備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第四章-§4-5-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

§4.5三角函數(shù)的圖

象與性質(zhì)第四章

三角函數(shù)與解三角形1.能畫(huà)出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上，正切函數(shù)在

上的性質(zhì).考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.用“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，

，_______，_________，(2π，0).(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，

，_________，_______，(2π，1).(π，0)(π，－1)2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象

定義域RR____________值域________________周期性___________奇偶性______________奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間

[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)[2kπ，2kπ＋π]_____________________________________________________________________________對(duì)稱中心___________________對(duì)稱軸方程__________________(kπ，0)x＝kπ1.對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是

個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是

個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是

個(gè)周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝

＋kπ(k∈Z).(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限內(nèi)單調(diào)遞減.(

)(2)若非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.(

)(3)函數(shù)y＝sinx圖象的對(duì)稱軸方程為x＝2kπ＋

(k∈Z).(

)(4)函數(shù)y＝tanx在整個(gè)定義域上是增函數(shù).(

)×√××1.若函數(shù)y＝2sin2x－1的最小正周期為T(mén)，最大值為A，則A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2√2.函數(shù)y＝－tan的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)____________________.3.函數(shù)y＝3－2cos的最大值為_(kāi)___，此時(shí)x＝______________.5第二部分探究核心題型例1

題型一三角函數(shù)的定義域和值域√－4(3)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開(kāi)______________.設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝

，當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2021·北京)函數(shù)f(x)＝cosx－cos2x，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值A(chǔ).奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為D.偶函數(shù)，最大值為√由題意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，例2

題型二三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱性√對(duì)于A，f(x)的最小正周期為

＝π，故A錯(cuò)誤；故B錯(cuò)誤；(2)函數(shù)f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)為偶函數(shù)，則φ＝_____，f(x)圖象的對(duì)稱中心為_(kāi)________________.又∵φ∈(0，π)，(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx的形式.(2)周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為

，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為

求解.√跟蹤訓(xùn)練2

(2)(2020·全國(guó)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋

，則A.f(x)的最小值為2B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱D.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝

對(duì)稱√∴f(x)min<0，故A錯(cuò)誤；∴f(x)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；命題點(diǎn)1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3

函數(shù)f(x)＝sin的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______________________.題型三三角函數(shù)的單調(diào)性延伸探究

若函數(shù)不變，求在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.B＝[0，π]，命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)例4

√當(dāng)k≥2，k∈Z時(shí)，ω∈?，(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解.但如果ω<0，可先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2022·北京)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則√依題意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.(2)已知函數(shù)f(x)＝sin

(ω>0)，則“函數(shù)f(x)在

上單調(diào)遞增”是“0<ω<2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√故k只能取0，即0<ω≤1，課時(shí)精練第三部分12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√2.(2023·成都模擬)已知f(x)＝

，則f(x)是A.奇函數(shù)且最小正周期為πB.偶函數(shù)且最小正周期為πC.奇函數(shù)且最小正周期為2πD.偶函數(shù)且最小正周期為2π√1234567891011121314151612345678910111213141516A.1

B.2

C.3

D.4√123456789101112131415164.(2023·廣州模擬)如果函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱，則|φ|的最小值是√12345678910111213141516123456789101112131415165.(2023·攀枝花模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，則下列結(jié)論中正確的是A.f(x)的最大值為2B.f(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞增C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱D.f(x)的最小正周期為π√12345678910111213141516對(duì)于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D錯(cuò)誤.123456789101112131415166.(2023·銀川模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cos2x，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.f(x)的值域?yàn)锽.f(x)在

上單調(diào)遞增C.f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝

對(duì)稱D.π是f(x)的一個(gè)周期√12345678910111213141516f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，故D正確；對(duì)于A，因?yàn)閒(x)的一個(gè)周期為π，令x∈[0，π]，此時(shí)sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，令t＝sinx，則g(t)＝－2t2＋t＋112345678910111213141516因?yàn)閠＝sinx，t∈[0,1]，7.(2023·汕頭模擬)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為π，且在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)＝__________________.12345678910111213141516tanx(答案不唯一)根據(jù)函數(shù)最小正周期為π，可構(gòu)造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù)，再結(jié)合在(0,1)上單調(diào)遞增，構(gòu)造即可，如f(x)＝tanx滿足題意.12345678910111213141516123456789101112131415169.已知函數(shù)f(x)＝

cosxsinx＋sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.1234567891011121314151610.(2022·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f(x)的解析式唯一確定.(1)求f(x)的解析式；12345678910111213141516條件①：f(x)的最小正周期為π；條件②：f(x)為奇函數(shù)；條件③：f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x＝

.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.12345678910111213141516選擇條件①②：由條件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.由條件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).因?yàn)閨φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin2x.經(jīng)檢驗(yàn)φ＝0符合題意.選擇條件①③：由條件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.因?yàn)閨φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin2x.123456789101112131415161234567891011121314151611.函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)

，在區(qū)間(0,1)上不可能A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減C.有最大值

D.有最小值12345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，因?yàn)棣?gt;0，所以0<ωx<ω，故f(x)在(0,1)上不可能單調(diào)遞減.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵

f(x＋3π)故3π為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.觀察可知，3π為函數(shù)f(x)的最小正周期，故A正確；123456789101112131415161234567891011121314151613.(2023·福州模擬)已知三角函數(shù)f(x)滿足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函數(shù)f(x)在

上單調(diào)遞減.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有上述性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝_________________________.1234567891011121314151612345678910111213141516對(duì)于①，若f(3－x)＝－f(x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

中心對(duì)稱；對(duì)于②，若f(x)＝f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝

對(duì)稱；14.(2023·唐山模擬)已知sinx