2024-2025學年陜西省西安市高一上冊1月期末考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年陜西省西安市高一上學期1月期末考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》被稱為中國古典小說四大名著．學校讀書社共有100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90，閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60，則這100名學生中，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為（

）A．80 B．70 C．60 D．504．如圖是肖老師以恒定的速率夜跑時的離家距離（y）與跑步時間（x）之間的函數(shù)的圖像，則肖老師跑步的路線可能是（

）

A．

B．

C．

D．

5．某公司購買一批機器投入生產，據(jù)市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y（單位：萬元）與機器運轉時間x（單位：年）的關系為，則該公司每臺機器年平均利潤的最大值是（

）萬元．A．8 B．12 C．28 D．566．中國古代錢幣歷史悠久，品種紛繁，多姿多彩，大多數(shù)是以銅合金形式鑄造的，方孔錢是古代錢幣最常見的一種，如圖1．現(xiàn)有如圖2所示某方孔錢中心方孔為正方形，為正方形的頂點，為圓心，A為圓上的點，且，定義方孔錢金屬面積比率，則該方孔錢金屬面積比率約為（

）（方孔錢厚度不計，）

A．83.3% B．88.9% C．92.3% D．96.3%7．已知，則（

）A． B． C． D．18．已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（

）A．的周期為2 B．C． D．的所有零點之和為16二、多選題（本大題共4小題）9．對于實數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．下列四個命題中，是真命題的是（

）A．，且，B．，使得C．若，則函數(shù)的最小值為D．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是11．關于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調遞減C．在有4個零點 D．是的一個周期12．在平面直角坐標系xOy中，角以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經過點，，定義，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則三、填空題（本大題共4小題）13．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則的解析式為.14．已知，則a，b，c的大小關系為.15．函數(shù)沒有最小值，則a的取值范圍是.16．我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為

四、解答題（本大題共6小題）17．已知函數(shù)的定義域為，，集合.(1)求函數(shù)的定義域；(2)求；(3)若，求實數(shù)的取值范圍.18．（1）證明差角的余弦公式（2）若，求的值.19．已知實數(shù)且，函數(shù).(1)設函數(shù)，若在上恰有兩個零點，求的取值范圍；(2)設函數(shù)，若在上單調遞增，求的取值范圍.20．2022年10月16日上午，中國共產黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂開幕．二十大報告提出，全面推進鄉(xiāng)村振興，堅持農業(yè)農村優(yōu)先發(fā)展，鞏固拓展脫貧攻堅成果．某地政府為深入推進鄉(xiāng)村振興，決定調整產業(yè)結構．該地區(qū)現(xiàn)有260戶農民，且都從事水果種植，平均每戶的年收入為3.5萬元．為增加農民收入，當?shù)卣疀Q定動員部分農民從事水果加工．據(jù)測算，若動員戶農民只從事水果加工，剩下的只從事水果種植，則從事水果加工的農民平均每戶收入將為萬元，而從事水果種植的農民平均每戶的年收入有望提高5x%．(1)若動員x戶農民從事水果加工后，要使從事水果種植的農民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農民的總年收入，求x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，要使這260戶農民中從事水果加工的農民的總收入始終不高于從事水果種植的農民的總收入，求a的最大值．21．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在上的單調區(qū)間；(2)若存在，使等式成立，求實數(shù)m的最大值和最小值.22．已知函數(shù)且.(1)判斷的奇偶性并給出證明；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷.【詳解】由題意可知：命題“，”的否定是“，”.故選：A.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理可得答案．【詳解】由于在單調遞增，又，，即，函數(shù)的零點所在區(qū)間是，故選：B．3．【正確答案】B【分析】利用韋恩圖分析出只閱讀過西游記的人數(shù)為10，從而求出答案.【詳解】如圖所示，因為閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為80，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的人數(shù)為60，所以只閱讀過紅樓夢的人數(shù)為20，又其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的人數(shù)為90，故只閱讀過西游記的人數(shù)為10，所以這100名學生中，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為.故選：B4．【正確答案】D【分析】由圖象觀察離家距離的變化情況，從而確定可能路線．【詳解】開始離家越來越遠，中間離家距離不變，后來離家距離越來越近，因此路線是D符合題意，故選：D．5．【正確答案】A【分析】利用基本不等式求得年平均利潤的最大值.【詳解】年平均利潤，當且僅當時等號成立.故選：A6．【正確答案】D【分析】設出正方形的邊長，根據(jù)已知條件推出圓的半徑，進而表示出圓以及正方形的面積，即可得出答案.【詳解】

