上海市嘉定區(qū)2024-2025學年九年級上學期期末（一模）數(shù)學試題

第第頁上海市嘉定區(qū)2024學年第一學期九年級質量調研數(shù)學試卷（滿分150分，完成時間100分鐘）考生注意：本試卷含三個大題，共25題；答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1．下列y關于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（▲） A．； B．； C．； D．．2．拋物線一定經(jīng)過點（▲） A．（1,0）； B．（-1,0）； C．（2,4）； D．（-2，-4）．3．下列兩個三角形一定相似的是（▲） A．兩個直角三角形； B．有一個內(nèi)角為40°的兩個直角三角形； C．兩個等腰三角形； D．有一個內(nèi)角為40°的兩個等腰三角形．4．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果對角線AC⊥AB，那么的值是（▲）A．sinB； B．cosB； C．tanB； D．cotB．5．下列命題正確的是（▲）A．如果，那么； B．如果和都是單位向量，那么；C．； D．如果（k≠0），那么．6．如圖2，兩條不平行的直線與直線相交于點O，四條平行線分別交直線于點A、B、C、D，分別交直線于點、、、，則有。如果=3，=2，=4.那么在下列結果中，線段之差最大的是（▲）A．BD-AB； B．OC-OA；C．OC-CD； D．CD-OB．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置】7．已知，那么▲．8．如果拋物線的開口向下，那么的取值范圍是▲．9．將拋物線向右平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是_▲_____.10．已知點，在函數(shù)的圖像上，如果＞＞1，那么▲．（填“＞”、“＝”、“＜”）11．已知某二次函數(shù)一部分自變量和函數(shù)值的對應情況如右表所示，根據(jù)表中信息可知這個函數(shù)圖像的對稱軸是直線▲．12．如圖3，AD∥BC，AC、BD相交于點O，如果，那么的值是▲．13．如圖4，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且BD=2AD，EC=2AE，聯(lián)結DE，如果，，那么▲．（用含向量、的式子表示）14．在等腰△ABC中，AB=AC，如果AB：BC=3:2，那么sin∠BAC的值是▲15．手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象。它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像。如圖5，為了投影出一個動物照型CD，手AB的長度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距離OG是100厘米，手AB到幕布的距離GH是20厘米，此時CD的長度是▲厘米．16．某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，如圖6，已知樓梯高AB=6米，坡面AC的坡度i=1:，則至少需要紅地毯▲米．17．已知平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點分別是兩腰的黃金分割點時，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”，如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=10，點E、F分別在邊AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黃金分割線”，那么EF=▲．18．如圖8，將一塊含30°角的實心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內(nèi)繞著它的重心G逆時針旋轉180°，如果這塊三角板的斜邊長12厘米，那么運動前后兩個三角形重疊部分的面積為▲平方厘米．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計算：．20．（本題滿分10分，其中第（1）小題6分，第（2）小題4分）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為D，（1）為了確定這條拋物線，需要再添加一個條件，請從以下兩個條件中選擇一個：①它與軸交點的坐標是（0，-1）；②頂點D的坐標為（1，）。你選擇的條件是_____▲_______（填寫編號），并求b,c的值。（2）由（1）確定的拋物線與軸正半軸交于點A，求tan∠DAO的值。21．