理論力學(xué)課件：運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)學(xué)是什么？研究物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的科學(xué)，其任務(wù)：從幾何性質(zhì)上說研究物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。1從結(jié)構(gòu)特征在運(yùn)動(dòng)中的作用來看將研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)。2知識點(diǎn)滴軌跡點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路線，分為直線運(yùn)動(dòng)，曲線運(yùn)動(dòng)。參考系選另一物體作參考體，與參考體固連的坐標(biāo)系稱為參考系。當(dāng)物體的幾何尺寸和形狀在運(yùn)動(dòng)中不起主要作用點(diǎn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1剛體的平行移動(dòng)2目錄Contents剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程5.1.1矢量法

矢徑MrO坐標(biāo)原點(diǎn)以矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

單位

m/s

方向:沿著動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致。v速度運(yùn)動(dòng)方程加速度矢徑MrO坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型說明xzy5.1.2直角坐標(biāo)法使其的坐標(biāo)原點(diǎn)與矢徑的原點(diǎn)O重合。vMrOkjizxyxx、y、z也是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)。直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x=f

1(t)y=f

2(t)z=f

3(t)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

x=f

1(t)

y=f

2(t)常見的點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情形。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的軌跡與時(shí)間無關(guān)，消去t，得軌跡方程

f(x,y)=0

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的速度矢量v在直角坐標(biāo)軸上的投影為，則：

用直角坐標(biāo)法表示速度

設(shè)

用直角坐標(biāo)法表示加速度

12一人在路燈下由燈柱起以勻速u沿直線背離燈柱行走。設(shè)人高AB=l，燈高OL=h，試求頭頂影子M的速度和加速度。xhOLABlutxM例題113xhOLABlutxM解：取坐標(biāo)軸Ox如圖。由三角形相似關(guān)系即從而求得M點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)方程

M點(diǎn)的速度而加速度a=0，即M點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)。14

橢圓規(guī)的曲柄OA可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，端點(diǎn)A以鉸鏈連接于規(guī)尺BC；規(guī)尺上的點(diǎn)B和C可分別沿互相垂直的滑槽運(yùn)動(dòng)，求規(guī)尺上任一點(diǎn)M的軌跡方程。ACByOxMxy

已知:例題2運(yùn)動(dòng)演示1516考慮任意位置，M點(diǎn)的坐標(biāo)x，y表示成消去角φ，即得M點(diǎn)的軌跡方程:解:ACByOxMxy

運(yùn)動(dòng)軌跡1718

例題319

解：活塞作直線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)軸Ox如圖所示

分離變量后積分：積分得：又因?yàn)椋?.1.3自然法20

在軌跡上任意選一個(gè)點(diǎn)

O為參考點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)

O

的某一側(cè)為正向,另一側(cè)就為負(fù)向。M(+)O弧坐標(biāo):動(dòng)點(diǎn)M的位置由弧長S確定,為代數(shù)量

s弧坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程OsOs(-)Os1.自然坐標(biāo)法的運(yùn)動(dòng)方程21密切面22副法線單位矢量切向單位矢量法平面:過M點(diǎn)并與切線垂直主法線

n:法平面與密切面的交線，指向凹的一側(cè)自然坐標(biāo)系是沿曲線而變動(dòng)的游動(dòng)坐標(biāo)系2324MM’rr’

弧坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)代數(shù)量，正負(fù)號表示點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。

點(diǎn)的速度矢

3.速度25法向加速度：速度方向改變的快慢切向加速度：速度大小變化4.加速度方向沿軌跡切線方向總是指向曲率中心重點(diǎn)26點(diǎn)的加速度說明

即v與aτ的符號相同，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)

即v與aτ的符號相反，點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)而法向加速度反映點(diǎn)的速度方向改變的快慢程度。vaτaanaτanaθaτaanaτanaθaτaanaτanaθ27加速度矢可以寫成

加速度在自然坐標(biāo)軸的投影

由于ab=0，全加速度的大小可寫成：方向由全加速度與法線間的夾角的正切確定

vθθaτaanaτanaθ28例:列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達(dá)54km/h。求:列車起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。29解：列車作曲線加速運(yùn)動(dòng)，取弧坐標(biāo)如上②

①

有由常數(shù)求:列車起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。30解：1.點(diǎn)的速度、加速度沿x、y、z軸的投影分別為：