如圖，設交于點，設，則，則由可得，，圓的半徑，所以，圓的面積為，正方形的面積為，所以，該方孔錢金屬面積比率約為.故選：D.7．【正確答案】B【分析】由三角函數(shù)的誘導公式化簡即可.【詳解】由可得，即，所以，故選：B8．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調性，周期性，對稱性及函數(shù)的零點即可答案．【詳解】為偶函數(shù)，，即，，曲線的圖象關于直線對稱，又為奇函數(shù)，，，即，則，是周期為的周期函數(shù)，故A錯誤；又，，，，故，故B錯誤；由題意可知當時，，，且與的最小正周期為，與均為奇函數(shù)．與同正同負，故C正確；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標．作出與的圖象，如圖所示，由圖可知，共有7個交點，且前3個交點與后3個交點關于第4個交點對稱，所以所有零點之和為，故D錯誤．故選：C．9．【正確答案】ABC【分析】利用不等式的性質，分析、推理判斷ABC；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，兩邊同時除以，則，A正確；對于B，，，則，當且僅當時取等號，B正確；對于C，因為，則，C正確；對于D，取，滿足，而，D錯誤.故選：ABC10．【正確答案】BD【分析】對A，當時顯然不滿足；對B，當時顯然成立；對C，構造函數(shù)，結合單調性與函數(shù)定義域即可得；對D，離參數(shù)轉化為求函數(shù)最值求解即可得.【詳解】對選項A，當時，，不滿足，故A錯誤；對選項B，當時，成立，即，使得成立，故B正確；對選項C，對于C，顯然，而函數(shù)在上單調遞增，則當，即時，，故C錯誤；對選項D，因為，由得，設，，則，當且僅當即時，等號成立.故的最小值為，則，故D正確.故選：BD.11．【正確答案】AB【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、單調性、零點、周期性對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】A.因為的定義域為，又，∴是偶函數(shù)，故A正確；B.當時，，在單調遞減，故B正確；C.當時，令，得或，又在上為偶函數(shù)，∴在上的根為，0，，有3個零點，故C錯誤；D.，所以不是的一個周期，故D錯誤．故選：AB.12．【正確答案】BC【分析】根據(jù)角的定義和坐標關系分別求值.【詳解】A項，角終邊經過點，則角終邊經過點，所以，所以A項錯誤；B項，因為，，所以，因為，，所以，所以，所以B項正確；C項，因為，由三角函數(shù)定義可知，，所以，由解得，，所以，所以C項正確；D項，因為，所以，由解得，，所以，所以，所以D項錯誤.故選：BC.關鍵點睛：本題的關鍵是理解題意，化簡得，，再結合同角三角函數(shù)關系分析即可.13．【正確答案】【分析】由函數(shù)圖像伸縮變化和平移變化的規(guī)律，求函數(shù)解析式.【詳解】函數(shù)圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得函數(shù)的圖像，再將所得圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則.故14．【正確答案】【分析】由題意根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調性比較大小即可.【詳解】由題意，故a，b，c的大小關系為.故答案為.15．【正確答案】【分析】由題意函數(shù)沒有最小值，即得函數(shù)的最小值，從而可得，即可求解.【詳解】由題意沒有最小值，因函數(shù)的開口向上，只需，即等價于函數(shù)至少有個根，得，即，所以a的取值范圍是.故答案為.16．【正確答案】/【分析】設直角三角形的最短直角邊為，則最長直角邊為，由，結合，求得，再利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】設直角三角形的最短直角邊為，則最長直角邊為，由題意有，又，整理得，解得，又，故答案為.17．【正確答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)不小于零，對數(shù)的真數(shù)部分大于零列不等式求解；（1）直接根據(jù)補集和交集的定義計算即可；（3）直接根據(jù)集合間的包含關系列式計算.【詳解】（1）對于函數(shù)，有，解得，所以函數(shù)的定義域為；（2）由（1）得，則或，又，所以或；（3）因為，，，所以.18．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）在單位圓中作角，利用三角函數(shù)定義寫出相應點的坐標，再由關系利用兩點間的距離公式代入整理可證；（2）根據(jù)整體角間的關系利用誘導公式求解可得.【詳解】（1）不妨令.如圖，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作角，則它們的終邊分別與單位圓相交于點，，.連接.若把扇形繞著點旋轉角，則點分別與點重合.根據(jù)圓的旋轉對稱性可知，與重合，從而＝，∴.根據(jù)兩點間的距離公式，得：，化簡得：當時，上式仍然成立.∴對于任意角有.（2）由，則；且；，故.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）參變分離可得在上有兩個解，令，令，，求出的最大值與左端點的函數(shù)值，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）分和兩種情況討論，結合對數(shù)函數(shù)的性質得到在上的單調性與取值情況，從而得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）依題意在上有兩個零點，可化為在上有兩個解，即與在上有兩個交點，設，令，得，又，且在上單調遞增，在上單調遞減，的圖象如下所示：由圖可得，符合且，所以.（2）因為在上單調遞增，①當時，在定義域上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，且在上恒成立，所以，不等式無解；②當時，在定義域上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且在上恒成立，所以，解得；綜上所述.20．【正確答案】(1)(2)22【分析】（1）依題意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范圍為；（2）化簡表達式并利用基本不等式即可求出a的最大值為22.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，需滿足，化簡為，解得，故x的取值范圍為（2）由題意得整理可得，因為，當且僅當時，取到最小值10；所以，即a的最大值為2221．【正確答案】(1)單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；(2)的最大值為，最小值為.【分析】（1）三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再整體換元，利用復合函數(shù)的單調性求單調區(qū)間即可；（2）整體換元，轉化為二次方程在區(qū)間有解問題，根據(jù)軸與區(qū)間的關系分類討論可得的范圍，即得最值.【詳解】（1）令，由，則，當，即時，函數(shù)單調遞增，又函數(shù)單調遞增，所以單調遞增；當，即時，函數(shù)單調遞減，又函數(shù)單調遞增，所以單調遞減；函數(shù)在上的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；（2）由（1）得，設，由，由（1）知，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減；又，則，故關于的方程在區(qū)間內有解，設，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，①當，即時，則有，解得，不成立，②當，即時，則有或，解得，③當，即時，則有，解得，不成立，綜上所述，.即的最大值為，最小值為.22．【正確答案】(1)定義域為，奇函數(shù)，證明見解析；(2)【分析】（1）先求出的定義域，再由奇函數(shù)定義證明即可；（2）利用奇函數(shù)和分類討論單調性，先將條件轉化為不等式組恒成立問題，再轉化為分離參數(shù)轉化為最值問題求解a的范圍即可.【詳解】（1）要使有意義，需滿足，解得，故定義域為.判斷是奇函數(shù).證明：定義域為，關于原點對稱；又，所以為奇函數(shù)；（2）由，得．由（1）知為奇函數(shù)，則，所以，因為，令，則在上單調遞增，當時