（本題滿分10分，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分5分）如圖9，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，BD=12，CD=15，且∠BAD=∠C。（1）求線段AB的長；（2）當∠ADE=∠C，∠B=60°時．求△EDC的面積。22．（本題滿分12分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分）如圖10，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E是邊AB的中點，聯(lián)結CE，作AF⊥CE，垂足為點F，聯(lián)結BF。（1）求證：△EFB∽△EBC；（2）該取BC邊的中點D，聯(lián)結DF，求證：23．（本題滿分10分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運行安全。我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來檢測軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、轉軌、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷。某校科創(chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究：閱讀概述激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的光，并在光接收元件上成像。一旦離目標物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會改變，成像的位置也隨之改變。可以通過成像的位移來計算物體實際的移動距離。發(fā)現(xiàn)原理被檢測物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標測量平面的距離，也就是圖中點M與點N之間的距離。假設激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學成像設備上成像。建立模型如圖11，直線M’N’∥直線∥直線，直線MN垂直于和，垂足分別為M和N，線段MM’與線段NN’交于點O，∠M’MP=a.探究（1）設MN=m，請用含m和a的式子表示點N到直線MM’的距離。探究（2）已知M’N’=5，OM’=23，OM=132，求MN的長度。（結果精確到個位，sina=0.8,cosa=0.6,cota=0.75）24．（本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分4分）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點（2,3）和點（-4,3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖12，該拋物線上有三個點A、B、C，AB∥x軸，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB與拋物線的對稱軸交于點M（點A在對稱軸的左側）①如果點C到拋物線對稱軸的距離為t，請用含t的代數(shù)式表示點B的橫坐標；②求點C的橫坐標。25．（本題滿分14分，第(1)=1\*GB3①小題滿分5分，第(1)=2\*GB3②小題滿分5分，第(2)小題滿分4分）如圖13，在△ABC中，AB=AC，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，點D在AB邊上（不與點A重合），點E是邊AC上的點，且滿足CD=CE，設k=tanB.求證：∠CDE=∠BCD+45°；如圖14，過點D作DH⊥BC，垂足為點H，求證：；設點F是CD的中點，聯(lián)結EF并延長交邊BC于點G，當△CFG與△BCD相似時，求k的值。上海市嘉定區(qū)2024學年第一學期九年級質量調研數(shù)學試卷（滿分150分，完成時間100分鐘）考生注意：本試卷含三個大題，共25題；答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1．下列y關于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（▲） A．； B．； C．； D．．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)定義知識點【詳解】由二次函數(shù)定義知識點，判斷得到A，B，D不是二次函數(shù)。A中，要求；B中，化簡得到一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；D中，顯然不是二次函數(shù)。正確答案為C2．拋物線一定經(jīng)過點（▲） A．（1,0）； B．（-1,0）； C．（2,4）； D．（-2，-4）．