以，即在上單調(diào)遞增，故得證.（3）,證明如下：設(shè)則，由（2）知在上單調(diào)遞增，所以，則，即在上單調(diào)遞增，故，即得證.21．【正確答案】(1)或；(2)證明詳見解析；(3).【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個(gè)大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【詳解】（1）依題意，當(dāng)，時(shí)有：或.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，又因?yàn)?，所以只有?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為,對(duì)奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：，，……，，每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列