中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第16講 解直角三角形中的（疊合式）字母型（解析版）

第16講解直角三角形中的（疊合式）字母型【應(yīng)對(duì)方法與策略】【模型展示】【多題一解】一、單選題1．（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架米長(zhǎng)的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測(cè)得梯子與地面的夾角為45°，此時(shí)梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動(dòng)一段距離到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側(cè)的通道拓寬了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出EC、EB，根據(jù)正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案．【詳解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的長(zhǎng)度．【詳解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由題可知，△DCE為直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用三角形的外角得出等腰三角形．二、填空題3．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，為了測(cè)量出某學(xué)校教學(xué)大樓的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在處，測(cè)得教學(xué)大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達(dá)處，在處測(cè)得處的仰角為30°，已知測(cè)量器高1米，則建筑物的高度約為______米．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）【答案】21【分析】設(shè)AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，F(xiàn)G=EG+EF=x+15，根據(jù)利用特殊角三角函數(shù)值可得關(guān)于x的方程，解之可得答案．【詳解】解：由題意可得四邊形FDCE，四邊形ECBG，四邊形FDBG均為矩形設(shè)AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，F(xiàn)G=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案為：21【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出各邊之間的關(guān)系，然后找出所求問題需要的條件．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測(cè)量它在地面上的影子，第一次是陽(yáng)光與地面成60°角時(shí)，第二次是陽(yáng)光與地面成30角時(shí)，已知兩次測(cè)量的影長(zhǎng)相差8米，則樹高AB為多少？___．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米【分析】設(shè)，利用正切的定義以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)米在中，，則在中，，則，即，解得即米故答案為米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切三角函數(shù)的定義以及特殊角的正切值．三、解答題5．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┯捎诎l(fā)生山體滑坡災(zāi)害，武警救援隊(duì)火速趕往災(zāi)區(qū)救援，探測(cè)出某建筑物廢下方點(diǎn)C處有生命跡象，在廢墟一側(cè)地面上探測(cè)點(diǎn)A、B相距2米，探測(cè)線與該地面的夾角分別是30°和60°（如圖所示），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果精確到0.1）【答案】生命所在點(diǎn)C的深度為1.7m．【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，然后根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示：由圖可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，∴∠BCA=30°，∴AB=BC，∵AB=2m，∴BC=2m，∴m，答：生命所在點(diǎn)C的深度為1.7m．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，計(jì)劃測(cè)量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測(cè)得福塔主體建筑頂點(diǎn)A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進(jìn)20m到達(dá)E處，測(cè)得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的總高度約為389m．【分析】設(shè)AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，從而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)，可得到tan∠DEC=，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的總高度約為389m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，明確題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2021·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組想要測(cè)量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)量，在處測(cè)得，兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°（即，）．若無(wú)人機(jī)離地面的高度為120米，且點(diǎn)，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用銳角三角函數(shù)，用PQ表示出AQ、BQ的長(zhǎng)，然后計(jì)算出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：這條河的寬度約為88米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題．解決本題的關(guān)鍵是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．8．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，山坡上有一棵豎直的樹AB，坡面上點(diǎn)D處放置高度為1.6m的測(cè)傾器CD，測(cè)傾器的頂部C與樹底部B恰好在同一水平線上（即BC//MN），此時(shí)測(cè)得樹頂部A的仰角為50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上點(diǎn)B處的鉛直高度BN與水平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】約為5.7m【分析】先求出BC＝4.8m，再由銳角三角函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，∴i＝1∶3＝tanM，∵BC//MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即樹AB的高度約為5.7m．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．正確掌握解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題、仰角俯角問題是解題的關(guān)鍵．9．（2020·遼寧鞍山·中考真題）圖1是某種路燈的實(shí)物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂，支架與立柱分別交于A，B兩點(diǎn)，燈臂與支架交于點(diǎn)C，已知，，，求支架的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】49cm【分析】過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，分別解△ACD和△BCD，即可得到結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰直角三角形，∵AC=40cm，∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，∴CD=cm，∴在Rt△BCD中，BC=cm，∴支架BC的長(zhǎng)為49cm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊直角三角形．10．（2020·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，，，在點(diǎn)處測(cè)得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測(cè)得米，從點(diǎn)測(cè)得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米．【分析】（1）根據(jù)題意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不難算出A與C之間的距離．（2）根據(jù)題意，在中，，利用三角函數(shù)可算出AE的長(zhǎng)，又已知AB，故EB即可求解．【詳解】（1）依題意可得，在中，，米，米，米.即之間的距離為30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精確到整數(shù)可得米．即天線的高度約為27米．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)．求的長(zhǎng)？【答案】6【分析】由求出∠A=30°，進(jìn)而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分線得出∠CBD=30°，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，最后用sin∠A即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，是的平分線，又，在中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．12．（2020·湖南張家界·中考真題）“南天一柱”是張家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遺產(chǎn)武陵源風(fēng)景名勝區(qū)袁家界景區(qū)南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名為《阿凡達(dá)》的“哈利路亞山”．如圖，航拍無(wú)人機(jī)以的速度在空中向正東方向飛行，拍攝云海中的“南天一柱”美景．在A處測(cè)得“南天一柱”底部C的俯角為，繼續(xù)飛行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得“南天一柱”底部C的俯角為，已知“南天一柱”的高為，問這架航拍無(wú)人機(jī)繼續(xù)向正東飛行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】安全【分析】設(shè)無(wú)人機(jī)距地面xm，直線AB與南天一柱相交于點(diǎn)D，根據(jù)AD-BD=AB列方程求出x的值，與南天一柱的高度比較即可．【詳解】解：設(shè)無(wú)人機(jī)距地面xm，直線AB與南天一柱相交于點(diǎn)D，由題意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴AD=．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴BD=．∵AD-BD=AB，∴-=9×6，∴x=162，∵162>150，∴這架航拍無(wú)人機(jī)繼續(xù)向正東飛行安全．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題．13．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測(cè)點(diǎn)B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測(cè)得，求輪船航行的距離AD(參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】20km【分析】過點(diǎn)作，垂足為，通過解和得和，根據(jù)求得DH，再解求得AD即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度．如圖所示，他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)的仰角為，然后沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)的仰角為．測(cè)角儀的高度為，求觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)；“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為，請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次測(cè)量，求平均值【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)條件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為直角三角形，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，則CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的長(zhǎng)度，再加上DE的長(zhǎng)度即可；（2）根據(jù)（1）中算的數(shù)據(jù)和實(shí)際高度計(jì)算誤差，建議是多次測(cè)量求平均值．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由題易得，四邊形BMNC為矩形，∵AE⊥ME，∴四邊形CNED為矩形，∴DE=CN=BM=，在Rt△ABD中，，解得：，即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：觀星臺(tái)最高點(diǎn)距離地面的高度為12.3m．（2）本次測(cè)量結(jié)果的誤差為：12.6-12.3=0.3m，減小誤差的合理化建議：多次測(cè)量，求平均值．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．15．（2019·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，巡邏船在A處測(cè)得燈塔C在北偏東方向上，距離A處30km．在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求