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)圖像知識點【詳解】將A，B,C,D四個選項，逐個代入，看等號是否成立，可以得到答案。正確答案為B3．下列兩個三角形一定相似的是（▲） A．兩個直角三角形； B．有一個內(nèi)角為40°的兩個直角三角形； C．兩個等腰三角形； D．有一個內(nèi)角為40°的兩個等腰三角形．【答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定知識點【詳解】A中，僅有兩個直角相等，無法判定相似；B中，有直角和40°角兩對角相等，可以判定相似；C中，僅能夠得到兩邊對應成比例，無法判定相似；D中，僅能夠得到兩邊對應成比例，40°角不一定是夾角，所以無法判定相似。正確答案為B4．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果對角線AC⊥AB，那么的值是（▲）A．sinB； B．cosB； C．tanB； D．cotB．【答案】B【分析】本題考查銳角三角比知識點【詳解】在Rt△ACD中，等于sin∠DAC，又∠DAC=∠ACB，∠ACB+∠B=90°，所以sin∠DAC=sin∠ACB=cosB。正確答案為B5．下列命題正確的是（▲）A．如果，那么； B．如果和都是單位向量，那么；C．； D．如果（k≠0），那么．【答案】D【分析】本題考查向量相關知識點【詳解】A中，根據(jù)向量的模相等，無法得到向量相等，因為向量還需要考慮方向是否相同；B中，由單位向量，僅得到向量的長度相等，無法得到向量相等；C中，向量的和或者差運算，結果仍是向量，所以錯誤；D選項正確。正確答案為D6．如圖2，兩條不平行的直線與直線相交于點O，四條平行線分別交直線于點A、B、C、D，分別交直線于點、、、，則有。如果=3，=2，=4.那么在下列結果中，線段之差最大的是（▲）A．BD-AB； B．OC-OA；C．OC-CD； D．CD-OB．【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例及應用【詳解】由題意，及平行線分線段成比例，可設AO=3m,OB=2m,BC=2m,CD=4m,(m≠0)，選項A中，BD-BA=m;選項B中，OC-OA=m;選項C中，OC-CD=0；選項D中，CD-OB=2m，顯然D中線段之差最大，選D。正確答案為D二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結果直接填入答題紙的相應位置】7．已知，那么▲．【答案】【分析】本題考查比例運算知識點【詳解】可設，（k≠0），代入化簡，求解即可得到答案。8．如果拋物線的開口向下，那么的取值范圍是▲．【答案】＞2【分析】本題考查拋物線開口方向相關知識點【詳解】根據(jù)拋物線性質，開口向下，所以得二次項系數(shù)小于0，即2-＜0，解得答案。9．將拋物線向右平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是_▲_____.【答案】（4,0）【分析】本題考查拋物線的平移知識點【詳解】原拋物線的頂點坐標為（1,0），向右平移3個單位，新頂點坐標為（4,0）即為答案。10．已知點，在函數(shù)的圖像上，如果＞＞1，那么▲．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】＜【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質知識點【詳解】由題意得，拋物線對稱軸為直線，又拋物線開口向下，所以在對稱軸右側部分，y隨的增大而減小，所以得答案為＜。11．已知某二次函數(shù)一部分自變量和函數(shù)值的對應情況如右表所示，根據(jù)表中信息可知這個函數(shù)圖像的對稱軸是直線▲．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的對稱性知識點【詳解】由表格得到，拋物線過點（-4,11）和（2,11）兩個點。由這兩個點縱坐標相等，得到這兩個點關于對稱軸對稱，所以對稱軸為-4和2的中點所在的直線，即為直線。12．如圖3，AD∥BC，AC、BD相交于點O，如果，那么的值是▲．【答案】4:9【分析】本題考查相似三角形性質知識點【詳解】因為，所以得到OD：OB=2:3，因為AD∥BC，所以得到△AOD∽△BOC，所以=4:9。13．如圖4，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且BD=2AD，EC=2AE，聯(lián)結DE，如果，，那么▲．（用含向量、的式子表示）【答案】【分析】本題考查相似三角形與向量的運算知識點【詳解】由題意得，又因為BD=2AD，EC=2AE，所以DE∥BC，DE：BC=1:3，所以，即答案為。14．在等腰△ABC中，AB=AC，如果AB：BC=3:2，那么sin∠BAC的值是▲【答案】【分析】本題考查銳角三角比的求解【詳解】由題意，過A作AH⊥BC于點H，因為等腰，則H為BC的中點。