2.點(diǎn)的速度和全加速度的大小分別為：

3.點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小分別為：

因?yàn)椋?/p>

即：ρ=2.5（m）

所以：

已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=2sin4tm，y=2cos4tm，z=4t

m。求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑。例題4V，a計(jì)算公式31飛機(jī)在鉛直面內(nèi)從位置M0處以s=250t+5t2規(guī)律沿半徑r=1500m的圓弧作機(jī)動(dòng)飛行（如圖），其中s以m計(jì)，t以s計(jì)，當(dāng)t=5s時(shí)，試求飛機(jī)在軌跡上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例題532解：宜用自然法求解。取M0為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，正負(fù)如圖當(dāng)t=5s時(shí)，飛機(jī)的位置M可由弧坐標(biāo)確定求出飛機(jī)的速度和切向加速度、法向加速度例題5OM0Mr(-)s(+)33OM0Mr(-)s(+)v0vatana

故在這瞬時(shí)飛機(jī)的總加速度a的大小和方向?yàn)棣链雝=5s得本節(jié)小結(jié)341、觀察物體的運(yùn)動(dòng)必須相對某一參考體。2、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為動(dòng)點(diǎn)在空間的幾何位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。

r=r

(t)——矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

x=f

1(t)；y=f

2(t)；z=f

3(t)——直角坐標(biāo)表示的

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

s=f(t)——自然坐標(biāo)直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程3、軌跡為動(dòng)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過的一條連續(xù)曲線。軌跡方程可由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t得到。4、速度和加速度的計(jì)算公式35

(1)矢量形式

（2）直角坐標(biāo)

改

v=vx

i+vy

j+vz

k

a=ax

i+ay

j+az

k

（3）自然坐標(biāo)36

點(diǎn)的切向加速度只反映速度大小的變化;法向加速度只反映方向的變化。當(dāng)點(diǎn)的速度與切向加速度方向相同時(shí)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)；反之，作減速運(yùn)動(dòng)。

6、幾種特殊運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)37（1）直線運(yùn)動(dòng)an

≡0，

→∞（2）圓周運(yùn)動(dòng)=常數(shù)（3）勻速運(yùn)動(dòng)v=常數(shù)，a

≡

0

（4）勻變速運(yùn)動(dòng)a

=常數(shù)

v=v0+a

t

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1剛體的平行移動(dòng)2目錄Contents剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)339平動(dòng)平動(dòng)剛體上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)40平動(dòng)剛體:各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同軌跡形狀相同;速度相同；加速度相同分別對等式兩邊求導(dǎo)：證明：4142例6蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當(dāng)蕩木擺動(dòng)時(shí)鋼索的擺動(dòng)規(guī)律為，其中t為時(shí)間，單位為s；轉(zhuǎn)角φ0的單位為rad，試求當(dāng)t=0和t=2s時(shí)，蕩木的中點(diǎn)M的速度和加速度。OABO1O2φll（+）M解因?yàn)槭幠咀髌絼?dòng)，所以求中點(diǎn)M，求A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即可。點(diǎn)A以最低點(diǎn)O為起點(diǎn)，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：（平動(dòng)剛體）求出一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)=求出任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)再求一次導(dǎo)，得A點(diǎn)的切向加速度代入t=0和t=2，得這兩瞬時(shí)A點(diǎn)的速度和加速度，即點(diǎn)M的速度和加速度。A點(diǎn)的法向加速度OABO1O2φll（+）M00φ02

（鉛直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1剛體的平行移動(dòng)2目錄Contents剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

:剛體運(yùn)動(dòng)過程中，有兩個(gè)點(diǎn)始終保持不動(dòng)。一、運(yùn)動(dòng)方程：角速度：角加速度：5.3.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)47按各自半徑作角速度相同、角加速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)3、加速度1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程2、速度5.3.2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：按半徑比例可以求出同一剛體任意點(diǎn)的速度、加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體速度與加速度分布圖50平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的解題區(qū)別？

剛體的基本運(yùn)動(dòng)：例題752滑輪的半徑r=0.2m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有不可伸長的細(xì)繩，繩的一端掛有物體A（如圖），已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律φ=0.15t3，其中t以s計(jì)，φ

以rad計(jì)，試求t=2s時(shí)輪緣上M點(diǎn)和物體A的速度和加速度。AOαωM首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得輪緣上M點(diǎn)上在t=2s時(shí)的速度為vMM解：AOαωM加速度的兩個(gè)分量總加速度

aM的大小和方向AOαωMvMatanaMφAOαωM