設AB=3，則BH=1，所以得AH=。過B作BD⊥AC交AC于點D，由等面積得BD=，sin∠BAC=，解得答案為。手影戲是一種獨特的藝術形式，它通過手勢和光影創(chuàng)造出生動的形象。它的原理是利用光的直線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像。如圖5，為了投影出一個動物照型CD，手AB的長度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距離OG是100厘米，手AB到幕布的距離GH是20厘米，此時CD的長度是▲厘米．【答案】18厘米【分析】本題考查三角形一邊平行線的性質知識點及應用【詳解】因為AB∥CD，由三角形一邊平行線的性質，所以得OG：OH=AB：CD，代入數(shù)據(jù)得到答案為18厘米。16．某商場開業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，如圖6，已知樓梯高AB=6米，坡面AC的坡度i=1:，則至少需要紅地毯▲米．【答案】14米【分析】本題考查坡度及應用知識點【詳解】由坡度及AB=6米，得到BC=8米，所以紅毯水平方向的總長度為BC的長度8米，紅毯豎直方向的總長度為AB的長度6米，所以至少需要紅地毯為6+8=14米。17．已知平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當兩交點分別是兩腰的黃金分割點時，我們稱這條線段是梯形的“黃金分割線”，如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=10，點E、F分別在邊AB、CD上（AE＞BE），如果EF是梯形ABCD的“黃金分割線”，那么EF=▲．【答案】【分析】本題考查平行線分線段成比例定理及應用知識點【詳解】由題中的“黃金分割線”及AE＞BE，得AE：AB=DF：DC=，過點D作直線DMN分別交EF于點M，交BC于點N，所以MF：NC=DF：DC=，由圖形得CN=10-6=4，所以MF=，所以EF=EM+MF=6+=。18．如圖8，將一塊含30°角的實心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內(nèi)繞著它的重心G逆時針旋轉180°，如果這塊三角板的斜邊長12厘米，那么運動前后兩個三角形重疊部分的面積為▲平方厘米．【答案】【分析】本題考查三角形重心性質，圖形旋轉，相似三角形面積比等知識點【詳解】由題意，設∠A=90°，∠B=30°，點A，B，C繞點G旋轉后對應點為A’，B’，C’，因為旋轉角為180°，所以得到旋轉前后的對應線段平行，設線段AA’與B’C’，BC分別交于點M，N，所以AM：MG：NG=1：1:1。設未重疊部分的三個三角形的面積分別記為，，，由題意得==，且：=，所以未重疊部分總面積為3=，運動前后兩個三角形重疊部分的面積為，又，由銳角三角比得AC=6，AB=代入得答案為。三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計算：．【答案】【分析】本題考查銳角三角比的計算，分母有理化的計算?！驹斀狻吭?===20．（本題滿分10分，其中第（1）小題6分，第（2）小題4分）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為D，（1）為了確定這條拋物線，需要再添加一個條件，請從以下兩個條件中選擇一個：①它與軸交點的坐標是（0，-1）；②頂點D的坐標為（1，）。你選擇的條件是_____▲_______（填寫編號），并求b,c的值。（2）由（1）確定的拋物線與軸正半軸交于點A，求tan∠DAO的值。【答案】（1）②；b=,c=1；（2）【分析】本題考查拋物線解析式的求解；考查拋物線與銳角三角比結合求三角比的值?！驹斀狻浚?）由頂點坐標公式得；，解得b=,c=1。（2）拋物線解析式為，經(jīng)計算得點A坐標為（3,0），又D的坐標為（1，）所以tan∠DAO=.

21．（本題滿分10分，第(1)小題滿分5分，第(2)小題滿分5分）如圖9，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，BD=12，CD=15，且∠BAD=∠C。（1）求線段AB的長；（2）當∠ADE=∠C，∠B=60°時．求△EDC的面積。【答案】（1）AB=18；（2）面積為?！痉治觥勘绢}考查相似三角形判定，相似三角形性質，相關面積的求解。【詳解】（1）∵∠BAD=∠C，∠ABD=∠ABC∴△ABD∽△ABC∴代入數(shù)據(jù)，解得AB=18；（2）∵∠ADE=∠C∴AB∥DE∵∠B=60°∴∠CDE=60°又DE：AB=CD：CB，代入數(shù)據(jù)，解得DE=10，過E作EF⊥CD交CD于點F，在Rt△DEF中，EF=DEsin60°=，所以△EDC的面積。22．（本題滿分12分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分）如圖10，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E是邊AB的中點，聯(lián)結CE，作AF⊥CE，垂足為點F，聯(lián)結BF。（1）求證：△EFB∽△EBC；（2）該取BC邊的中點D，聯(lián)結DF，求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析?！痉治觥勘绢}考查相似三角形的判定，相似三角形的性質，等腰直角三角形的性質【詳解】（1）∵∠BAC=90°，AF⊥CE∴△AEF∽△AEC∴∵點E是邊AB的中點∴EA=EB∴又∵∠FEB=∠BEC∴△EFB∽△EBC（2）∵△EFB∽△EBC∴∠EBF=∠ECB∵等腰直角三角形ABC∴∠EBF+∠CBF=45°，∠ECB+∠ECA=45°∴∠CBF=∠ECA∵∠ECA=∠EAF∴∠CBF=∠EAF∴△ABF∽△CBF∵FD，F(xiàn)E分別為BC，BA對應的中線由相似三角形的性質得∵等腰直角三角形ABC∴∴23．（本題滿分10分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分）火車作為我國重要的交通運輸形式之一，其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車的運行安全。我國目前軌道檢測的主要方法是機械檢測，通過使用機械傳感器和無損檢測設備（包括激光三角位移傳感器、超聲波傳感器等）來檢測軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、轉軌、高差和曲率），從而判斷軌道是否有損傷或缺陷。某?？苿?chuàng)活動小組率先就“激光三角位移計”這一設備開展了學習與探究：閱讀概述激光三角位移計是由半導體激光向目標物照射激光，聚集目標物反射的光，并在光接收元件上成像。一旦離目標物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會改變，成像的位置也隨之改變。可以通過成像的位移來計算物體實際的移動距離。發(fā)現(xiàn)原理被檢測物體從初始位置移動到最終位置，需要測量的是參考平面與目標測量平面的距離，也就是圖中點M與點N之間的距離。假設激光通過接收透鏡后仍按照原直線方向傳播，最后在光學成像設備上成像。建立模型如圖11，直線M’N’∥直線∥直線，直線MN垂直于和，垂足分別為M和N，線段MM’與線段NN’交于點O，∠M’MP=a.探究（1）設MN=m，請用含m和a的式子表示點N到直線MM’的距離。探究（2）已知M’N’=5，OM’=23，OM=132，求MN的長度。（結果精確到個位，sina=0.8,cosa=0.6,cota=0.75）【答案】（1）mcosa；（2）MN=60【分析】本題考查銳角三角比，解直角三角形，相似三角形知識點綜合解題【詳解】（1）由題意，作NA⊥MM’的延長線于點A，又∵MP⊥MN得∠MNA=a，所以NA=NMcosa=mcosa；（2）作N’H⊥OM’，在Rt△M’N’H中，M’N’=5，∵直線M’N’∥直線∴∠N’M’H=∠MNA=a∵sina=0.8,cosa=0.6,∴N’H=4，M’H=3∵N’H∥NA∴△N’HO∽△NOA∴∵OM’=23，OM=132，∴OH=20，N’H：OH=1:5∴NA：AO=1:5在△MNA中，設MN=m，則NA=NMcosa=mcosa=0.6m,MA=0.8m∴NA：AO=0.6m：（132+0.8m）=1:5∴m=60。答：MN的長度為60。24．（本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分4分）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點（2,3）和點（-4,3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）如圖12，該拋物線上有三個點A、B、C，AB∥x軸，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB與拋物線的對稱軸交于點M（點A在對稱軸的左側）①如果點C到拋物線對稱軸的距離為t，請用含t的代數(shù)式表示點B的橫坐標；②求點C的橫坐標?！敬鸢浮浚?）拋物線表達式為；（2）①2t-1；②?！痉治觥勘绢}考查求拋物線的解析式，【詳解】（1）把點（2,3）和點（-4,3）代入，得a=，b=1，拋物線表達式為；①由（1）得拋物線的對稱軸為直線=-1，∵點C到拋物線對稱軸的距離為t，C又在拋物線上∴點C坐標為∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB與拋物線的對稱軸交于點M∴M為AB中點，聯(lián)結MC，得∠CMB=60°，∴△MCB為等邊三角形∴由等邊三角形性質得，點C的橫坐標為點M，點B兩點橫坐標得中點，過C作CH⊥AB，交AB于點H，則H為BM中點，點M橫坐標為-1，∴點B的橫